Симплектическая группа

В математике название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным наборам математических групп , обозначаемых $Sp(2 n, F)$ и $Sp(n)$ для положительного целого числа n и поля F (обычно C или R ). Последняя называется компактной симплектической группой и обозначается также . Многие авторы предпочитают несколько иные обозначения, обычно отличающиеся в $2 раза$ . Используемые здесь обозначения соответствуют размеру наиболее распространенных матриц , представляющих группы. В классификации Простых алгебр Ли Картана алгебра Ли комплексной группы $Sp(2n$ $,$ $C$ $)$ $обозначается$ Cn $,$ $а$ Sp $($ $n$ $)$ — компактная вещественная форма Sp $($ $2n$ $,$ $C$ $)$ . Обратите внимание: когда мы говорим о ( компактной ) симплектической группе, подразумевается, что мы говорим о совокупности (компактных) симплектических групп, индексированных по их размерности $n$ . $\mathrm {USp} (n)$

Название « симплектическая группа» было придумано Германом Вейлем в качестве замены предыдущих сбивающих с толку названий ( линия ) комплексная группа и абелева линейная группа и является греческим аналогом слова «комплекс».

Метаплектическая группа является двойным накрытием симплектической группы над R ; оно имеет аналоги над другими локальными полями , конечными полями и кольцами аделей .

Sp(2 n , F )

Симплектическая группа — классическая группа , определяемая как совокупность линейных преобразований $2 n$ -мерного векторного пространства над полем $F$ , сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную форму . Такое векторное пространство называется симплектическим векторным пространством , а симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства $V$ обозначается $Sp(V)$ . После установления базиса для $V$ симплектическая группа становится группой симплектических матриц размером $2 n \times 2 n$ с элементами в $F$ в результате операции умножения матриц . Эта группа обозначается либо $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ или $Sp($ $n$ $,$ $F$ $)$ . Если билинейная форма представлена неособой кососимметричной матрицей Ω, то

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

где MT — транспонирование M. ^__ _ Часто Ω определяется как

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

где I _n — единичная матрица. В этом случае $Sp(2 n, F)$ можно выразить как те блочные матрицы , где , удовлетворяющие трем уравнениям: $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

Поскольку все симплектические матрицы имеют определитель $1$ , симплектическая группа является подгруппой специальной линейной группы $SL(2 n, F)$ . Когда $n = 1$ , условие симплектики на матрице выполняется тогда и только тогда , когда определитель равен единице, так что $Sp(2, F) = SL(2, F)$ . Для $n > 1$ существуют дополнительные условия, т.е. $Sp(2 n, F)$ является тогда собственной подгруппой $SL(2 n, F)$ .

Обычно поле $F$ представляет собой поле действительных чисел $R$ или комплексных чисел $C.$ В этих случаях $Sp(2 n, F)$ является вещественной или комплексной группой Ли вещественной или комплексной размерности $n (2 n + 1)$ соответственно. Эти группы связны , но некомпактны .

Центр Sp $(2 n,$ F $)$ состоит из матриц $I 2 n$ и $- I 2 n$ до тех пор, пока характеристика поля не $равна$ $2$ . ^[1] Поскольку центр $Sp(2 n, F)$ дискретен, а его фактор по модулю центра является простой группой , $Sp(2 n, F)$ считается простой группой Ли .

Действительный ранг соответствующей алгебры Ли и, следовательно, группы Ли $Sp(2 n, F)$ равен $n$ .

Алгеброй Ли Sp $(2 n, F)$ является множество

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

оснащен коммутатором в качестве кронштейна Ли. ^[2] Для стандартной кососимметричной билинейной формы эта алгебра Ли представляет собой множество всех блочных матриц, подчиняющихся условиям $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

Sp(2 n , C )

Симплектическая группа над полем комплексных чисел — это некомпактная односвязная простая группа Ли .

Sp(2 n , R )

$Sp(n, C)$ — комплексификация вещественной группы $Sp(2 n, R)$ . $Sp(2$ n $,$ $R$ $)$ $—$ вещественная некомпактная связная простая группа Ли . ^[3] Он имеет фундаментальную группу , изоморфную группе сложенных целых чисел . Как действительная форма простой группы Ли, ее алгебра Ли является расщепимой алгеброй Ли .

Некоторые дополнительные свойства $Sp(2 n, R)$ :

Экспоненциальное отображение алгебры Ли $sp (2n, R) в$ группу $Sp(2n, R) не$ является сюръективным . Однако любой элемент группы можно представить как произведение двух экспонент. ^[4] Другими словами,

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

Для всех $S$ в $Sp(2 n, R)$ :

S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

Матрица

D

положительно определена и диагональна . Множество таких

Z

образует некомпактную подгруппу в

Sp(2 n, R),

тогда как

U(n)

образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение «Эйлера» или «Блоха – Мессии». ^[5] Дополнительные свойства симплектической матрицы можно найти на этой странице Википедии.

Как группа Ли , $Sp(2 n, R)$ имеет структуру многообразия. Многообразие для Sp $($ $2$ $n$ $,$ $R$ $)$ диффеоморфно декартову произведению унитарной группы $U($ n $)$ с векторным пространством размерности n $($ $n$ $+1$ $)$ . ^[6]

Бесконечно-малые генераторы

Членами симплектической алгебры Ли $sp (2n, F) являются$ гамильтоновы матрицы .

Это матрицы, такие что $Q$

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

где $B$ и $C$ — симметричные матрицы . См. вывод классической группы .

Пример симплектических матриц

Для $Sp(2, R)$ , группы матриц $2 \times 2$ с определителем $1$ , тремя симплектическими $(0, 1)$ -матрицами являются: ^[7]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Сп(2n, R)

Оказывается, это можно довольно явно описать с помощью генераторов. Если мы обозначим симметричные матрицы, то генерируется где $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $\operatorname {Sym} (n)$ $n\times n$ $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

являются подгруппами из ^[8]^{стр. 173}^[9]^{стр. 2} . $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

Связь с симплектической геометрией

Симплектическая геометрия — это изучение симплектических многообразий . Касательное пространство в любой точке симплектического многообразия является симплектическим векторным пространством . ^[10] Как отмечалось ранее, преобразования симплектического векторного пространства, сохраняющие структуру, образуют группу , и эта группа представляет собой $Sp(2 n, F)$ , в зависимости от размерности пространства и поля , над которым она определена.

Симплектическое векторное пространство само по себе является симплектическим многообразием. Таким образом, преобразование под действием симплектической группы в некотором смысле является линеаризованной версией симплектоморфизма, который представляет собой более общее преобразование, сохраняющее структуру на симплектическом многообразии.

Сп( п )

Компактная симплектическая группа ^[11] $Sp(n)$ является пересечением $Sp(2n, C) с$ унитарной группой: $2n\times 2n$

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

Иногда его записывают как $USp(2 n)$ . Альтернативно, $Sp(n)$ можно описать как подгруппу $GL(n, H)$ (обратимых кватернионных матриц), которая сохраняет стандартную эрмитову форму на $H n$ :

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

То есть $Sp(n)$ — это просто кватернионная унитарная группа $U(n, H)$ . ^[12] Действительно, ее иногда называют гиперунитарной группой . Также Sp(1) является группой кватернионов нормы $1$ , эквивалентной $SU(2)$ и топологически $3$ - сферой $S 3$ .

Заметим, что $Sp(n)$ не является симплектической группой в смысле предыдущего раздела — она не сохраняет невырожденную кососимметрическую $H$ -билинейную форму на $Hn$ : такой формы не существует, кроме нулевой формы $.$ Скорее, он изоморфен подгруппе $Sp(2 n, C)$ и поэтому сохраняет комплексную симплектическую форму в векторном пространстве удвоенной размерности. Как поясняется ниже, алгебра Ли $Sp(n)$ является компактной вещественной формой комплексной симплектической алгебры Ли $sp (2n, C)$ .

$Sp(n)$ — вещественная группа Ли с (вещественной) размерностью $n (2 n + 1)$ . Он компактен и просто подключается . ^[13]

Алгебра Ли $Sp(n)$ задается кватернионными косоэрмитовыми матрицами , набором $n -n$ кватернионных матриц, которые $удовлетворяют$

A+A^{\dagger }=0

где $A †$ — сопряженное транспонирование A $($ здесь берется кватернионное сопряжение). Скобка Ли задается коммутатором.

Важные подгруппы

Некоторые основные подгруппы:

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)

И наоборот, она сама является подгруппой некоторых других групп:

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

Существуют также изоморфизмы алгебр Ли $sp (2) = so (5)$ и $sp (1) = so (3) = su (2)$ .

Отношения между симплектическими группами

Каждая сложная полупростая алгебра Ли имеет расщепленную действительную форму и компактную действительную форму ; первое называется комплексификацией двух последних.

Алгебра Ли Sp $(2n, C) полупроста$ и обозначается $sp$ $($ $2n$ $,$ $C$ $)$ . Его расщепленная вещественная форма — $sp$ $(2n$ $,$ $R$ $)$ $,$ а компактная вещественная форма — $sp$ $($ $n$ $)$ . Они соответствуют группам Ли $Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ и $Sp($ $n$ $)$ соответственно.

Алгебры $sp (p, n - p)$ , которые являются алгебрами Ли $Sp(p, n - p)$ , являются неопределенной сигнатурой , эквивалентной компактной форме.

Физическое значение

Классическая механика

Некомпактная симплектическая группа $Sp(2 n, R)$ возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющие скобку Пуассона.

Рассмотрим систему из $n$ частиц, эволюционирующую по уравнениям Гамильтона, положение которой в фазовом пространстве в данный момент времени обозначается вектором канонических координат ,

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

Элементы группы $Sp(2 n, R)$ являются в определенном смысле каноническими преобразованиями на этом векторе, т. е. сохраняют форму уравнений Гамильтона . ^[14]^[15] Если

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

— новые канонические координаты, то с точкой, обозначающей производную по времени,

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

где

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

для всех $t$ и всех $z$ в фазовом пространстве. ^[16]

В частном случае риманова многообразия уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом многообразии. Координаты живут на нижележащем многообразии, а импульсы живут в кокасательном расслоении . По этой причине их традиционно пишут с верхними и нижними индексами; это значит различать их расположение. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это где – обратный метрическому тензору на римановом многообразии. ^[17]^[15] Фактически, кокасательное расслоение любого гладкого многообразия может быть заданной симплектической структурой каноническим образом, причем симплектическая форма определяется как внешняя производная тавтологической одноформы . ^[18] $q^{i}$ $p_{i}$ $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

Квантовая механика

Рассмотрим систему из $n$ частиц, квантовое состояние которой кодирует ее положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными и, следовательно , гильбертово пространство , в котором живет состояние, бесконечномерно. Это часто затрудняет анализ данной ситуации. Альтернативный подход состоит в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса под действием уравнения Гейзенберга в фазовом пространстве .

Постройте вектор канонических координат ,

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

Каноническое коммутационное соотношение можно просто выразить как

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

где

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

I $n$ — единичная матрица $размера$ $n \times n$ .

Во многих физических ситуациях требуются только квадратичные гамильтонианы , т.е. гамильтонианы вида

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

где $K$ — вещественная симметричная матрица размером $2 n \times 2 n$ . Это оказывается полезным ограничением и позволяет нам переписать уравнение Гейзенберга в виде

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение . Можно показать, что временная эволюция этой системы эквивалентна действию вещественной симплектической группы Sp(2n, R) на фазовое пространство.

Смотрите также

Примечания

^ «Симплектическая группа», Математическая энциклопедия, дата обращения 13 декабря 2014 г.
^ Зал 2015 г., Предложение 3.25.
^ «Проста ли симплектическая группа Sp(2n, R)?», Stack Exchange , получено 14 декабря 2014 г.
^ «Является ли экспоненциальная карта для Sp (2n, R) сюръективной?», Stack Exchange, получено 5 декабря 2014 г.
^ «Стандартные формы и инженерия запутанности многомодовых гауссовских состояний при локальных операциях - Серафини и Адессо», Проверено 30 января 2015 г.
^ «Симплектическая геометрия - Арнольд и Гивенталь», дата обращения 30 января 2015 г.
↑ Symmplectic Group (источник: Wolfram MathWorld ), загружено 14 февраля 2012 г.
^ Джеральд Б. Фолланд. (2016). Гармонический анализ в фазовом пространстве. Принстон: Princeton Univ Press. п. 173. ИСБН 978-1-4008-8242-7. ОКЛК 945482850.
^ Хаберманн, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака. Спрингер. ISBN 978-3-540-33421-7. ОСЛК 262692314.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
^ «Конспекты лекций - Лекция 2: Симплектическая редукция», дата обращения 30 января 2015 г.
^ Зал 2015 г., раздел 1.2.8.
^ Холл 2015 с. 14
^ Зал 2015 г., Предложение 13.12.
^ Арнольд 1989 дает обширный математический обзор классической механики. См. главу 8 о симплектических многообразиях .
^ ab Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондонский ISBN 0-8053-0102-X
^ Гольдштейн 1980, раздел 9.3.
^ Юрген Йост, (1992) Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer.
^ да Силва, Ана Каннас (2008). Лекции по симплектической геометрии. Конспект лекций по математике. Том. 1764. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 9. дои : 10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5.