Лимасон

Тип кривой рулетки

Построение улитки r = 2 + cos(π – θ) с началом полярных координат в точке ( x , y ) = ( ⁠1/2⁠ , 0)

В геометрии , улитка или улитка / ˈ l ɪ m ə s ɒ n / , также известная как улитка Паскаля или улитка Паскаля , определяется как рулеточная кривая, образованная путем точки, закрепленной на окружности , когда эта окружность катится по внешней стороне окружности равного радиуса. Ее также можно определить как рулетку, образованную, когда окружность катится по окружности с половиной своего радиуса так, что меньшая окружность находится внутри большей окружности. Таким образом, они принадлежат к семейству кривых, называемых центрированными трохоидами ; более конкретно, они являются эпитрохоидами . Кардиоида является особым случаем, в котором точка, образующая рулетку, лежит на катящейся окружности; полученная кривая имеет точку возврата .

В зависимости от положения точки, образующей кривую, она может иметь внутренние и внешние петли (что и дало название семейству), может иметь форму сердца или овала.

Улитка — это двоякоциркулярная рациональная плоская алгебраическая кривая степени 4 .

Три лимасона: ямчатый, с острием ( кардиоидный ) и петлевой. Не показано: выпуклый лимасон

История

Самое раннее формальное исследование лимаконов обычно приписывается Этьену Паскалю , отцу Блеза Паскаля . Однако некоторые проницательные исследования в отношении них были предприняты ранее немецким художником эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером . Underweysung der Messung (Наставление об измерении) Дюрера содержит конкретные геометрические методы для создания лимаконов. Кривая была названа Жилем де Робервалем, когда он использовал ее в качестве примера для нахождения касательных линий.

Уравнения

Уравнение (с точностью до переноса и вращения) улитки в полярных координатах имеет вид

${\displaystyle r=b+a\cos \theta .}$

Это можно преобразовать в декартовы координаты , умножив на r (тем самым вводя точку в начале координат, которая в некоторых случаях является ложной), и подставив и , чтобы получить ^[1] ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle r\cos \theta =x}$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-ax\right)^{2}=b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$

Применяя параметрическую форму полярного преобразования в декартово, мы также имеем ^[2]

${\displaystyle x=(b+a\cos \theta )\cos \theta ={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,}$

${\displaystyle y=(b+a\cos \theta )\sin \theta =b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta ;}$

при установке

${\displaystyle z=x+iy=(b+a\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )}$

дает эту параметризацию в виде кривой в комплексной плоскости :

${\displaystyle z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.}$

Если бы мы сдвинулись по горизонтали на , т.е. ${\textstyle -{\frac {1}{2}}a}$

${\displaystyle z=be^{it}+{a \over 2}e^{2it}}$,

мы бы, изменив местоположение начала координат, преобразовали в обычную форму уравнения центрированной трохоиды. Обратите внимание на изменение независимой переменной в этой точке, чтобы было ясно, что мы больше не используем параметризацию полярных координат по умолчанию . ${\displaystyle \theta =\arg z}$

Особые случаи

В частном случае полярное уравнение имеет вид ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle r=b(1+\cos \theta )=2b\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

или

${\displaystyle r^{1 \over 2}=(2b)^{1 \over 2}\cos {\frac {\theta }{2}},}$

что делает его членом семейства синусоидальных спиральных кривых. Эта кривая — кардиоида .

В частном случае центрированная трохоидальная форма уравнения становится ${\displaystyle a=2b}$

${\displaystyle z=b\left(e^{it}+e^{2it}\right)=be^{3it \over 2}\left(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2}\right)=2be^{3it \over 2}\cos {t \over 2},}$

или, в полярных координатах,

${\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}$

что делает ее членом семейства кривых розы . Эта кривая является трисектрисой и иногда называется лимасон трисектрисой .

Форма

Когда , улитка является простой замкнутой кривой. Однако начало координат удовлетворяет декартову уравнению, приведенному выше, поэтому график этого уравнения имеет acnode или изолированную точку. ${\displaystyle b>a}$

При , область, ограниченная кривой, является выпуклой, а при , кривая имеет выемку, ограниченную двумя точками перегиба . При , точка является точкой 0 кривизны . ${\displaystyle b>2a}$ ${\displaystyle a<b<2a}$ ${\displaystyle b=2a}$ ${\displaystyle (-a,0)}$

При уменьшении относительно , ​​углубление становится более выраженным, пока при кривая не станет кардиоидой, а углубление не станет точкой перегиба . При , точка перегиба расширяется до внутренней петли, и кривая пересекает себя в начале координат. При приближении к 0 петля заполняет внешнюю кривую, и в пределе улитка становится окружностью, пройденной дважды. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle 0<b<a}$ ${\displaystyle b}$

Измерение

Площадь, ограниченная лимаконом, равна . Когда это учитывает площадь, ограниченную внутренним контуром, дважды. В этом случае кривая пересекает начало координат под углами , площадь, ограниченная внутренним контуром, равна ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$ ${\textstyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\pi }$ ${\displaystyle b<a}$ ${\textstyle \pi \pm \arccos {b \over a}}$

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

площадь, заключенная во внешний контур, равна

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -\arccos {b \over a}\right)+{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

а площадь между петлями равна

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -2\arccos {b \over a}\right)+3b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$^[1]

Длина окружности улитки определяется полным эллиптическим интегралом второго рода :

${\displaystyle 4(a+b)E\left({{2{\sqrt {ab}}} \over a+b}\right).}$

Отношение к другим кривым

• Пусть будет точкой и будет окружностью, центр которой не находится в . Тогда огибающая тех окружностей, центр которых лежит на и которые проходят через , является улиткой. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

Лимасон — педальная кривая окружности

• Педаль круга — это улитка. Фактически, педаль относительно начала круга с радиусом и центром имеет полярное уравнение . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$

• Обратное значение относительно единичной окружности равно ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$

${\displaystyle r={1 \over {b+a\cos \theta }}}$

что является уравнением конического сечения с эксцентриситетом и фокусом в начале координат. Таким образом, улитка может быть определена как обратная конике, где центр инверсии является одним из фокусов. Если коника является параболой, то обратная будет кардиоидой, если коника является гиперболой, то соответствующая улитка будет иметь внутреннюю петлю, а если коника является эллипсом, то соответствующая улитка не будет иметь петли. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

• Конхоидой окружности относительно точки на окружности является улитка .

• Частным случаем декартова овала является улитка. ^[3]

Смотрите также

• рулетка
• Центрированная трохоидальная
• Список периодических функций

Ссылки

1. J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 113–118. ISBN 0-486-60288-5.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Лимасон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
3. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Декартов овал», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс

Дальнейшее чтение

• Джейн Гроссман и Майкл Гроссман. «С ямочкой или без нее», The Two-Year College Mathematics Journal , январь 1982 г., страницы 52–55.
• Говард Антон. Исчисление , 2-е издание, стр. 708, John Wiley & Sons, 1984.
• Говард Антон. [1] стр. 725 – 726.
• Говард Ивс. Обзор геометрии , том 2 (страницы 51,56,273), Аллин и Бэкон, 1965.

Внешние ссылки

• Лимакон Паскаля в The MacTutor История математики
• Лимасон в Математические кривые
• Лимасон из Паскаля в ENCYCLOPEDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES
• Лимакон Паскаля в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• «Лимакон Паскаля» на PlanetPTC (Mathcad)