В математике исчислительная геометрия — раздел алгебраической геометрии, занимающийся подсчётом числа решений геометрических задач, в основном с помощью теории пересечений .
Задача Аполлония — один из самых ранних примеров перечислительной геометрии. В этой задаче требуется найти число и конструкцию окружностей, которые касаются трех данных окружностей, точек или прямых. В общем случае задача для трех данных окружностей имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 2 3 , причем каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако для специальных расположений данных окружностей число решений может быть любым целым числом от 0 (нет решений) до шести; не существует такой схемы, для которой существует семь решений задачи Аполлония.
Ряд инструментов, от элементарных до более продвинутых, включают в себя:
Исчислительная геометрия очень тесно связана с теорией пересечений .
Перечислительная геометрия получила впечатляющее развитие к концу девятнадцатого века под руководством Германа Шуберта . [1] Он ввел ее для целей исчисления Шуберта , которое доказало фундаментальную геометрическую и топологическую ценность в более широких областях. Конкретные потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока им не было уделено больше внимания в 1960-х и 1970-х годах (как указывал, например, Стивен Клейман ). Числа пересечения были строго определены ( Андре Вейлем в рамках его основополагающей программы 1942–6, [2] и снова впоследствии), но это не исчерпывало надлежащую область перечислительных вопросов.
Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу приводит к неверным результатам, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели неопределенные « факторы подделки », которые были строго обоснованы лишь спустя десятилетия.
В качестве примера подсчитайте конические сечения , касающиеся пяти заданных прямых в проективной плоскости . [3] Коники образуют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов в качестве однородных координат , и пять точек определяют конику , если точки находятся в общем линейном положении , поскольку прохождение через заданную точку накладывает линейное условие. Аналогично, касание к заданной прямой L (касание есть пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, таким образом, определяющим квадрику в P 5 . Однако линейная система дивизоров, состоящая из всех таких квадрик, не лишена базисного места . Фактически, каждая такая квадрика содержит поверхность Веронезе , которая параметризует коники
называемые «двойными линиями». Это потому, что двойная линия пересекает каждую линию в плоскости, поскольку линии в проективной плоскости пересекаются, с кратностью два, поскольку она удвоена, и, таким образом, удовлетворяет тому же условию пересечения (пересечение кратности два), что и невырожденная коника, касательная к прямой.
Общая теорема Безу гласит, что 5 общих квадрик в 5-мерном пространстве пересекутся в 32 = 2 5 точках. Но соответствующие квадрики здесь не находятся в общем положении . Из 32 нужно вычесть 31 и приписать Веронезе, чтобы получить правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс приписывания пересечений «вырожденным» случаям является типичным геометрическим введением «фактора подделки».
Пятнадцатая проблема Гильберта состояла в том, чтобы преодолеть кажущуюся произвольность этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки основополагающего вопроса самого исчисления Шуберта.
В 1984 году Х. Клеменс исследовал подсчет числа рациональных кривых на трехмерном многообразии квинтики и пришел к следующей гипотезе.
Эта гипотеза была разрешена в данном случае , но все еще открыта для дальнейшего рассмотрения .
В 1991 году в статье [4] о зеркальной симметрии на трехмерном квинтике в с точки зрения теории струн были получены числа рациональных кривых степени d на для всех . До этого алгебраические геометры могли вычислить эти числа только для .
Некоторые исторически важные примеры перечислений в алгебраической геометрии включают в себя:
