В геометрии круговая алгебраическая кривая — это тип плоской алгебраической кривой, определяемый уравнением F ( x , y ) = 0, где F — многочлен с действительными коэффициентами, а члены старшего порядка F образуют многочлен, делящийся на x 2 + y 2 . Точнее, если F = F n + F n −1 + ... + F 1 + F 0 , где каждый F i является однородным степени i , то кривая F ( x , y ) = 0 является круговой тогда и только тогда, когда F n делится на x 2 + y 2 .
Эквивалентно, если кривая определяется в однородных координатах как G ( x , y , z ) = 0, где G — однородный многочлен, то кривая является круговой тогда и только тогда, когда G (1, i , 0) = G (1, − i , 0) = 0. Другими словами, кривая является круговой, если она содержит круговые точки на бесконечности , (1, i , 0) и (1, − i , 0), если рассматривать ее как кривую в комплексной проективной плоскости .
Алгебраическая кривая называется p -круговой , если она содержит точки (1, i , 0) и (1, − i , 0) при рассмотрении ее как кривой в комплексной проективной плоскости, и эти точки являются особенностями порядка не менее p . Термины бициркулярный , трициркулярный и т. д. применяются, когда p = 2, 3 и т. д. В терминах полинома F , приведенного выше, кривая F ( x , y ) = 0 является p -круговой, если F n − i делится на ( x 2 + y 2 ) p − i при i < p . При p = 1 это сводится к определению круговой кривой. Множество p -круговых кривых инвариантно относительно евклидовых преобразований . Обратите внимание, что p -круговая кривая должна иметь степень не менее 2 p .
Множество p -круговых кривых степени p + k , где p может изменяться, но k — фиксированное положительное целое число, инвариантно относительно инверсии . [ требуется ссылка ] Когда k равно 1, это говорит о том, что множество линий (0-круговые кривые степени 1) вместе с множеством окружностей (1-круговые кривые степени 2) образуют множество, инвариантное относительно инверсии.