Замкнутые и точные дифференциальные формы

Концепция векторного исчисления

В математике , особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии , замкнутая форма — это дифференциальная форма α, внешняя производная которой равна нулю ( dα = 0 ), а точная форма — это дифференциальная форма α , которая является внешней производной другой дифференциальной формы β . Таким образом, точная форма находится в образе d , а замкнутая форма — в ядре d .

Для точной формы α , α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени на единицу меньше, чем у α . Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α . Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не является единственной, но может быть изменена добавлением любой замкнутой формы степени на единицу меньше, чем у α .

Поскольку d ² = 0 , каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, является ли каждая замкнутая форма точной, зависит от топологии интересующей области. На стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре . Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии являются предметом когомологий де Рама , которые позволяют получать чисто топологическую информацию с помощью дифференциальных методов.

Примеры

Векторному полю, соответствующему ( дуальному по Ходжу ) dθ .

Простым примером формы, которая замкнута, но не точна, является 1-форма ^{[примечание 1],} заданная производной аргумента на проколотой плоскости . Поскольку на самом деле не является функцией (см. следующий абзац), то не является точной формой. Тем не менее, имеет исчезающую производную и, следовательно, замкнута. ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

Обратите внимание, что аргумент определяется только до целого числа, кратного , поскольку одной точке могут быть назначены разные аргументы , и т . д. Мы можем назначать аргументы локально согласованным образом вокруг , но не глобально согласованным образом. Это происходит потому, что если мы проследим цикл против часовой стрелки вокруг начала координат и обратно к , аргумент увеличится на . Обычно аргумент изменяется на ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

по петле, ориентированной против часовой стрелки . ${\displaystyle S^{1}}$

Хотя аргумент технически не является функцией, различные локальные определения в точке отличаются друг от друга константами. Поскольку производная в использует только локальные данные, и поскольку функции, отличающиеся константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально четко определенную производную " ". ^{[примечание 2]} ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d\theta }$

В результате получается, что это одна форма на , которая на самом деле не является производной какой-либо хорошо определенной функции . Мы говорим, что это не точно . Явно, задается как: ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

который при осмотре имеет производную нулевую. Поскольку имеет исчезающую производную, мы говорим, что он замкнут . ${\displaystyle d\theta }$

Эта форма порождает группу когомологий де Рама, что означает, что любая замкнутая форма является суммой точной формы и кратного : , где учитывает нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, что является единственным препятствием для замкнутой формы на проколотой плоскости (локально производной потенциальной функции ), являющейся производной глобально определенной функции. ${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$ ${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

Примеры в малых размерах

Дифференциальные формы в и были хорошо известны в математической физике девятнадцатого века. На плоскости 0-формы являются просто функциями, а 2-формы являются функциями, умноженными на элемент базовой площади , так что это 1-формы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

которые действительно интересны. Формула для внешней производной здесь ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

где индексы обозначают частные производные . Поэтому условием для замкнутости является ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

В этом случае, если это функция, то ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

Тогда следствием симметрии вторых производных относительно и является переход от «точного» к «закрытому» . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Теорема градиента утверждает , что 1-форма является точной тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от конечных точек кривой или, что эквивалентно, если интеграл по любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.

Аналогии векторного поля

На римановом многообразии или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии k - формы соответствуют k -векторным полям (по двойственности через метрику ), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме.

В 3 измерениях точное векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем , что означает, что оно является производной ( градиентом ) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемой скалярным потенциалом . Замкнутое векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) — это поле, производная ( ротор ) которого равна нулю, и называется безвихревым векторным полем .

Думая о векторном поле как о 2-форме, замкнутое векторное поле — это такое, производная ( дивергенция ) которого равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин несжимаемый используется, потому что ненулевая дивергенция соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей обобщаются на n измерений, поскольку градиент и дивергенция обобщаются на n измерений; ротор определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается таким образом.

Лемма Пуанкаре

Лемма Пуанкаре утверждает, что если B — открытый шар в Rn ^, то любая замкнутая p -форма ω, определенная на B , является точной для любого целого числа p с 1 ≤ p ≤ n . ^[1]

В более общем смысле лемма утверждает, что на стягиваемом открытом подмножестве многообразия (например, ) замкнутая p -форма, p > 0, является точной. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Формулировка как когомологии

Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η являются замкнутыми формами, и можно найти некоторое β такое, что

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Точные формы иногда называют когомологичными нулю . Множество всех форм, когомологичных заданной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии . Не имеет смысла спрашивать, является ли 0-форма (гладкая функция) точной, поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки из топологии подсказывают, что только нулевую функцию следует называть «точной». Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.

Используя сжимающие гомотопии, подобные тем, что использовались в доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны. ^[2]

Применение в электродинамике

В электродинамике важен случай магнитного поля, создаваемого стационарным электрическим током. Там рассматривается векторный потенциал этого поля. Этот случай соответствует k = 2 , а определяющей областью является полное . Вектор плотности тока равен . Он соответствует току в виде 2-формы ${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

Для магнитного поля имеем аналогичные результаты: оно соответствует индукционной двуформе и может быть получено из векторного потенциала или соответствующей одноформы , ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

При этом векторный потенциал соответствует потенциальной одноформе ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

Замкнутость двумерной формы магнитной индукции соответствует свойству магнитного поля, заключающемуся в том, что оно не имеет источника: , т.е. что не существует магнитных монополей . ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

В специальной калибровке это означает для i = 1, 2, 3 ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(Вот магнитная постоянная .) ${\displaystyle \mu _{0}}$

Это уравнение замечательно тем, что оно полностью соответствует известной формуле для электрического поля , а именно для электростатического кулоновского потенциала плотности заряда . В этом месте уже можно догадаться, что ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$и ${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$и ${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$и ${\displaystyle {\vec {A}}}$

можно объединить в величины с шестью или четырьмя нетривиальными компонентами, что является основой релятивистской инвариантности уравнений Максвелла .

Если условие стационарности оставлено, то в левой части вышеупомянутого уравнения нужно добавить в уравнениях для к трем пространственным координатам в качестве четвертой переменной также время t , тогда как в правой части, в , нужно использовать так называемое "запаздывающее время", , т.е. оно добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и прежде, интегрируем по трем штрихованным пространственным координатам. (Как обычно, c - это скорость света в вакууме.) ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle j_{i}'}$ ${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

Примечания

1. Это злоупотребление обозначениями. Аргумент не является четко определенной функцией и не является дифференциалом какой-либо нулевой формы. Дальнейшее обсуждение подробно останавливается на этом. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$
2. Статья Покрывающее пространство содержит дополнительную информацию о математике функций, которые определены только локально.

Цитаты

1. Уорнер 1983, стр. 155–156.
2. Уорнер 1983, стр. 162–207.

Ссылки

• Фландерс, Харли (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Напье, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Сингер, И. М.; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , Издательство Бангалорского университета, ISBN 0721114784