Кардиоида

Тип плоской кривой

Кардиоида

Каустика , появляющаяся на поверхности этой чашки кофе, представляет собой кардиоиду.

В геометрии кардиоида (от греч. καρδιά (kardiá)  «сердце») — плоская кривая , очерченная точкой на периметре круга, катящегося вокруг неподвижного круга того же радиуса. Его также можно определить как эпициклоиду с единственным выступом . Это также разновидность синусоидальной спирали и обратная кривая параболы с фокусом в качестве центра инверсии. ^[1] Кардиоиду также можно определить как совокупность точек отражения неподвижной точки на окружности через все касательные к окружности. ^[2]

Кардиоида, создаваемая катящимся кругом по кругу того же радиуса.

Название было придумано Джованни Сальвемини в 1741 году ^[3] , но кардиоида была предметом изучения за десятилетия до этого. ^[4] Несмотря на то, что оно названо в честь своей сердцевидной формы, оно больше похоже на очертания поперечного сечения круглого яблока без плодоножки.

Кардиоидный микрофон имеет диаграмму направленности акустической характеристики, которая при изображении в двух измерениях напоминает кардиоиду (любая 2D-плоскость, содержащая 3D-прямую линию корпуса микрофона). В трех измерениях кардиоида имеет форму яблока с центром вокруг микрофона, который является «стеблем» яблока.

Уравнения

Генерация кардиоиды и используемая система координат

Пусть будет общий радиус двух образующих кругов со средними точками , углом качения и началом координат (см. рисунок). Человек получает ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (-a,0),(a,0)}$ ${\displaystyle \varphi }$

• параметрическое представление :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}$$
  и отсюда представление в
• полярные координаты :
  $${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}$$
• Вводя замены , после удаления квадратного корня получаем неявное представление в декартовых координатах : ${\displaystyle \cos \varphi =x/r}$ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
  $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}$$

Доказательство параметрического представления

Доказательство может быть установлено с использованием комплексных чисел и их общего описания как комплексной плоскости . Перекатывание черного круга по синему можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости поворот вокруг точки (начала координат) на угол можно выполнить, умножив точку (комплексное число) на . Следовательно ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

вращение вокруг точки равно , ${\displaystyle \Phi _{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle :z\mapsto a+(z-a)e^{i\varphi }}$

вращение вокруг точки : . ${\displaystyle \Phi _{-}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$

Точка кардиоиды создается путем вращения начала координат вокруг точки и последующего поворота вокруг нее на тот же угол : ${\displaystyle p(\varphi )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$$

тригонометрические тождества ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}$ ${\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}$ ${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }$

Метрические свойства

Для кардиоиды, определенной выше, справедливы следующие формулы:

• область , ${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$
• длина дуги и ${\displaystyle L=16a}$
• радиус кривизны ${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$

В доказательствах этих утверждений в обоих случаях используется полярное представление кардиоиды. Подходящие формулы см. в полярной системе координат (длина дуги) и полярной системе координат (площадь).

Доказательство формулы площади

$${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}.}$$

Доказательство формулы длины дуги

$${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}$$

Доказательство радиуса кривизны

Радиус кривизны кривой в полярных координатах с уравнением равен (s. кривизна) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

$${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$$

Для кардиоиды получается ${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}$

$${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$$

Характеристики

Аккорды кардиоиды

Аккорды через куспид

С1

Хорды , проходящие через вершину кардиоиды, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle 4a}$

С2

Середины хорд, проходящих через точку возврата, лежат на периметре неподвижной образующей окружности (см. рисунок).

Доказательство C1

Точки находятся на хорде , проходящей через точку возврата (=начало). Следовательно ${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}$$

Доказательство для C2

Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. выше). Для очков

$${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}$$

$${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}$$

середина аккорда это ${\displaystyle PQ}$

$${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$$

${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$

Кардиоида как обратная кривая параболы

Кардиоида, полученная путем инверсии параболы, пересекающей единичную окружность (пунктирная линия).

Кардиоида — это обратная кривая параболы с фокусом в центре инверсии (см. график).

В примере, показанном на графике, круги генератора имеют радиус . Следовательно, кардиоида имеет полярное представление ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$

$${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$$

$${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}$$

парабола в полярных координатах ${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$

Примечание. Не всякая обратная кривая параболы является кардиоидой. Например, если перевернуть параболу по кругу, центр которого лежит в вершине параболы , то результатом будет циссоида Диокла .

Кардиоида как огибающая карандаша кругов

Кардиоида как огибающая карандаша кругов

В предыдущем разделе, если дополнительно инвертировать касательные параболы, можно получить пучок окружностей, проходящий через центр инверсии (начало координат). Детальное рассмотрение показывает: Середины окружностей лежат на периметре неподвижной образующей окружности. (Гообразующая окружность — это обратная кривая директрисы параболы.)

Это свойство приводит к следующему простому методу построения кардиоиды :

1. Выберите круг и точку на его периметре, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$
2. нарисуйте круги, содержащие центры на , и ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle c}$
3. нарисуйте конверт этих кругов.

Доказательство с состоянием конверта

Огибающая карандаша неявно заданных кривых

$${\displaystyle F(x,y,t)=0}$$

с параметром состоит из таких точек , которые являются решениями нелинейной системы ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,}$$

что такое состояние конверта . Обратите внимание, что это означает частную производную для параметра . ${\displaystyle F_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Пусть будет круг со средней точкой и радиусом . Тогда имеет параметрическое представление . Пучок окружностей с центрами в содержащей его точке можно неявно представить как ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O=(0,0)}$

$${\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,}$$

что эквивалентно

$${\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}$$

Второе условие конверта:

$${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.}$$

Легко проверяется, что точки кардиоиды с параметрическим представлением

$${\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}$$

выполнить описанную выше нелинейную систему. Параметр идентичен угловому параметру кардиоиды. ${\displaystyle t}$

Кардиоида как огибающая карандаша линий

Кардиоида как огибающая карандаша линий

Подобный и простой метод рисования кардиоиды использует карандаш линий . Это принадлежит Л. Кремоне :

1. Нарисуйте круг, разделите его периметр точками на равные части (см. рисунок) и последовательно пронумеруйте их. ${\displaystyle 2N}$
2. Нарисуйте аккорды: . (То есть вторая точка перемещается с двойной скоростью.) ${\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }$
3. Огибающая этих аккордов представляет собой кардиоиду.

Поколение кардиоиды Кремоны

Доказательство

В следующем рассмотрении используются тригонометрические формулы для , , , и . Чтобы упростить расчеты, доказательство дано для кардиоиды с полярным представлением ( § Кардиоиды в разных положениях ). ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }$ ${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }$ ${\displaystyle 1+\cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \sin 2\alpha }$ ${\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}$

Уравнение тангенса кардиоиды с полярным представлением r = 2(1 + cos 𝜑 )

Из параметрического представления

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

получается нормальный вектор . Уравнение тангенса : ${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$

$${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}$$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение тангенса можно переписать в виде: ${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }$

$${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$$

Уравнение хорды окружности со серединой ( 1, 0 ) и радиусом 3

Для уравнения секущей, проходящей через две точки, получаем: ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$

$${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}$$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления уравнение секущей можно переписать так: ${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$

$${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$$

Заключение

Несмотря на то, что два угла имеют разное значение (см. рисунок), получается одна и та же линия. Следовательно, любая секущая окружности, определенная выше, также является касательной к кардиоиде: ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ ${\displaystyle \varphi =\theta }$

Кардиоида – это огибающая хорд окружности.

Примечание.
Доказательство можно провести с помощью условий огибающей (см. предыдущий раздел) неявного пучка кривых:

$${\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}$$

— карандаш секущих окружности (см. выше) и

$${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}$$

При фиксированном параметре t оба уравнения представляют собой линии. Точкой их пересечения является

$${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}$$

которая является точкой кардиоиды с полярным уравнением ${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Кардиоида как каустика : источник света , световой луч , отраженный луч. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\vec {s}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Кардиоида в виде каустики круга с источником света (справа) по периметру.

Кардиоида как каустика круга

Соображения, сделанные в предыдущем разделе, дают доказательство того, что каустика круга с источником света на периметре круга является кардиоидой.

Если на плоскости в точке периметра круга находится источник света, отражающий какой-либо луч, то отраженные лучи внутри круга являются касательными кардиоиды. ${\displaystyle Z}$

Доказательство

Как и в предыдущем разделе, круг может иметь середину и радиус . Его параметрическое представление ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 3}$

$${\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}$$

Касательная в точке окружности имеет вектор нормали . Следовательно, отраженный луч имеет вектор нормали (см. график) и содержит точку . Отраженный луч является частью линии с уравнением (см. предыдущий раздел) ${\displaystyle C:\ k(\varphi )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}$

$${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,}$$

который является касательной кардиоиды с полярным уравнением

$${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$$

из предыдущего раздела.

Примечание. При таких рассуждениях обычно пренебрегают многократными отражениями на окружности.

Кардиоида как педальная кривая круга

Точка кардиоиды — это основание опущенного перпендикуляра к касательной окружности.

Поколение кардиоиды Кремоны не следует путать со следующим поколением:

Пусть - окружность и точка на периметре этой окружности. Верно следующее: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle O}$

Основания перпендикуляров из точки на касательной окружности являются точками кардиоиды. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

Следовательно, кардиоида – это особая педальная кривая окружности.

Доказательство

В декартовой системе координат круг может иметь середину и радиус . Касательная в точке окружности имеет уравнение ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (2a,0)}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$

$${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.}$$

${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle O}$

$${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$$

Примечание: если точка не лежит на периметре круга , получается лимасон Паскаля . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

Эволюция кардиоиды

  Кардиоида

  Эволюция кардиоиды

  Одна точка Р; его центр кривизны М; и его соприкасающийся круг.

Эволюта кривой — это место расположения центров кривизны . Подробно: Для кривой с радиусом кривизны эволюта имеет представление ${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

$${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$$

${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Для кардиоиды получается:

Эволюта кардиоиды представляет собой другую кардиоиду, размером в одну треть и обращенную в противоположном направлении (рис. рисунок) .

Доказательство

Для кардиоиды с параметрическим представлением

$${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}$$

$${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$$

$${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$$

$${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$$

$${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$

$${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}$$

${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$

(Использовались тригонометрические формулы: ) ${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}$

Ортогональные траектории

Ортогональные кардиоиды

Ортогональная траектория пучка кривых — это кривая, ортогонально пересекающая любую кривую пучка кривых. Для кардиоид верно следующее:

Ортогональные траектории пучка кардиоид с уравнениями

$${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$$

кардиоиды с уравнениями

$${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$$

(Второй карандаш можно рассматривать как отражение на оси Y первого. См. диаграмму.)

Доказательство

Для кривой, заданной в полярных координатах функцией, имеет место следующая связь с декартовыми координатами: ${\displaystyle r(\varphi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

и для производных

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Разделив второе уравнение на первое, получим декартов наклон касательной к кривой в точке : ${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Для кардиоид с уравнениями и соответственно получаем: ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$ ${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$

$${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}$$

$${\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}$$

(Наклон любой кривой зависит только от, а не от параметров или !) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Следовательно

$${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$

4 кардиоиды в полярном представлении и их положение в системе координат

На разных позициях

Выбор других положений кардиоиды в системе координат приводит к другим уравнениям. На картинке показаны 4 наиболее распространенных положения кардиоиды и их полярные уравнения.

В комплексном анализе

Граница центральной области периода 1 множества Мандельброта представляет собой точную кардиоиду.

В комплексном анализе изображение любой окружности , проходящей через начало координат под картой, является кардиоидой. Одним из применений этого результата является то, что граница центрального компонента периода 1 множества Мандельброта представляет собой кардиоиду, заданную уравнением ${\displaystyle z\to z^{2}}$

$${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}$$

Множество Мандельброта содержит бесконечное количество слегка искаженных копий самого себя, и центральная луковица любой из этих меньших копий представляет собой приблизительную кардиоиду.

Кардиоида, образованная светом на циферблате часов .

Каустика

Некоторые каустики могут иметь форму кардиоид. Катакаустика окружности относительно точки окружности является кардиоидой. Кроме того, катакаустика конуса относительно лучей, параллельных образующей, представляет собой поверхность, сечение которой представляет собой кардиоиду. Это можно увидеть, как на фотографии справа, в конической чашке, частично заполненной жидкостью, когда свет падает издалека и под углом, равным углу конуса. ^[5] Форма изгиба на дне цилиндрической чаши соответствует половине нефроида , который выглядит очень похоже.

Создание кардиоиды как педальной кривой круга

Смотрите также

• Лимасон
• Нефроид
• Дельтовидная мышца
• жезл Витгенштейна
• Кардиоидный микрофон
• Лемниската Бернулли
• Рамочная антенна
• Радиопеленгатор
• Радиопеленгация
• антенна Яги
• Джованни Сальвемини
• Космическая кардиоида

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Обратная кривая параболы». Математический мир .
2. С. Балачандра Рао. Дифференциальное исчисление, с. 457
3. Локвуд
4. Йейтс
5. "Surface Caustique" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Рекомендации

• Р. К. Йейтс (1952). «Кардиоида». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 4 и след.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 24–25. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

• «Кардиоида», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кардиоида», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Сытный прием кардиоидов в кратчайшие сроки
• Вайсштейн, Эрик В. «Кардиоида». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эпициклоида с 1 острием». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая сердца». Математический мир .
• Кса Ли, Кардиоида (1998) (На этом сайте представлен ряд альтернативных конструкций) .
• Ян Вассенаар, Кардиоида , (2005)