Симплектическое многообразие

Тип многообразия в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии , предмете математики , симплектическое многообразие — это гладкое многообразие , снабженное замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой , называемой симплектической формой. Изучение симплектических многообразий называется симплектической геометрией или симплектической топологией . Симплектические многообразия естественным образом возникают в абстрактных формулировках классической механики и аналитической механики как кокасательные расслоения многообразий. Например, в гамильтоновой формулировке классической механики, которая обеспечивает одну из основных мотиваций для этой области, набор всех возможных конфигураций системы моделируется как многообразие, и кокасательное расслоение этого многообразия описывает фазовое пространство системы. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$

Мотивация

Симплектические многообразия возникают из классической механики ; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. ^[1] Точно так же, как уравнения Гамильтона позволяют вывести эволюцию системы во времени из набора дифференциальных уравнений , симплектическая форма должна позволить получить векторное поле , описывающее поток системы, из дифференциала гамильтониана функция . ^[2] Итак, нам требуется линейное отображение касательного многообразия в кокасательное многообразие или, что то же самое, элемент из . Обозначая часть , требование невырожденности гарантирует, что для каждого дифференциала существует уникальное соответствующее векторное поле такое, что . Поскольку желательно, чтобы гамильтониан был постоянным вдоль линий тока, необходимо иметь , что означает, что он является знакопеременным и, следовательно, является 2-формой. Наконец, выдвигается требование, которое не должно меняться под линиями тока, т.е. чтобы производная Ли от вдоль обращалась в нуль. Применяя формулу Картана , это составляет (вот внутреннее произведение ): ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}$ ${\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}$

так что, повторяя это рассуждение для различных гладких функций, таких что соответствующий охват касательного пространства в каждой точке, к которой применяется аргумент, мы видим, что требование исчезновения производной Ли вдоль потоков, соответствующих произвольной гладкости, эквивалентно требованию что ω должна быть замкнутой . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle H}$

Определение

Симплектическая форма на гладком многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма . ^{[3] [4]} Здесь невырожденность означает, что для каждой точки кососимметричное спаривание в касательном пространстве , определенное как, является невырожденным. То есть, если существует такое, что для всех , то . Поскольку в нечетных измерениях кососимметричные матрицы всегда сингулярны, из требования невырожденности следует, что они имеют четную размерность. ^{[3] [4]} Условие замкнутости означает, что внешняя производная обращается в нуль. Симплектическое многообразие — это пара , где — гладкое многообразие, а — симплектическая форма. Присвоение симплектической формы называется приданием симплектической структуры . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

Симплектические векторные пространства

Пусть – базис для. Определим нашу симплектическую форму ω на этом базисе следующим образом: ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$

${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

В этом случае симплектическая форма сводится к простой квадратичной форме . Если I _n обозначает единичную матрицу размера n × n , то матрица Ω этой квадратичной формы представляет собой блочную матрицу размером 2 n × 2 n :

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Котангенсные расслоения

Пусть – гладкое многообразие размерности . Тогда все пространство кокасательного расслоения имеет естественную симплектическую форму, называемую двуформой Пуанкаре или канонической симплектической формой. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$

Здесь — любые локальные координаты на и — послойные координаты относительно кокасательных векторов . Кокасательные расслоения — это естественные фазовые пространства классической механики. Точка различения верхних и нижних индексов обусловлена ​​случаем, когда многообразие имеет метрический тензор , как это имеет место для римановых многообразий . Верхние и нижние индексы преобразуются контра и ковариантно при смене систем координат. Фраза «послойные координаты относительно котангенсов» призвана передать, что импульсы « припаяны » к скоростям . Пайка является выражением идеи о том, что скорость и импульс коллинеарны, поскольку оба движутся в одном направлении и различаются масштабным коэффициентом. ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle dq^{i}}$

Кэлеровые многообразия

Кэлерово многообразие — это симплектическое многообразие, снабженное совместимой интегрируемой комплексной структурой. Они образуют особый класс комплексных многообразий . Большой класс примеров взят из сложной алгебраической геометрии . Любое гладкое комплексное проективное многообразие имеет симплектическую форму, являющуюся ограничением формы Фубини — Стьюди на проективное пространство . ${\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Почти комплексные многообразия

Римановы многообразия с -совместимой почти комплексной структурой называются почти комплексными многообразиями . Они обобщают кэлеровы многообразия, поскольку они не обязательно должны быть интегрируемыми . То есть они не обязательно возникают в результате сложной структуры многообразия. ${\displaystyle \omega }$

Лагранжиан и другие подмногообразия

Существует несколько естественных геометрических понятий подмногообразия симплектического многообразия : ${\displaystyle (M,\omega )}$

• Симплектические подмногообразия ( потенциально любой четной размерности) — это такие подмногообразия, которые являются симплектической формой на . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$ ${\displaystyle S}$
• Изотропные подмногообразия — это подмногообразия, в которых симплектическая форма сужается до нуля, т. е. каждое касательное пространство является изотропным подпространством касательного пространства объемлющего многообразия. Аналогично, если каждое касательное подпространство к подмногообразию коизотропно (двойственное изотропному подпространству), подмногообразие называется коизотропным .
• Лагранжевы подмногообразия симплектического многообразия — это подмногообразия, в которых ограничение симплектической формы на обращается в нуль, т. е . и . Лагранжевы подмногообразия — это максимальные изотропные подмногообразия. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{L}=0}$ ${\displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}$

Одним из основных примеров является то, что график симплектоморфизма в произведении симплектического многообразия ( M × M , ω × − ω ) является лагранжевым. Их пересечения проявляют свойства жесткости, которыми не обладают гладкие многообразия; гипотеза Арнольда дает сумму чисел Бетти подмногообразия как нижнюю границу числа самопересечений гладкого лагранжева подмногообразия, а не эйлерову характеристику в гладком случае.

Примеры

Пусть глобальные координаты обозначены . Тогда мы можем снабдить канонической симплектической формой ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}$

Существует стандартное лагранжево подмногообразие, заданное формулой . Форма исчезает, потому что для любой пары касательных векторов мы имеем это. Чтобы прояснить это, рассмотрим случай . Тогда и . Обратите внимание: когда мы расширяем это ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$ ${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

оба слагаемых имеют коэффициент, равный 0 по определению. ${\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}$

Пример: расслоение котангенсов.

Кокасательное расслоение многообразия локально моделируется в пространстве, аналогичном первому примеру. Можно показать, что мы можем склеить эти аффинные симплектические формы, следовательно, это расслоение образует симплектическое многообразие. Менее тривиальный пример лагранжева подмногообразия — нулевое сечение кокасательного расслоения многообразия. Например, пусть

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}$

Тогда мы можем представить как ${\displaystyle T^{*}X}$

${\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}$

где мы рассматриваем символы как координаты . Мы можем рассмотреть подмножество, где координаты и , что дает нам нулевое сечение. Этот пример можно повторить для любого многообразия, определяемого нулевым местом гладких функций и их дифференциалов . ${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$ ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}$

Пример: параметрическое подмногообразие

Рассмотрим каноническое пространство с координатами . Параметрическим подмногообразием является то, которое параметризовано координатами так, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

Это многообразие является лагранжевым подмногообразием, если скобка Лагранжа равна нулю для всех . То есть оно лагранжево, если ${\displaystyle [u_{i},u_{j}]}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}$

для всех . В этом можно убедиться, развернув ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}$

в условии лагранжева подмногообразия . Это значит, что симплектическая форма должна исчезать на касательном многообразии ; то есть он должен исчезнуть для всех касательных векторов: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle TL}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}$

для всех . Упростите результат, используя каноническую симплектическую форму на : ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}$

и все остальные исчезают.

Поскольку локальные карты на симплектическом многообразии принимают каноническую форму, этот пример предполагает, что лагранжевы подмногообразия относительно неограничены. Классификация симплектических многообразий осуществляется с помощью гомологий Флоера — это приложение теории Морса к функционалу действия для отображений между лагранжевыми подмногообразиями. В физике действие описывает эволюцию физической системы во времени; здесь его можно понимать как описание динамики бран.

Пример: теория Морса

Другой полезный класс лагранжевых подмногообразий встречается в теории Морса . Учитывая функцию Морса и достаточно малую, можно построить лагранжево подмногообразие, заданное исчезающим геометрическим числом . Для общей функции Морса у нас есть лагранжево пересечение, заданное формулой . ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$ ${\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}$

Специальные лагранжевы подмногообразия

В случае кэлерова многообразия (или многообразия Калаби–Яу ) мы можем сделать выбор в качестве голоморфной n-формы, где – действительная часть и мнимая. Лагранжево подмногообразие называется специальным , если в дополнение к указанному выше условию Лагранжа ограничение на обращается в нуль. Другими словами, действительная часть, ограниченная на, приводит к форме объема на . Следующие примеры известны как специальные лагранжевы подмногообразия: ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

1. комплексные лагранжевы подмногообразия гиперкелеровых многообразий ,
2. неподвижные точки вещественной структуры многообразий Калаби–Яу.

Гипотеза SYZ касается изучения специальных лагранжевых подмногообразий зеркальной симметрии ; см. (Хитчин 1999).

Гипотеза Томаса–Яу предсказывает, что существование специальных лагранжевых подмногообразий на многообразиях Калаби–Яу в гамильтоновых изотопических классах лагранжианов эквивалентно устойчивости относительно условия устойчивости категории Фукая многообразия.

Лагранжево расслоение

Лагранжево расслоение симплектического многообразия M — это расслоение , все слои которого являются лагранжевыми подмногообразиями. Поскольку M четномерно, мы можем взять локальные координаты ( p ₁ ,..., p _n , q ¹ ,..., q ⁿ ), и по теореме Дарбу симплектическая форма ω может быть, по крайней мере локально, записана как ω = ∑ d p _k ∧ d q ^k , где d обозначает внешнюю производную , а ∧ обозначает внешнее произведение . Эта форма называется двуформой Пуанкаре или канонической двуформой. Используя эту схему, мы можем локально думать о M как о кокасательном расслоении , а о лагранжевом расслоении как о тривиальном слоении. Это каноническая картина. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Лагранжево отображение

Пусть L — лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ( K ,ω), заданное погружением i  : L ↪ K ( i называется лагранжевым погружением ). Пусть π  : K ↠ B задаёт лагранжево расслоение K. Композиция ( π∘i ) : L ↪ K ↠ B является лагранжевым отображением . Набор критических значений π ∘ i называется каустикой .

Два лагранжевых отображения ( π ₁ ∘ i ₁ ) : L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ и ( π ₂ ∘ i ₂ ) : L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ называются лагранжево эквивалентными , если существуют диффеоморфизмы σ , τ и ν такие , что что обе части диаграммы, заданной справа , коммутируют и τ сохраняет симплектическую форму. ^[4] Символически:

${\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}$

где τ ^∗ ω2 обозначает обратный ход ω2 на τ _{. _} _

Особые случаи и обобщения

• Симплектическое многообразие является точным , если точна симплектическая форма . Например, кокасательное расслоение гладкого многообразия является точным симплектическим многообразием. Каноническая симплектическая форма точна. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• Симплектическое многообразие, наделенное метрикой , совместимой с симплектической формой, является почти кэлеровым многообразием в том смысле, что касательное расслоение имеет почти комплексную структуру , но оно не обязательно должно быть интегрируемым .
• Симплектические многообразия являются частными случаями пуассоновского многообразия .
• Мультисимплектическим многообразием степени k называется многообразие, снабженное замкнутой невырожденной k -формой. ^[5]
• Полисимплектическое многообразие — это расслоение Лежандра, снабженное полисимплектической касательной -формой; он используется в гамильтоновой теории поля . ^[6] ${\displaystyle (n+2)}$

Смотрите также

• Математический портал

• Почти симплектическое многообразие  – дифференцируемое многообразие, снабженное невырожденной (но не обязательно замкнутой) 2-формой.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Контактное многообразие  — раздел геометрии Pages displaying short descriptions of redirect targets— нечетномерный аналог симплектического многообразия.
• Ковариантная гамильтонова теория поля  - формализм в классической теории поля, основанный на гамильтоновой механикеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Многообразие Федосова  – симплектическое многообразие, снабженное связностью без кручения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Скобка Пуассона  - Операция в гамильтоновой механике
• Симплектическая группа  – Математическая группа
• Симплектическая матрица
• Симплектическая топология  - Раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Симплектическое векторное пространство  - векторное пространство, снабженное знакопеременной невырожденной билинейной формой.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Симплектоморфизм  - Изоморфизм симплектических многообразий.
• Тавтологическая одна форма  - каноническая дифференциальная форма, определенная на кокасательном расслоении гладкого многообразия.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Неравенство Виртингера (2-формы)  - неравенство, применимое к 2-формамPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Цитаты

1. Вебстер, Бен (9 января 2012 г.). «Что такое симплектическое многообразие на самом деле?».
2. Кон, Генри. «Почему симплектическая геометрия является естественной основой классической механики».
3. де Госсон, Морис (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. п. 10. ISBN 3-7643-7574-4.
4. Арнольд, VI ; Варченко А.Н. ; Гусейн-Заде, С.М. (1985). Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, Том 1 . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3187-9.
5. Кантрейн, Ф.; Иборт, Луизиана; де Леон, М. (1999). «О геометрии мультисимплектических многообразий». Дж. Аустрал. Математика. Соц . Сер. А. 66 (3): 303–330. дои : 10.1017/S1446788700036636 .
6. Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (1999). «Ковариантные гамильтоновы уравнения теории поля». Журнал физики . А32 (38): 6629–6642. arXiv : hep-th/9904062 . Бибкод : 1999JPhA...32.6629G. дои : 10.1088/0305-4470/32/38/302. S2CID  204899025.

Общие и цитируемые ссылки

• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Оксфордские математические монографии. ISBN 0-19-850451-9.
• Ору, Дени . «Семинар по зеркальной симметрии».
• Майнренкен, Экхард . «Симплектическая геометрия» (PDF) .
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. См. раздел 3.2. ISBN 0-8053-0102-Х.
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
• Алан Вайнштейн (1971). «Симплектические многообразия и их лагранжевы подмногообразия». Достижения в математике . 6 (3): 329–46. дои : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
• Арнольд, VI (1990). «Гл.1, Симплектическая геометрия». Особенности каустик и волновых фронтов. Математика и ее приложения. Том. 62. Дордрехт: Springer Нидерланды. дои : 10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2. ОСЛК  22509804.

дальнейшее чтение

• Дунин-Барковский, Петр (2022). «Симплектическая двойственность для топологической рекурсии». arXiv : 2206.14792 [math-ph].
• «Как найти лагранжевы подмногообразия». Обмен стеками . 17 декабря 2014 г.
• Люмист, Ю. (2001) [1994], «Симплектическая структура», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Сарданашвили, Г. (2009). «Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа». Лекции для теоретиков . arXiv : 0908.1886 .
• Макдафф, Д. (ноябрь 1998 г.). «Симплектические структуры — новый подход к геометрии» (PDF) . Уведомления АМС .
• Хитчин, Найджел (1999). «Лекции по специальным лагранжевым подмногообразиям». arXiv : математика/9907034 .