Зеркальная симметрия (теория струн)

В физике и геометрии: предполагаемая связь между парами многообразий Калаби–Яу

В алгебраической геометрии и теоретической физике зеркальная симметрия — это отношение между геометрическими объектами, называемыми многообразиями Калаби–Яу . Этот термин относится к ситуации, когда два многообразия Калаби–Яу выглядят очень по-разному геометрически, но тем не менее эквивалентны при использовании в качестве дополнительных измерений теории струн .

Ранние случаи зеркальной симметрии были обнаружены физиками. Математики заинтересовались этим соотношением около 1990 года, когда Филипп Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс показали, что его можно использовать в качестве инструмента в исчислительной геометрии , разделе математики, занимающемся подсчетом количества решений геометрических вопросов. Канделас и его коллеги показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета рациональных кривых на многообразии Калаби-Яу, тем самым решив давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии основывался на физических идеях, которые не были поняты математически точно, некоторые из его математических предсказаний с тех пор были строго доказаны .

Сегодня зеркальная симметрия является основной темой исследований в чистой математике , и математики работают над разработкой математического понимания этой связи, основанного на интуиции физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн, и она использовалась для понимания аспектов квантовой теории поля , формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Основные подходы к зеркальной симметрии включают программу гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича и гипотезу SYZ Эндрю Стромингера , Шин-Тунг Яу и Эрика Заслоу .

Обзор

Струны и компактификация

Основными объектами теории струн являются открытые и замкнутые струны .

В физике теория струн — это теоретическая структура , в которой точечные частицы физики частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струнами . Эти струны выглядят как небольшие сегменты или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, больших, чем масштаб струны, струна будет выглядеть так же, как обычная частица, с ее массой , зарядом и другими свойствами, определяемыми вибрационным состоянием струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, что приводит к взаимодействию между частицами. ^[1]

Существуют заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и повседневным миром. В повседневной жизни существуют три привычных измерения пространства (вверх/вниз, влево/вправо и вперед/назад), и есть одно измерение времени (позже/раньше). Таким образом, на языке современной физики говорят, что пространство-время четырехмерно. ^[2] Одной из особенностей теории струн является то, что она требует дополнительных измерений пространства-времени для своей математической согласованности. В теории суперструн , версии теории, которая включает теоретическую идею, называемую суперсимметрией , существует шесть дополнительных измерений пространства-времени в дополнение к четырем, которые знакомы из повседневного опыта. ^[3]

Одной из целей современных исследований в области теории струн является разработка моделей, в которых струны представляют частицы, наблюдаемые в экспериментах по физике высоких энергий. Чтобы такая модель соответствовала наблюдениям, ее пространство-время должно быть четырехмерным на соответствующих масштабах расстояний, поэтому необходимо искать способы ограничить дополнительные измерения меньшими масштабами. В большинстве реалистичных моделей физики, основанных на теории струн, это достигается с помощью процесса, называемого компактификацией , в котором предполагается, что дополнительные измерения «замыкаются» на себе, образуя круги. ^[4] В пределе, когда эти свернутые измерения становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартной аналогией для этого является рассмотрение многомерного объекта, такого как садовый шланг. Если шланг рассматривать с достаточного расстояния, он, по-видимому, имеет только одно измерение — свою длину. Однако, приближаясь к шлангу, можно обнаружить, что он содержит второе измерение — свою окружность. Таким образом, муравей, ползущий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях. ^[5]

Многообразия Калаби–Яу

Поперечное сечение многообразия Калаби–Яу пятого порядка

Компактификация может быть использована для построения моделей, в которых пространство-время фактически является четырехмерным. Однако не каждый способ компактификации дополнительных измерений создает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби-Яу . ^[4] Многообразие Калаби-Яу — это особое пространство , которое обычно считается шестимерным в приложениях к теории струн. Оно названо в честь математиков Эухенио Калаби и Шинг-Тунг Яу . ^[6]

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х годов Лэнс Диксон , Вольфганг Лерхе, Кумрун Вафа и Ник Уорнер заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно реконструировать соответствующее многообразие Калаби-Яу. ^[7] Вместо этого две разные версии теории струн, называемые теорией струн типа IIA и типом IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби-Яу, что приводит к одной и той же физике. ^[a] В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а связь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией. ^[9]

Отношение зеркальной симметрии является частным примером того, что физики называют физической дуальностью . В общем, термин физическая дуальность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические теории оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если одну теорию можно преобразовать так, чтобы она выглядела точно так же, как другая теория, то говорят, что эти две теории дуальны при таком преобразовании. Иными словами, эти две теории являются математически разными описаниями одних и тех же явлений. ^[10] Такие дуальности играют важную роль в современной физике, особенно в теории струн. ^[b]

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби–Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной дуальности между различными теориями струн имеет существенные математические последствия. ^[11] Многообразия Калаби–Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики , а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи исчислительной алгебраической геометрии , раздела математики, связанного с подсчетом количества решений геометрических вопросов. Классическая задача исчислительной геометрии состоит в перечислении рациональных кривых на многообразии Калаби–Яу, таком как проиллюстрированное выше. Применив зеркальную симметрию, математики перевели эту задачу в эквивалентную задачу для зеркального Калаби–Яу, которая оказывается проще для решения. ^[12]

В физике зеркальная симметрия обоснована на физических основаниях. ^[13] Однако математики обычно требуют строгих доказательств , которые не требуют обращения к физической интуиции. С математической точки зрения версия зеркальной симметрии, описанная выше, все еще является только гипотезой, но есть другая версия зеркальной симметрии в контексте топологической теории струн , упрощенная версия теории струн, введенная Эдвардом Виттеном , ^[14] которая была строго доказана математиками. ^[15] В контексте топологической теории струн зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые A-моделью и B-моделью, эквивалентны в том смысле, что существует дуальность, связывающая их. ^[16] Сегодня зеркальная симметрия является активной областью исследований в математике, и математики работают над разработкой более полного математического понимания зеркальной симметрии, основанного на интуиции физиков. ^[17]

История

Идея зеркальной симметрии восходит к середине 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса, физически эквивалентна струне, распространяющейся по окружности радиуса в соответствующих единицах . ^[18] Это явление теперь известно как T-дуальность и считается тесно связанным с зеркальной симметрией. ^[19] В статье 1985 года Филипп Канделас , Гэри Горовиц , Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что путем компактификации теории струн на многообразии Калаби-Яу получается теория, примерно похожая на стандартную модель физики элементарных частиц , которая также последовательно включает в себя идею, называемую суперсимметрией. ^[20] После этого развития многие физики начали изучать компактификации Калаби-Яу, надеясь построить реалистичные модели физики элементарных частиц на основе теории струн. Кумрун Вафа и другие заметили, что при наличии такой физической модели невозможно однозначно реконструировать соответствующее многообразие Калаби-Яу. Вместо этого существуют два многообразия Калаби-Яу, которые порождают одну и ту же физику. ^[21] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1/R}$

Изучая связь между многообразиями Калаби-Яу и некоторыми конформными теориями поля , называемыми моделями Гепнера, Брайан Грин и Ронен Плессер обнаружили нетривиальные примеры зеркальной связи. ^[22] Дополнительные доказательства этой связи были получены в работе Филиппа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммригка, которые обследовали большое количество многообразий Калаби-Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они представляют собой зеркальные пары. ^[23]

Математики заинтересовались зеркальной симметрией около 1990 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для решения задач исчислительной геометрии ^[24] , которые не поддавались решению в течение десятилетий или более. ^[25] Эти результаты были представлены математикам на конференции в Исследовательском институте математических наук (MSRI) в Беркли, Калифорния, в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, вычисленных Канделасом для подсчета рациональных кривых, не согласуется с числом, полученным норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Стайном Арильдом Стрёмме с использованием якобы более строгих методов. ^[26] Многие математики на конференции предположили, что работа Канделаса содержала ошибку, поскольку она не была основана на строгих математических аргументах. Однако, проверив свое решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили ответ, который совпадал с полученным Канделасом и его коллегами. ^[27]

В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн, ^[14] упрощенную версию теории струн, и физики показали, что существует версия зеркальной симметрии для топологической теории струн. ^[28] Это утверждение о топологической теории струн обычно принимается за определение зеркальной симметрии в математической литературе. ^[29] В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1994 году математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Известная как гомологическая зеркальная симметрия , эта гипотеза формализует зеркальную симметрию как эквивалентность двух математических структур: производной категории когерентных пучков на многообразии Калаби–Яу и категории Фукая ее зеркала. ^[30]

Также около 1995 года Концевич проанализировал результаты Канделаса, который дал общую формулу для задачи подсчета рациональных кривых на квинтике трифолда , и он переформулировал эти результаты как точную математическую гипотезу. ^[31] В 1996 году Александр Гивенталь опубликовал статью, в которой утверждал, что доказал эту гипотезу Концевича. ^[32] Первоначально многие математики сочли эту статью трудной для понимания, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лянь, Кефенг Лю и Шин-Тунг Яу опубликовали независимое доказательство в серии статей. ^[33] Несмотря на разногласия по поводу того, кто опубликовал первое доказательство, эти статьи теперь в совокупности рассматриваются как предоставление математического доказательства результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии. ^[34] В 2000 году Кентаро Хори и Кумрун Вафа дали еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности. ^[13]

Работа над зеркальной симметрией продолжается и сегодня, и основные разработки ведутся в контексте струн на поверхностях с границами. ^[17] Кроме того, зеркальная симметрия связана со многими активными областями математических исследований, такими как соответствие Маккея , топологическая квантовая теория поля и теория условий устойчивости . ^[35] В то же время основные вопросы продолжают вызывать беспокойство. Например, математики до сих пор не понимают, как строить примеры зеркальных пар Калаби–Яу, хотя в понимании этого вопроса наблюдается прогресс. ^[36]

Приложения

Перечислительная геометрия

Круги Аполлония : восемь цветных кругов касаются трех черных кругов.

Многие из важных математических приложений зеркальной симметрии относятся к разделу математики, называемому исчислительной геометрией. В исчислительной геометрии интерес представляет подсчет количества решений геометрических вопросов, обычно с использованием методов алгебраической геометрии . Одна из самых ранних задач исчислительной геометрии была поставлена ​​около 200 г. до н. э. древнегреческим математиком Аполлонием , который спросил, сколько окружностей на плоскости касаются трех данных окружностей. В общем, решение задачи Аполлония заключается в том, что таких окружностей восемь. ^[37]

Кубик Клебша

Перечислительные задачи в математике часто касаются класса геометрических объектов, называемых алгебраическими многообразиями , которые определяются обращением в нуль многочленов . Например, кубика Клебша (см. иллюстрацию) определяется с помощью определенного многочлена третьей степени от четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артура Кэли и Джорджа Салмона гласит, что существует ровно 27 прямых линий, которые полностью лежат на такой поверхности. ^[38]

Обобщая эту проблему, можно спросить, сколько линий можно нарисовать на квинтике многообразия Калаби-Яу, например, как показано выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эта проблема была решена немецким математиком девятнадцатого века Германом Шубертом , который обнаружил, что существует ровно 2875 таких линий. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как окружности, которые определяются полиномами второй степени и полностью лежат в квинтике, равно 609 250. ^[37]

К 1991 году большинство классических задач исчислительной геометрии были решены, и интерес к исчислительной геометрии начал угасать. По словам математика Марка Гросса , «поскольку старые задачи были решены, люди вернулись к проверке чисел Шуберта с помощью современных методов, но это уже довольно устарело». ^[39] Область возродилась в мае 1991 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета числа кривых третьей степени на квинтике Калаби-Яу. Канделас и его коллеги обнаружили, что эти шестимерные многообразия Калаби-Яу могут содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени. ^[39]

В дополнение к подсчету кривых третьей степени на трехмерном пространстве квинтики, Канделас и его коллеги получили ряд более общих результатов для подсчета рациональных кривых, которые вышли далеко за рамки результатов, полученных математиками. ^[40] Хотя методы, использованные в этой работе, основывались на физической интуиции, математики продолжили строго доказывать некоторые предсказания зеркальной симметрии. В частности, перечислимые предсказания зеркальной симметрии теперь строго доказаны. ^[34]

Теоретическая физика

В дополнение к своим приложениям в исчислительной геометрии, зеркальная симметрия является фундаментальным инструментом для выполнения вычислений в теории струн. В A-модели топологической теории струн физически интересные величины выражаются в терминах бесконечного множества чисел, называемых инвариантами Громова–Виттена , которые чрезвычайно трудно вычислить. В B-модели вычисления могут быть сведены к классическим интегралам и намного проще. ^[41] Применяя зеркальную симметрию, теоретики могут переводить сложные вычисления в A-модели в эквивалентные, но технически более простые вычисления в B-модели. Затем эти вычисления используются для определения вероятностей различных физических процессов в теории струн. Зеркальную симметрию можно объединить с другими дуальностями, чтобы перевести вычисления в одной теории в эквивалентные вычисления в другой теории. Передавая вычисления в разные теории таким образом, теоретики могут вычислять величины, которые невозможно вычислить без использования дуальностей. ^[42]

За пределами теории струн зеркальная симметрия используется для понимания аспектов квантовой теории поля , формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Например, калибровочные теории представляют собой класс высокосимметричных физических теорий, появляющихся в стандартной модели физики элементарных частиц и других частях теоретической физики. Некоторые калибровочные теории, которые не являются частью стандартной модели, но которые, тем не менее, важны по теоретическим причинам, возникают из струн, распространяющихся на почти сингулярном фоне. Для таких теорий зеркальная симметрия является полезным вычислительным инструментом. ^[43] Действительно, зеркальная симметрия может использоваться для выполнения вычислений в важной калибровочной теории в четырех измерениях пространства-времени, которая была изучена Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном и также известна в математике в контексте инвариантов Дональдсона . ^[44] Существует также обобщение зеркальной симметрии, называемое трехмерной зеркальной симметрией , которая связывает пары квантовых теорий поля в трех измерениях пространства-времени. ^[45]

Подходы

Гомологическая зеркальная симметрия

Открытые струны, прикрепленные к паре D-бран

В теории струн и связанных с ней теориях в физике брана — это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечную частицу можно рассматривать как брану размерности ноль, в то время как струну можно рассматривать как брану размерности один. Также можно рассматривать браны более высоких размерностей. Слово брана происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране. ^[46]

В теории струн струна может быть открытой (образующей сегмент с двумя концами) или закрытой (образующей замкнутую петлю). D-браны — важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется через пространство-время, ее концы должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к условию, которому она удовлетворяет, граничному условию Дирихле . ^[47]

Математически браны можно описать с помощью понятия категории . ^[48] Это математическая структура, состоящая из объектов , и для любой пары объектов — набора морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты являются математическими структурами (такими как множества , векторные пространства или топологические пространства ), а морфизмы — функциями между этими структурами. ^[49] Можно также рассмотреть категории, где объекты — D-браны, а морфизмы между двумя бранами и — состояния открытых струн, натянутых между и . ^[50] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

В B-модели топологической теории струн D-браны являются комплексными подмногообразиями Калаби-Яу вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах струн. ^[50] Интуитивно можно думать о подмногообразии как о поверхности, вложенной внутрь Калаби-Яу, хотя подмногообразия могут существовать и в размерностях, отличных от двух. ^[25] На математическом языке категория, имеющая эти браны в качестве своих объектов, известна как производная категория когерентных пучков на Калаби-Яу. ^[51] В A-модели D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби-Яу. Грубо говоря, они являются тем, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями . ^[51] Это означает, среди прочего, что они имеют половину размерности пространства, в котором они находятся, и они минимизируют длину, площадь или объем. ^[52] Категория, имеющая эти браны в качестве своих объектов, называется категорией Фукая. ^[51]

Производная категория когерентных пучков строится с использованием инструментов из комплексной геометрии , раздела математики, который описывает геометрические кривые в алгебраических терминах и решает геометрические задачи с использованием алгебраических уравнений . ^[53] С другой стороны, категория Фукая строится с использованием симплектической геометрии , раздела математики, возникшего из исследований классической физики . Симплектическая геометрия изучает пространства, снабженные симплектической формой , математическим инструментом, который может быть использован для вычисления площади в двумерных примерах. ^[16]

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича утверждает, что производная категория когерентных пучков на одном многообразии Калаби–Яу эквивалентна в определенном смысле категории Фукая его зеркала. ^[54] Эта эквивалентность дает точную математическую формулировку зеркальной симметрии в топологической теории струн. Кроме того, она дает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно комплексной и симплектической геометрией. ^[55]

Гипотеза Строминджера – Яу – Заслоу

Тор можно рассматривать как объединение бесконечного числа окружностей , таких как красная на рисунке. Для каждой точки розовой окружности существует одна такая окружность.

Другой подход к пониманию зеркальной симметрии был предложен Эндрю Стромингером, Шинг-Тунгом Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. ^[19] Согласно их гипотезе, теперь известной как гипотеза SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив многообразие Калаби–Яу на более простые части, а затем преобразовав их для получения зеркального Калаби–Яу. ^[56]

Простейшим примером многообразия Калаби–Яу является двумерный тор или форма бублика. ^[57] Рассмотрим окружность на этой поверхности, которая проходит один раз через отверстие бублика. Примером является красный круг на рисунке. На торе существует бесконечно много подобных окружностей; фактически вся поверхность является объединением таких окружностей. ^[58]

Можно выбрать вспомогательную окружность (розовая окружность на рисунке) так, чтобы каждая из бесконечного множества окружностей, разлагающих тор, проходила через точку . Говорят, что эта вспомогательная окружность параметризует окружности разложения, то есть между ними и точками существует соответствие . Однако окружность — это больше, чем просто список, поскольку она также определяет, как эти окружности расположены на торе. Это вспомогательное пространство играет важную роль в гипотезе SYZ. ^[52] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Идея деления тора на части, параметризованные вспомогательным пространством, может быть обобщена. Увеличивая размерность с двух до четырех действительных измерений, Калаби–Яу становится поверхностью K3 . Так же, как тор был разложен на окружности, четырехмерная поверхность K3 может быть разложена на двумерные торы. В этом случае пространство представляет собой обычную сферу . Каждая точка на сфере соответствует одному из двумерных торов, за исключением двадцати четырех «плохих» точек, соответствующих «защемленным» или сингулярным торам. ^[52] ${\displaystyle B}$

Многообразия Калаби–Яу, представляющие основной интерес в теории струн, имеют шесть измерений. Можно разделить такое многообразие на 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сферой (трехмерное обобщение сферы). Каждая точка соответствует 3-тору, за исключением бесконечного числа «плохих» точек, которые образуют сетчатый узор сегментов на многообразии Калаби–Яу и соответствуют сингулярным торам. ^[59] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

После того, как многообразие Калаби–Яу было разложено на более простые части, зеркальную симметрию можно понять интуитивно геометрическим способом. В качестве примера рассмотрим тор, описанный выше. Представьте, что этот тор представляет собой «пространство-время» для физической теории . Фундаментальными объектами этой теории будут струны, распространяющиеся через пространство-время в соответствии с правилами квантовой механики . Одной из основных дуальностей теории струн является T-дуальность, которая утверждает, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса, эквивалентна струне, распространяющейся по окружности радиуса в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в дуальном описании. ^[60] Например, струна имеет импульс , когда она распространяется по окружности, и она также может намотаться на окружность один или несколько раз. Число раз, которое струна наматывается на окружность, называется числом витков . Если струна имеет импульс и число витков в одном описании, она будет иметь импульс и число витков в дуальном описании. ^[60] Применяя T-дуальность одновременно ко всем окружностям, которые разлагают тор, радиусы этих окружностей становятся инвертированными, и остается новый тор, который «толще» или «тоньше» исходного. Этот тор является зеркалом исходного Калаби–Яу. ^[61] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1/R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

T-дуальность может быть расширена от окружностей до двумерных торов, появляющихся в разложении поверхности K3, или до трехмерных торов, появляющихся в разложении шестимерного многообразия Калаби–Яу. В общем, гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим торам. В каждом случае пространство предоставляет своего рода чертеж, описывающий, как эти торы собираются в многообразие Калаби–Яу. ^[62] ${\displaystyle B}$

Смотрите также

• Теория Дональдсона–Томаса
• Пересечение стены

Примечания

1. Форма многообразия Калаби–Яу математически описывается с помощью массива чисел, называемых числами Ходжа . Массивы, соответствующие зеркальным многообразиям Калаби–Яу, в общем случае различны, отражая различные формы многообразий, но они связаны определенной симметрией. ^[8]
2. Другие дуальности, возникающие в теории струн, — это S-дуальность , T-дуальность и соответствие AdS/CFT .

1. Доступное введение в теорию струн см. в Greene 2000.
2. Вальд 1984, стр. 4.
3. Цвибах 2009, стр. 8.
4. Yau & Nadis 2010, Гл. 6.
5. Эта аналогия используется, например, в Greene 2000, стр. 186.
6. Яу и Надис 2010, стр. ix.
7. Диксон 1988; Лерче, Вафа и Уорнер 1989.
8. Для получения дополнительной информации см. Yau & Nadis 2010, стр. 160–163.
9. Аспинуолл и др. 2009, стр. 13.
10. Хори и др. 2003, стр. xvi.
11. Заслоу 2008, стр. 523.
12. Яу и Надис 2010, стр. 168.
13. Хори и Вафа 2000.
14. Witten 1990.
15. Гивенталь 1996, 1998; Лиан, Лю и Яу 1997, 1999a, 1999b, 2000.
16. Zaslow 2008, стр. 531.
17. Хори и др. 2003, с. XIX.
18. Впервые это было отмечено в работах Киккавы и Ямасаки 1984 года и Сакаи и Сенды 1986 года.
19. Стромингер, Яу и Заслоу 1996.
20. Канделас и др. 1985.
21. Это наблюдалось в работах Диксона 1988 года и Лерче, Вафа и Уорнера 1989 года.
22. Грин и Плессер 1990; Яу и Надис 2010, с. 158.
23. Канделас, Линкер и Шиммригк 1990; Яу и Надис 2010, с. 163.
24. Канделас и др. 1991.
25. Яу и Надис 2010, с. 165.
26. Яу и Надис 2010, стр. 169–170.
27. Яу и Надис 2010, стр. 170
28. Вафа 1992; Виттен 1992.
29. Хори и др. 2003, стр. xviii.
30. Концевич 1995б.
31. Концевич 1995а.
32. Гивенталь 1996, 1998
33. Лиан, Лю и Яу 1997, 1999a, 1999b, 2000.
34. Яу и Надис 2010, с. 172.
35. Аспинуолл и др. 2009, стр. vii.
36. Заслоу 2008, стр. 537.
37. Яу и Надис 2010, с. 166.
38. Яу и Надис 2010, стр. 167.
39. Яу и Надис 2010, с. 169.
40. Яу и Надис 2010, стр. 171.
41. Заслоу 2008, стр. 533–534.
42. Заслоу 2008, раздел 10.
43. Хори и др. 2003, стр. 677.
44. Хори и др. 2003, стр. 679.
45. Интрилигатор и Зайберг 1996.
46. Мур 2005, стр. 214.
47. Мур 2005, стр. 215.
48. Аспинуолл и др. 2009, стр.  ^{[ необходима страница ]} .
49. Основной источник по теории категорий — Mac Lane 1998.
50. Zaslow 2008, стр. 536.
51. Аспинуолл и др. 2009, стр. 575.
52. Яу и Надис 2010, с. 175.
53. Яу и Надис 2010, стр. 180–181.
54. Аспинуолл и др. 2009, стр. 616.
55. Яу и Надис 2010, стр. 181.
56. Яу и Надис 2010, стр. 174.
57. Заслоу 2008, стр. 533.
58. Яу и Надис 2010, стр. 175–176.
59. Яу и Надис 2010, с. 175–177.
60. Zaslow 2008, стр. 532.
61. Яу и Надис 2010, стр. 178.
62. Яу и Надис 2010, стр. 178–179.

Ссылки

• Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сендрёй, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле-браны и зеркальная симметрия . Математические монографии Клэя . Том 4. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Канделас, Филипп; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Паркес, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби–Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Nuclear Physics B . 359 (1): 21–74. Bibcode :1991NuPhB.359...21C. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6.
• Канделас, Филипп; Горовиц, Гари; Стромингер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Nuclear Physics B. 258 : 46–74. Bibcode : 1985NuPhB.258...46C. doi : 10.1016/0550-3213(85)90602-9.
• Канделас, Филипп; Линкер, Моника; Шиммригк, Рольф (1990). "Многообразия Калаби–Яу в весовых ". Nuclear Physics B. 341 ( 1): 383–402. Bibcode : 1990NuPhB.341..383C. doi : 10.1016/0550-3213(90)90185-G. ${\displaystyle \mathbb {P} _{4}}$
• Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые свойства мирового листа компактификаций суперструн, на орбифолдах и в других случаях». ICTP Ser. Theoret. Phys . 4 : 67–126. ISBN 978-9971-5-0452-6.
• Givental, Alexander (1996). «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена». International Mathematics Research Notices . 1996 (13): 613–663. doi : 10.1155/S1073792896000414 . S2CID  554844.
• Givental, Alexander (1998). "Зеркальная теорема для торических полных пересечений". Топологическая теория поля, примитивные формы и смежные темы : 141–175. arXiv : alg-geom/9701016 . Bibcode :1998tftp.conf..141G. doi :10.1007/978-1-4612-0705-4_5. ISBN 978-1-4612-6874-1. S2CID  2884104.
• Грин, Брайан (2000). Элегантная Вселенная: Суперструны, Скрытые Измерения и Поиски Окончательной Теории . Random House. ISBN 978-0-9650888-0-0.
• Грин, Брайан; Плессер, Ронен (1990). «Двойственность в пространстве модулей Калаби–Яу». Nuclear Physics B. 338 ( 1): 15–37. Bibcode :1990NuPhB.338...15G. doi :10.1016/0550-3213(90)90622-K.
• Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Камрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Монографии Клэя по математике . Том. 1. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2955-6. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-09-19.
• Хори, Кентаро; Вафа, Камрун (2000). «Зеркальная симметрия». arXiv : hep-th/0002222 .
• Intriligator, Kenneth; Seiberg, Nathan (1996). «Зеркальная симметрия в трехмерных калибровочных теориях». Physics Letters B . 387 (3): 513–519. arXiv : hep-th/9607207 . Bibcode :1996PhLB..387..513I. doi :10.1016/0370-2693(96)01088-X. S2CID  13985843.
• Киккава, Кейджи; Ямасаки, Масами (1984). «Эффекты Казимира в теориях суперструн». Physics Letters B. 149 ( 4): 357–360. Bibcode : 1984PhLB..149..357K. doi : 10.1016/0370-2693(84)90423-4.
• Концевич, Максим (1995a), "Перечисление рациональных кривых с помощью действий тора", The Moduli Space of Curves , Birkhäuser, стр. 335, arXiv : hep-th/9405035 , doi :10.1007/978-1-4612-4264-2_12, ISBN 978-1-4612-8714-8, S2CID  16131978
• Концевич, Максим (1995б). "Гомологическая алгебра зеркальной симметрии". Труды Международного конгресса математиков . С. 120–139. arXiv : alg-geom/9411018 . Bibcode :1994alg.geom.11018K. doi :10.1007/978-3-0348-9078-6_11. ISBN 978-3-0348-9897-3. S2CID  16733945.
• Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas (1989). "Киральные кольца в N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} суперконформных теориях" (PDF) . Nuclear Physics B . 324 (2): 427–474. Bibcode :1989NuPhB.324..427L. doi :10.1016/0550-3213(89)90474-4. S2CID  120175708.
• Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1997). «Зеркальный принцип, Я». Азиатский математический журнал . 1 (4): 729–763. arXiv : alg-geom/9712011 . Бибкод : 1997alg.geom.12011L. doi :10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5. S2CID  8035522.
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999a). "Принцип зеркала, II". Asian Journal of Mathematics . 3 : 109–146. arXiv : math/9905006 . Bibcode :1999math......5006L. doi :10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6. S2CID  17837291.
• Лиан, Бонг; Лю, Кефенг; Яу, Шинг-Тунг (1999b). «Принцип зеркала, III». Азиатский журнал математики . 3 (4): 771–800. arXiv : math/9912038 . Bibcode :1999math.....12038L. doi :10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4.
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (2000). "Принцип зеркала, IV". Surveys in Differential Geometry . 7 : 475–496. arXiv : math/0007104 . Bibcode :2000math......7104L. doi :10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15. S2CID  1099024.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающего математика . Springer. ISBN 978-0-387-98403-2.
• Мур, Грегори (2005). «Что такое ... брана?» (PDF) . Notices of the AMS . 52 : 214. Получено 6 августа 2016 г.
• Сакаи, Норисукэ; Сенда, Икуо (1986). «Вакуумные энергии струн, компактифицированных на торе». Progress of Theoretical Physics . 75 (3): 692–705. Bibcode :1986PThPh..75..692S. doi : 10.1143/PTP.75.692 .
• Стромингер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия — это T-дуальность». Nuclear Physics B . 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th/9606040 . Bibcode :1996NuPhB.479..243S. doi :10.1016/0550-3213(96)00434-8. S2CID  14586676.
• Vafa, Cumrun (1992). "Топологические зеркала и квантовые кольца". Очерки о зеркальных многообразиях : 96–119. arXiv : hep-th/9111017 . Bibcode :1991hep.th...11017V. ISBN 978-962-7670-01-8.
• Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.
• Виттен, Эдвард (1990). «О структуре топологической фазы двумерной гравитации». Nuclear Physics B. 340 ( 2–3): 281–332. Bibcode : 1990NuPhB.340..281W. doi : 10.1016/0550-3213(90)90449-N.
• Виттен, Эдвард (1992). «Зеркальные многообразия и топологическая теория поля». Эссе о зеркальных многообразиях : 121–160. ISBN 978-962-7670-01-8.
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Базовые книги. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Gowers, Тимоти (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.

Дальнейшее чтение

Популяризации

• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Базовые книги. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Заслоу, Эрик (2005). «Физика». arXiv : physics/0506153 .
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Gowers, Тимоти (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.

Учебники

• Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сендрёй, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле-браны и зеркальная симметрия . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Кокс, Дэвид; Кац, Шелдон (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2127-5.
• Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Камрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2955-6. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-09-19.