Однородные координаты

Система координат, используемая в проективной геометрии.

Рациональная кривая Безье - полиномиальная кривая, определенная в однородных координатах (синий) и ее проекция на плоскость - рациональная кривая (красный)

В математике однородные координаты или проективные координаты , введенные Августом Фердинандом Мёбиусом в его работе 1827 года Der barycentrische Calcul , ^{[1] [2] [3]} представляют собой систему координат , используемую в проективной геометрии , точно так же, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии. . Их преимущество состоит в том, что координаты точек, включая точки, находящиеся на бесконечности , могут быть представлены с использованием конечных координат. Формулы, включающие однородные координаты, часто проще и симметричнее, чем их декартовые аналоги. Однородные координаты имеют ряд приложений, включая компьютерную графику и трехмерное компьютерное зрение , где они позволяют аффинным преобразованиям и, в целом, проективным преобразованиям быть легко представленными с помощью матрицы . Они также используются в фундаментальных алгоритмах криптографии на эллиптических кривых . ^[4]

Если однородные координаты точки умножаются на ненулевой скаляр , то полученные координаты представляют одну и ту же точку. Поскольку однородные координаты также даны точкам, удаленным на бесконечность, количество координат, необходимых для такого расширения, на одну больше, чем размерность рассматриваемого проективного пространства . Например, для указания точки на проективной прямой требуются две однородные координаты, а для указания точки на проективной плоскости — три однородные координаты.

Введение

Реальную проективную плоскость можно рассматривать как евклидову плоскость с добавленными дополнительными точками, которые называются точками на бесконечности и считаются лежащими на новой линии, линии на бесконечности . Каждому направлению соответствует точка на бесконечности (число определяемая наклоном линии), неформально определяемая как предел точки, которая движется в этом направлении от начала координат. Говорят, что параллельные прямые в евклидовой плоскости пересекаются в бесконечной точке, соответствующей их общему направлению. Учитывая точку ( x , y ) на евклидовой плоскости, для любого ненулевого действительного числа Z тройка ( xZ , yZ , Z ) называется набором однородных координат точки. Согласно этому определению, умножение трех однородных координат на общий ненулевой коэффициент дает новый набор однородных координат для той же точки. В частности, ( x , y , 1) — такая система однородных координат точки ( x , y ) . Например, декартова точка (1, 2) может быть представлена ​​в однородных координатах как (1, 2, 1) или (2, 4, 2) . Исходные декартовы координаты восстанавливаются путем деления первых двух позиций на третью. Таким образом, в отличие от декартовых координат, одна точка может быть представлена ​​бесконечным множеством однородных координат.

Уравнение линии, проходящей через начало координат (0, 0), может быть записано как nx + my = 0 , где n и m не равны 0. В параметрической форме это можно записать x = mt , y = − nt . Пусть Z = 1/ t , поэтому координаты точки на прямой можно записать ( m / Z , − n / Z ) . В однородных координатах это становится ( m , − n , Z ) . В пределе, когда t приближается к бесконечности, другими словами, когда точка удаляется от начала координат, Z приближается к 0, и однородные координаты точки становятся ( m , − n , 0) . Таким образом, мы определяем ( m , − n , 0) как однородные координаты бесконечно удаленной точки, соответствующие направлению прямой nx + my = 0 . Поскольку любая линия евклидовой плоскости параллельна линии, проходящей через начало координат, и поскольку параллельные линии имеют одну и ту же точку в бесконечности, бесконечной точке на каждой линии евклидовой плоскости присвоены однородные координаты.

Обобщить:

• Любая точка на проективной плоскости представлена ​​тройкой ( X , Y , Z ) , называемой однородными координатами или проективными координатами точки, где X , Y и Z не все равны 0.
• Точка, представленная заданным набором однородных координат, не изменится, если координаты умножить на общий коэффициент.
• И наоборот, два набора однородных координат представляют одну и ту же точку тогда и только тогда, когда один получен из другого путем умножения всех координат на одну и ту же ненулевую константу.
• Когда Z не равно 0, представленной точкой является точка ( X/Z , Y/Z ) на евклидовой плоскости.
• Когда Z равно 0, представленная точка является точкой, находящейся на бесконечности.

Тройка (0, 0, 0) опускается и не представляет никакой точки. Начало евклидовой плоскости обозначается (0, 0, 1) . ^[5]

Обозначения

Некоторые авторы используют разные обозначения для однородных координат, которые помогают отличить их от декартовых координат. Использование двоеточий вместо запятых, например ( x : y : z ) вместо ( x , y , z ) , подчеркивает, что координаты следует рассматривать как отношения. ^[6] Квадратные скобки, например [ x , y , z ], подчеркивают, что с одной точкой связано несколько наборов координат. ^[7] Некоторые авторы используют комбинацию двоеточий и квадратных скобок, например [ x : y : z ]. ^[8]

Другие размеры

Обсуждение предыдущего раздела аналогично применимо и к проективным пространствам, отличным от плоскости. Таким образом, точки на проективной прямой могут быть представлены парами координат ( x , y ) , а не обоими нулями. В этом случае точка на бесконечности — это (1, 0) . Аналогично точки в проективном n -пространстве представляются ( n  + 1)-кортежами. ^[9]

Другие проективные пространства

Использование действительных чисел дает однородные координаты точек в классическом случае вещественных проективных пространств, однако может использоваться любое поле , в частности, комплексные числа могут использоваться для комплексного проективного пространства . Например, комплексная проективная линия использует две однородные комплексные координаты и известна как сфера Римана . Могут использоваться и другие поля, включая конечные поля .

Однородные координаты для проективных пространств также можно создавать с помощью элементов тела ( тела). Однако в этом случае необходимо учитывать тот факт, что умножение может быть некоммутативным . ^[10]

Для общего кольца A проективная прямая над A может быть определена с однородными факторами, действующими слева, и проективной линейной группой , действующей справа.

Альтернативное определение

Другое определение вещественной проективной плоскости можно дать в терминах классов эквивалентности . Для ненулевых элементов R ³ определите ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) ~ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) , чтобы указать, что существует ненулевой λ, так что ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) знак равно ( λx ₂ , λy ₂ , λz ₂ ) . Тогда ~ является отношением эквивалентности и проективную плоскость можно определить как классы эквивалентности R3 ^∖ {0}. Если ( x , y , z ) является одним из элементов класса эквивалентности p, то они считаются однородными координатами p .

Линии в этом пространстве определяются как наборы решений уравнений вида ax + by + cz = 0 , где не все a , b и c равны нулю. Удовлетворение условия ax + by + cz = 0 зависит только от класса эквивалентности ( x , y , z ), поэтому уравнение определяет набор точек на проективной плоскости. Отображение ( x , y ) → ( x , y , 1) определяет включение евклидовой плоскости в проективную плоскость, а дополнением изображения является набор точек с z = 0 . Уравнение z = 0 является уравнением прямой в проективной плоскости (см. определение прямой в проективной плоскости) и называется линией на бесконечности .

Классы эквивалентности p — это линии, проходящие через начало координат с удаленным началом координат. Начало координат на самом деле не играет существенной роли в предыдущем обсуждении, поэтому его можно добавить обратно, не изменяя свойств проективной плоскости. Это приводит к изменению определения, а именно: проективная плоскость определяется как набор линий в R ³ , которые проходят через начало координат, а координаты ненулевого элемента ( x , y , z ) линии принимаются как однородные координаты линии. Эти линии теперь интерпретируются как точки на проективной плоскости.

Опять же, это обсуждение аналогично применимо и к другим измерениям. Таким образом, проективное пространство размерности n можно определить как набор прямых, проходящих через начало координат в R ^{n +1} . ^[11]

Однородность

Однородные координаты не определяются точкой однозначно, поэтому функция, определенная в координатах, скажем, f ( x , y , z ) , не определяет функцию, определенную в точках, как в случае с декартовыми координатами. Но условие f ( x , y , z ) = 0, определенное для координат, которое можно использовать для описания кривой, определяет условие для точек, если функция однородна . В частности, предположим, что существует k такой, что

$${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z).}$$

Если набор координат представляет ту же точку, что и ( x , y , z ) , то его можно записать (λ x , λ y , λ z ) для некоторого ненулевого значения λ. Затем

$${\displaystyle f(x,y,z)=0\iff f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)=0.}$$

Многочлен g ( x , y ) степени k можно превратить в однородный многочлен , заменив x на x / z , y на y / z и умножив на zk ^, другими словами, определив

$${\displaystyle f(x,y,z)=z^{k}g(x/z,y/z).}$$

Результирующая функция f является полиномом, поэтому имеет смысл расширить ее область определения до троек, где z = 0 . Процесс можно обратить вспять, установив z = 1 или

$${\displaystyle g(x,y)=f(x,y,1).}$$

Тогда уравнение f ( x , y , z ) = 0 можно рассматривать как однородную форму g ( x , y ) = 0 , и оно определяет ту же кривую, если ограничиться евклидовой плоскостью. Например, однородная форма уравнения прямой ax + by + c = 0 равна ax + by + cz = 0. ^[12]

Линейные координаты и двойственность

Уравнение прямой на проективной плоскости может быть задано как sx + ty + uz = 0 , где s , t и u — константы. Каждая тройка ( s , t , u ) определяет линию, определенная линия остается неизменной, если ее умножить на ненулевой скаляр, и хотя бы один из s , t и u должен быть ненулевым. Таким образом, тройку ( s , t , u ) можно рассматривать как однородные координаты линии на проективной плоскости, то есть координаты линии , а не координаты точки. Если в sx  +  ty  +  uz  = 0 буквы s , t и u взять переменные, а x , y и z — константы, то уравнение становится уравнением набора прямых в пространстве всех прямых на плоскости. . Геометрически он представляет собой набор линий, проходящих через точку ( x , y , z ), и может быть интерпретирован как уравнение точки в линейных координатах. Точно так же плоскостям в трехмерном пространстве можно задать наборы из четырех однородных координат и так далее для более высоких измерений. ^[13]

Одно и то же соотношение sx + ty + uz = 0 можно рассматривать либо как уравнение линии, либо как уравнение точки. В общем, между однородными координатами точек и прямых нет никакой разницы ни алгебраически, ни логически. Таким образом, плоская геометрия с точками в качестве основных элементов и плоская геометрия с линиями в качестве основных элементов эквивалентны, за исключением интерпретации. Это приводит к концепции двойственности в проективной геометрии, принципу, согласно которому роли точек и линий могут меняться местами в теореме проективной геометрии, и результат также будет теоремой. Аналогично, теория точек в проективном 3-мерном пространстве двойственна теории плоскостей в проективном 3-мерном пространстве и так далее для более высоких измерений. ^[14]

Координаты Плюкера

Присвоение координат линиям в проективном трехмерном пространстве сложнее, поскольку, казалось бы, всего требуется 8 координат: либо координаты двух точек, лежащих на линии, либо двух плоскостей, пересечением которых является линия. Полезный метод, предложенный Юлиусом Плюкером , создает набор из шести координат в качестве определителей x _i y _j − x _j y _i (1 ≤ i < j ≤ 4) из однородных координат двух точек ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) и ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) на линии. Вложение Плюкера является его обобщением для создания однородных координат элементов любой размерности m в проективном пространстве размерности n . ^{[15] [16]}

Круглые точки

Однородная форма уравнения окружности в вещественной или комплексной проективной плоскости равна x ² + y ² + 2 axz + 2 byz + c z ² = 0 . Пересечение этой кривой с линией на бесконечности можно найти, установив z = 0 . В результате получается уравнение x ² + y ² = 0 , которое имеет два решения над комплексными числами, что приводит к появлению точек с однородными координатами (1, i , 0) и (1, − i , 0) на комплексной проективной плоскости. Эти точки называются круговыми точками на бесконечности и могут рассматриваться как общие точки пересечения всех окружностей. Это можно обобщить на кривые более высокого порядка как круговые алгебраические кривые . ^[17]

Изменение систем координат

Как выбор осей в декартовой системе координат несколько произволен, так и выбор одной системы однородных координат из всех возможных систем несколько произволен. Поэтому полезно знать, как различные системы связаны друг с другом.

Пусть ( x , y , z ) — однородные координаты точки на проективной плоскости. Фиксированная матрица

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}},}$$

определителем( X , Y , Z )

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$

( x , y , z )( X , Y , Z )XYZxyzA( X , Y , Z )

Барицентрические координаты

Первоначальная формулировка однородных координат Мёбиуса определяла положение точки как центра масс (или барицентра) системы трех точечных масс, помещенных в вершинах неподвижного треугольника. Точки внутри треугольника представлены положительными массами, а точки вне треугольника представлены разрешающими отрицательными массами. Умножение масс в системе на скаляр не влияет на центр масс, поэтому это частный случай системы однородных координат.

Трилинейные координаты

Пусть l , m , n — три линии на плоскости и определим набор координат X , Y и Z точки p как знаковые расстояния от p до этих трех линий. Они называются трилинейными координатами точки p относительно треугольника, вершины которого являются попарными пересечениями прямых. Строго говоря, они не являются однородными, поскольку значения X , Y и Z определяются точно, а не только с точностью до пропорциональности. Однако между ними существует линейная связь, поэтому эти координаты можно сделать однородными, позволяя кратным ( X , Y , Z ) представлять одну и ту же точку. В более общем смысле, X , Y и Z могут быть определены как константы p , r и q , умноженные на расстояния до l , m и n , что приводит к другой системе однородных координат с тем же треугольником отсчета. Фактически это наиболее общий тип системы однородных координат для точек плоскости, если ни одна из линий не является линией, находящейся на бесконечности. ^[18]

Использование в компьютерной графике и компьютерном зрении.

Однородные координаты повсеместно используются в компьютерной графике, поскольку они позволяют представлять общие векторные операции, такие как перемещение , вращение , масштабирование и перспективную проекцию, в виде матрицы, на которую умножается вектор. По правилу цепочки любая последовательность таких операций может быть умножена в одну матрицу, что обеспечивает простую и эффективную обработку. Напротив, использование декартовых координат, сдвиги и перспективная проекция не могут быть выражены как умножения матриц, хотя другие операции могут. Современные видеокарты OpenGL и Direct3D используют преимущества однородных координат для эффективной реализации вершинного шейдера с использованием векторных процессоров с 4-элементными регистрами. ^{[19] [20]}

Например, в перспективной проекции положение в пространстве связано с линией, ведущей от него к фиксированной точке, называемой центром проекции . Затем точка сопоставляется с плоскостью путем нахождения точки пересечения этой плоскости и линии. Это дает точное представление о том, как трехмерный объект выглядит глазу. В простейшей ситуации центром проекции является начало координат, а точки отображаются на плоскость z = 1 , работая на данный момент в декартовых координатах. Для данной точки пространства ( x , y , z ) точка пересечения линии и плоскости равна ( x / z , y / z , 1) . Если отбросить теперь уже лишнюю координату z , получится ( x / z , y / z ) . В однородных координатах точка ( x , y , z ) представлена ​​( xw , yw , zw , w ) , а точка, с которой она отображается на плоскости, представлена ​​( xw , yw , zw ) , поэтому проекцию можно представить в матричной форме как

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$$

^{[21] [22]}

Примечания

1. Август Фердинанд Мёбиус: Der barycentrische Calcul , Verlag von Иоганн Амброзиус Барт, Лейпциг, 1827.
2. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Август Фердинанд Мёбиус», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
3. Смит, Дэвид Юджин (1906). История современной математики. Дж. Уайли и сыновья. п. 53.
4. Иго, Кевин; МакГрю, Дэвид; Солтер, Маргарет (февраль 2011 г.). «Фундаментальные алгоритмы криптографии эллиптических кривых».
5. Для раздела: Джонс 1912, стр. 120–122.
6. Вудс 1922 г.
7. Гарнер 1981
8. Миранда 1995
9. Боше 1907, стр. 13–14.
10. Гарнер 1981, стр. 32–33.
11. Для раздела: Кокс, Литтл и О'Ши, 2007, стр. 360–362.
12. Для раздела: Миранда 1995, с. 14 и Джонс 1912, с. 120
13. Bôcher 1907, стр. 107–108 (адаптировано к плоскости согласно сноске на стр. 108)
14. Вудс 1922, стр. 2, 40.
15. Вильчинский 1906, с. 50
16. Боше 1907, с. 110
17. Джонс 1912, с. 204
18. Джонс 1912, стр. 452 и далее.
19. «Окна просмотра и обрезка (Direct3D 9) (Windows)» . msdn.microsoft.com . Проверено 10 апреля 2018 г.
20. Шрейнер, Дэйв; Ух ты, Мейсон; Нейдер, Джеки; Дэвис, Том; «Руководство по программированию OpenGL», 4-е издание, ISBN 978-0-321-17348-5 , опубликовано в декабре 2004 г. На стр. 38 и в приложении F (стр. 697-702) обсуждается, как OpenGL использует однородные координаты в своем конвейере рендеринга. На странице 2 указано, что OpenGL — это программный интерфейс для графического оборудования . 
21. Мортенсон, Майкл Э. (1999). Математика для приложений компьютерной графики . Industrial Press Inc. с. 318. ИСБН 0-8311-3111-Х.
22. МакКоннелл, Джеффри Дж. (2006). Компьютерная графика: теория на практике. Джонс и Бартлетт Обучение. п. 120. ИСБН 0-7637-2250-2.

Рекомендации

• Боше, Максим (1907). Введение в высшую алгебру. Макмиллан. стр. 11 и далее.
• Брио, Чарльз; Буке, Жан Клод (1896). Элементы аналитической геометрии двух измерений. пер. Дж. Х. Бойд. Компания школьных книг «Вернер». п. 380.
• Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон Б.; О'Ши, Донал (2007). Идеалы, разновидности и алгоритмы. Спрингер. п. 357. ИСБН 978-0-387-35650-1.
• Гарнер, Линн Э. (1981), Очерк проективной геометрии , Северная Голландия, ISBN 0-444-00423-8
• Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию. Кларендон.
• Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности. Книжный магазин АМС. п. 13. ISBN 0-8218-0268-2.
• Вильчинский, Эрнест Юлиус (1906). Проективная дифференциальная геометрия кривых и линейчатых поверхностей. Б. Г. Тойбнер.
• Вудс, Фредерик С. (1922). Высшая геометрия. Джинн и Ко, стр. 27 и далее.

дальнейшее чтение

• Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история. Спрингер. стр. 134 и далее. ISBN 0-387-95336-1.

• Роджерс, Дэвид Ф. (1976). Математические элементы компьютерной графики . МакГроу Хилл. ISBN 0070535272.

Внешние ссылки

• Жюль Блументаль и Джон Рокн, Однородные координаты [1]. Архивировано 26 февраля 2021 г. в Wayback Machine.
• Чинг-Куанг Шене, Однородные координаты [2]
• Вольфрам Математический Мир