Если кривая задана в декартовых координатах как y ( x ) , т.е. как график функции , то радиус кривизны равен (при условии, что кривая дифференцируема до порядка 2)
где и | г | обозначает абсолютное значение z .
Если кривая задана параметрически функциями x ( t ) и y ( t ) , то радиус кривизны равен
где и
Эвристически этот результат можно интерпретировать как [2]
где
В n измерениях
Если γ : ℝ → ℝ n — параметризованная кривая в ℝ n , то радиус кривизны в каждой точке кривой ρ : ℝ → ℝ определяется выражением [3]
В качестве частного случая, если f ( t ) является функцией от ℝ до ℝ , то радиус кривизны ее графика γ ( t ) = ( t , f ( t )) равен
Вывод
Пусть γ будет таким же, как указано выше, и зафиксируем t . Мы хотим найти радиус ρ параметризованной окружности, которая соответствует γ в его нулевой, первой и второй производных в точке t . Очевидно, что радиус не будет зависеть от положения γ ( t ) , а только от скорости γ ′( t ) и ускорения γ ″( t ) . Есть только три независимых скаляра , которые можно получить из двух векторов v и w , а именно v · v , v · w и w · w . Таким образом, радиус кривизны должен быть функцией трех скаляров | γ ′( т ) | 2 , | γ ″( т ) | 2 и γ ′( т ) · γ ″( т ) . [3]
Общее уравнение параметризованной окружности в ℝ n :
где c ∈ ℝ n — центр окружности (не имеет значения, поскольку он исчезает в производных), a , b ∈ ℝ n — перпендикулярные векторы длины ρ (т. е. a · a = b · b = ρ 2 и a · b = 0 ), а h : ℝ → ℝ — произвольная функция, дважды дифференцируемая в точке t .
Соответствующие производные от g получаются
Если теперь мы приравняем эти производные g к соответствующим производным γ в момент t , мы получим
Эти три уравнения с тремя неизвестными ( ρ , h ′( t ) и h ″( t ) ) можно решить относительно ρ , получив формулу для радиуса кривизны:
Эллипс (красный) и его эволюция (синий). Точки — это вершины эллипса, точки наибольшей и наименьшей кривизны.
Для полукруга радиуса а в нижней полуплоскости
Круг радиуса а имеет радиус кривизны , равный а .
Эллипсы
В эллипсе с большой осью 2 a и малой осью 2 b вершины на большой оси имеют наименьший радиус кривизны из всех точек ; а вершины на малой оси имеют наибольший радиус кривизны среди всех точек, R =2 _/б.
Радиус кривизны эллипса в зависимости от параметра t равен [4]
Напряжение в полупроводниковой структуре, связанное с напыленными тонкими пленками, обычно возникает в результате теплового расширения (теплового напряжения) во время производственного процесса. Термический стресс возникает из-за того, что осаждение пленки обычно происходит при температуре выше комнатной. При охлаждении от температуры осаждения до комнатной температуры разница в коэффициентах теплового расширения подложки и пленки приводит к термическому напряжению. [5]
Внутреннее напряжение возникает из-за микроструктуры, создаваемой в пленке при осаждении атомов на подложку. Растягивающее напряжение возникает из-за микропустот (небольших отверстий, считающихся дефектами) в тонкой пленке из-за притягивающего взаимодействия атомов через пустоты.
Напряжение в тонкопленочных полупроводниковых структурах приводит к короблению пластин. Радиус кривизны напряженной конструкции связан с тензором напряжений в конструкции и может быть описан модифицированной формулой Стоуни. [6] Топографию напряженной конструкции, включая радиусы кривизны, можно измерить с помощью методов оптического сканирования. Современные сканеры имеют возможность измерять полную топографию подложки, а также измерять оба главных радиуса кривизны, обеспечивая при этом точность порядка 0,1% для радиусов кривизны 90 метров и более. [7]