Эллипс

Плоская кривая: коническое сечение

Эллипс (красный), полученный пересечением конуса с наклонной плоскостью.

Эллипс: обозначения

Эллипсы: примеры с увеличивающимся эксцентриситетом

В математике эллипс — это плоская кривая, окружающая две фокусные точки , так что для всех точек на кривой сумма двух расстояний до фокусных точек является константой. Он обобщает окружность , которая является особым типом эллипса, в котором две фокусные точки одинаковы. Удлинение эллипса измеряется его эксцентриситетом , числом в диапазоне от ( предельный случай окружности) до (предельный случай бесконечного удлинения, уже не эллипс, а парабола ). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e=1}$

Эллипс имеет простое алгебраическое решение для своей площади, но для его периметра (также известного как окружность ) требуется интегрирование , чтобы получить точное решение.

Аналитически уравнение стандартного эллипса с центром в начале координат, шириной и высотой имеет вид: ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2b}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Предполагая , что фокусы для . Стандартное параметрическое уравнение имеет вид: ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (\pm c,0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ $${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Эллипсы — это замкнутый тип конического сечения : плоская кривая, прочерчивающая пересечение конуса с плоскостью ( см. рисунок). Эллипсы имеют много общего с двумя другими формами конических сечений, параболами и гиперболами , обе из которых открыты и неограниченны . Угловое поперечное сечение прямого кругового цилиндра также является эллипсом.

Эллипс также может быть определен в терминах одной фокусной точки и линии вне эллипса, называемой директрисой: для всех точек эллипса отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы является константой. Это постоянное отношение и есть вышеупомянутый эксцентриситет: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Эллипсы распространены в физике , астрономии и технике . Например, орбита каждой планеты в Солнечной системе представляет собой приблизительно эллипс с Солнцем в одной точке фокуса (точнее, фокус является барицентром пары Солнце–планета). То же самое верно для лун, вращающихся вокруг планет, и всех других систем из двух астрономических тел. Формы планет и звезд часто хорошо описываются эллипсоидами . Круг, рассматриваемый под боковым углом, выглядит как эллипс: то есть эллипс является изображением круга при параллельной или перспективной проекции . Эллипс также является простейшей фигурой Лиссажу, образованной, когда горизонтальные и вертикальные движения являются синусоидами с одинаковой частотой: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптике .

Название ἔλλειψις ( élleipsis , «упущение») было дано Аполлонием Пергским в его «Кониках» .

Определение как геометрическое место точек

Эллипс: определение по сумме расстояний до фокусов

Эллипс: определение по фокусу и круговой директрисе

Эллипс можно геометрически определить как множество или геометрическое место точек на евклидовой плоскости:

Если заданы две фиксированные точки, называемые фокусами, и расстояние , которое больше расстояния между фокусами, то эллипс — это множество точек , сумма расстояний между которыми равна : ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ ${\displaystyle 2a}$ $${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}$$

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса . Прямая, проходящая через фокусы, называется большой осью , а перпендикулярная ей прямая, проходящая через центр, — малой осью . ${\displaystyle C}$Большая ось пересекает эллипс в двух вершинах , которые имеют расстояние до центра. Расстояние фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентриситетом. Частное — это эксцентриситет . ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

В этом случае получается круг, который рассматривается как особый тип эллипса. ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

Уравнение можно рассматривать по-другому (см. рисунок): ${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

Если — окружность с центром и радиусом , то расстояние от точки до окружности равно расстоянию до фокуса : ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}$$

${\displaystyle c_{2}}$называется круговой директрисой (связанной с фокусом ) эллипса. ^{[1] [2]} Это свойство не следует путать с определением эллипса с использованием линии директрисы ниже. ${\displaystyle F_{2}}$

Используя сферы Данделина , можно доказать, что любое сечение конуса плоскостью является эллипсом, предполагая, что плоскость не содержит вершины и имеет наклон меньше, чем наклон линий на конусе.

В декартовых координатах

Параметры формы:

• а : большая полуось,
• б : малая полуось,
• c : линейный эксцентриситет,
• p : полурасширенная прямая кишка (обычно ). ${\displaystyle \ell }$

Стандартное уравнение

Стандартная форма эллипса в декартовых координатах предполагает, что начало координат является центром эллипса, ось x является большой осью и:

• фокусы - это точки , ${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$
• вершины — . ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$

Для произвольной точки расстояние до фокуса равно , а до другого фокуса . Следовательно, точка находится на эллипсе всякий раз, когда: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Удаление радикалов с помощью подходящих возведений в квадрат и использование (см. диаграмму) приводит к стандартному уравнению эллипса: ^[3] или, решенному относительно y : ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Параметры ширины и высоты называются большой и малой полуосью . Верхняя и нижняя точки являются ковершинами . Расстояния от точки на эллипсе до левого и правого фокусов равны и . ${\displaystyle a,\;b}$ ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle a+ex}$ ${\displaystyle a-ex}$

Из уравнения следует, что эллипс симметричен относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат.

Параметры

Главные оси

В этой статье большая и малая полуоси обозначены и , соответственно, т.е. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

В принципе, каноническое уравнение эллипса может иметь (и, следовательно, эллипс будет больше в высоту, чем в ширину). Эту форму можно преобразовать в стандартную, переставив имена переменных и и имена параметров и ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

Линейный эксцентриситет

Это расстояние от центра до фокуса: . ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Эксцентриситет

Эксцентриситет можно выразить как: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

Предположим, что эллипс с равными осями ( ) имеет нулевой эксцентриситет и является окружностью. ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle a=b}$

Полуширокая прямая кишка

Длина хорды, проходящей через один фокус, перпендикулярно большой оси, называется latus rectum . Одна ее половина — это semi-latus rectum . Расчет показывает: ^[4] ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

Полуширина прямой кишки равна радиусу кривизны в вершинах (см. раздел Кривизна). ${\displaystyle \ell }$

Тангенс

Произвольная линия пересекает эллипс в 0, 1 или 2 точках, которые называются соответственно внешней линией , касательной и секущей . Через любую точку эллипса проходит единственная касательная. Касательная в точке эллипса имеет координатное уравнение: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Параметрическое векторное уравнение касательной имеет вид: $${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Доказательство: Пусть будет точкой на эллипсе и будет уравнением любой прямой, содержащей . Подставляя уравнение прямой в уравнение эллипса и учитывая, получаем: Тогда возможны случаи: ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Тогда прямая и эллипс имеют только общую точку, и является касательной. Направление касательной имеет перпендикулярный вектор , поэтому касательная прямая имеет уравнение для некоторого . Поскольку находится на касательной и эллипсе, получаем . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Тогда прямая имеет вторую общую точку с эллипсом и является секущей. ${\displaystyle g}$

Используя (1), находим, что — касательный вектор в точке , что доказывает векторное уравнение. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Если и — две точки эллипса, такие, что , то точки лежат на двух сопряженных диаметрах (см. ниже). (Если , то эллипс является окружностью, а «сопряжённый» означает «ортогональный».) ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Смещенный эллипс

Если стандартный эллипс смещен так, чтобы его центр был равен , то его уравнение будет иметь вид ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ $${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Оси по-прежнему параллельны осям x и y .

Общий эллипс

Эллипс в общем виде на плоскости можно однозначно описать как двумерное квадратное уравнение декартовых координат или с использованием центра, большой и малой полуосей и угла

В аналитической геометрии эллипс определяется как квадрика : множество точек декартовой плоскости , которые в невырожденных случаях удовлетворяют неявному уравнению ^{[5] [6]} при условии ${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$ ${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Чтобы отличить вырожденные случаи от невырожденных, пусть ∆ будет определителем $${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Тогда эллипс является невырожденным действительным эллипсом тогда и только тогда, когда C∆ < 0. Если C∆ > 0, то мы имеем мнимый эллипс, а если ∆ = 0, то мы имеем точечный эллипс. ^{[7] : 63}

Коэффициенты общего уравнения можно получить из известных большой полуоси , малой полуоси , координат центра и угла поворота (угол между положительной горизонтальной осью и большой осью эллипса) с помощью формул: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Эти выражения можно вывести из канонического уравнения путем евклидова преобразования координат : $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ ${\displaystyle (X,\,Y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Наоборот, параметры канонической формы могут быть получены из коэффициентов общей формы с помощью уравнений: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

где atan2 — функция арктангенса с двумя аргументами.

Параметрическое представление

Построение точек на основе параметрического уравнения и интерпретации параметра t , принадлежащее де ла Иру

Точки эллипса вычисляются с помощью рационального представления с равноотстоящими параметрами ( ). ${\displaystyle \Delta u=0.2}$

Стандартное параметрическое представление

Используя тригонометрические функции , параметрическое представление стандартного эллипса выглядит следующим образом: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

Параметр t (называемый в астрономии эксцентрической аномалией ) не является углом с осью x , но имеет геометрическое значение, определенное Филиппом де Ла Гиром (см. § Рисование эллипсов ниже). ^[8] ${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Рациональное представление

С помощью подстановки и тригонометрических формул получаем ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$ $${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

и рациональное параметрическое уравнение эллипса $${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

которая покрывает любую точку эллипса, кроме левой вершины . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (-a,\,0)}$

Для этой формулы представляет собой правую верхнюю четверть эллипса, движущегося против часовой стрелки с увеличением Левая вершина является пределом ${\displaystyle u\in [0,\,1],}$ ${\displaystyle u.}$ ${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

С другой стороны, если параметр рассматривается как точка на действительной проективной прямой , то соответствующая рациональная параметризация имеет вид ${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Затем ${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Рациональные представления конических сечений обычно используются в компьютерном проектировании (см. Кривая Безье ).

Наклон касательной как параметр

Параметрическое представление, использующее наклон касательной в точке эллипса, можно получить из производной стандартного представления : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

С помощью тригонометрических формул получаем: $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Замена и стандартного представления дает: ${\displaystyle \cos t}$ ${\displaystyle \sin t}$ $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Здесь - наклон касательной в соответствующей точке эллипса, - верхняя и нижняя половины эллипса. Вершины , имеющие вертикальные касательные, не охватываются представлением. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

Уравнение касательной в точке имеет вид . Пока неизвестное можно определить, подставив координаты соответствующей точки эллипса : ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ ${\displaystyle y=mx+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Это описание касательных эллипса является существенным инструментом для определения ортоптики эллипса . Ортоптическая статья содержит другое доказательство, без дифференциального исчисления и тригонометрических формул.

Общий эллипс

Эллипс как аффинное изображение единичной окружности

Другое определение эллипса использует аффинные преобразования :

Любой эллипс является аффинным образом единичной окружности с уравнением . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где — регулярная матрица (с ненулевым определителем ), а — произвольный вектор. Если — векторы-столбцы матрицы , то единичная окружность , , отображается на эллипс: ${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Здесь находится центр и — направления двух сопряженных диаметров , в общем случае не перпендикулярные. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Вершины

Четыре вершины эллипса равны , для параметра, определяемого как: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Если , то .) Это выводится следующим образом. Касательный вектор в точке равен: ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

При параметре вершины касательная перпендикулярна большой/малой осям, поэтому: ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Разложение и применение тождеств дает уравнение для ${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$ ${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Область

Из теоремы Аполлония (см. ниже) получаем:
Площадь эллипса равна ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$ $${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Полуоси

С сокращениями утверждения теоремы Аполлония можно записать так: Решение этой нелинейной системы относительно дает полуоси: ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$ ${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Наоборот: если уравнение

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$с ${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

эллипса с центром в начале координат, то два вектора указывают на две сопряженные точки и применимы разработанные выше инструменты. $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Пример : Для эллипса с уравнением векторы равны ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$ $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Вихри: вложенные, масштабированные и повернутые эллипсы. Спираль не нарисована: мы видим ее как место точек, где эллипсы особенно близки друг к другу.

Повернутый стандартный эллипс

Для получаем параметрическое представление стандартного эллипса, повернутого на угол : ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Эллипс в пространстве

Определение эллипса в этом разделе дает параметрическое представление произвольного эллипса, даже в пространстве, если допустить, что это векторы в пространстве. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Полярные формы

Полярная форма относительно центра

Полярные координаты с центром в центре.

В полярных координатах , с началом в центре эллипса и с угловой координатой, отсчитываемой от большой оси, уравнение эллипса имеет вид ^{[7] : 75} , где — эксцентриситет, а не число Эйлера. ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$ ${\displaystyle e}$

Полярная форма относительно фокуса

Полярные координаты с центром в фокусе.

Если вместо этого мы используем полярные координаты с началом в одном фокусе, при этом угловая координата по-прежнему измеряется от большой оси, то уравнение эллипса будет иметь вид ${\displaystyle \theta =0}$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

где знак в знаменателе отрицательный, если направление отсчета указывает к центру (как показано справа), и положительный, если это направление указывает от центра. ${\displaystyle \theta =0}$

Угол называется истинной аномалией точки. Числитель — полуширокая прямая кишка . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Эксцентриситет и свойство директрисы

Эллипс: свойство директрисы

Каждая из двух линий, параллельных малой оси и находящихся на расстоянии от нее, называется директрисой эллипса (см. рисунок). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Для произвольной точки эллипса частное от деления расстояния до одного фокуса и до соответствующей ему директрисы (см. рисунок) равно эксцентриситету: ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

Доказательство для пары следует из того факта, что и удовлетворяют уравнению ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$ $${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

Второй случай доказывается аналогично.

Обратное утверждение также верно и может быть использовано для определения эллипса (аналогично определению параболы):

Для любой точки (фокуса), любой прямой (директрисы), не проходящей через , и любого действительного числа с эллипсом есть геометрическое место точек, для которых частное расстояний до точки и до прямой равно : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 0<e<1,}$ ${\displaystyle e,}$ $${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

Расширение до , которое является эксцентриситетом окружности, не допускается в этом контексте в евклидовой плоскости. Однако можно считать директрису окружности прямой на бесконечности в проективной плоскости . ${\displaystyle e=0}$

(Выбор дает параболу, а если , то гиперболу.) ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Пучок коник с общей вершиной и общей прямой полушириной

Доказательство

Пусть , и предположим, что это точка на кривой. Директриса имеет уравнение . При , отношение производит уравнения ${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,\,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$и ${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

Замена дает ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Это уравнение эллипса ( ) , или параболы ( ), или гиперболы ( ). Все эти невырожденные коники имеют, как общее, начало координат в качестве вершины (см. диаграмму). ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Если ввести новые параметры так, чтобы , и тогда уравнение выше становится ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

которое представляет собой уравнение эллипса с центром , осью x в качестве большой оси и большой/малой полуосью . ${\displaystyle (a,\,0)}$ ${\displaystyle a,\,b}$

Построение директрисы

Построение директрисы

Из-за точки директрисы (см. диаграмму) и фокуса инверсны по отношению к инверсии окружности в окружности (на диаграмме зелёный). Следовательно, можно построить так, как показано на диаграмме. Директриса — это перпендикуляр к главной оси в точке . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

Общий эллипс

Если фокус и директриса , то получаем уравнение ${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$ ${\displaystyle ux+vy+w=0}$ $${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(В правой части уравнения для расчета расстояния используется нормальная форма Гессе для линии .) ${\displaystyle |Pl|}$

Свойство отражения от фокуса к фокусу

Эллипс: касательная делит пополам дополнительный угол к углу между прямыми и фокусами.

Лучи из одного фокуса отражаются от эллипса и проходят через другой фокус.

Эллипс обладает следующим свойством:

Нормаль в точке делит угол между прямыми пополам . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Доказательство

Поскольку касательная перпендикулярна нормали, эквивалентным утверждением является то, что касательная является биссектрисой внешнего угла линий к фокусам (см. диаграмму). Пусть будет точкой на линии с расстоянием до фокуса , где - большая полуось эллипса. Пусть линия будет биссектрисой внешнего угла линий и Возьмем любую другую точку на По неравенству треугольника и теореме о биссектрисе угла , поэтому должна быть вне эллипса. Поскольку это верно для каждого выбора пересекает эллипс только в одной точке, то должна быть и касательная. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w.}$ ${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$

Приложение

Лучи из одного фокуса отражаются эллипсом во второй фокус. Это свойство имеет оптические и акустические приложения, аналогичные отражательному свойству параболы (см. галерею шепота ).

Кроме того, из-за свойства отражения от фокуса к фокусу, свойственного эллипсам, если позволить лучам продолжать распространяться, отраженные лучи в конечном итоге будут близко выровнены с большой осью.

Сопряженные диаметры

Определение сопряженных диаметров

Ортогональные диаметры окружности с квадратом касательных, серединами параллельных хорд и аффинным образом, представляющим собой эллипс с сопряженными диаметрами, параллелограммом касательных и серединами хорд.

Круг обладает следующим свойством:

Середины параллельных хорд лежат на диаметре.

Аффинное преобразование сохраняет параллельность и середины отрезков, поэтому это свойство справедливо для любого эллипса. (Обратите внимание, что параллельные хорды и диаметр больше не являются ортогональными.)

Определение

Два диаметра эллипса сопряжены , если середины хорд, параллельных ему, лежат на одной прямой. ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}\ .}$

Из диаграммы видно:

Два диаметра эллипса сопряжены, если касательные в точках и параллельны . ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Сопряженные диаметры в эллипсе обобщают ортогональные диаметры в круге.

В параметрическом уравнении для общего эллипса, приведенном выше, $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

любая пара точек принадлежит диаметру, а пара принадлежит его сопряженному диаметру. ${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Для общего параметрического представления эллипса с уравнением получаем: Точки ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(знаки: (+,+) или (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(знаки: (−,+) или (+,−) )

сопряжены и

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

В случае окружности последнее уравнение сворачивается до ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах

Теорема Аполлония

Для альтернативной формулы площади

Для эллипса с полуосями справедливо следующее: ^{[9] [10]} ${\displaystyle a,\,b}$

Пусть и — половины двух сопряженных диаметров (см. рисунок), тогда ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. Треугольник со сторонами (см. диаграмму) имеет постоянную площадь , которую также можно выразить как . - высота точки и угол между половинными диаметрами. Следовательно, площадь эллипса (см. раздел метрические свойства) можно записать как . ${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ ${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. Параллелограмм касательных, примыкающих к данным сопряженным диаметрам, имеет вид ${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Доказательство

Пусть эллипс имеет каноническую форму с параметрическим уравнением $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Две точки находятся на сопряженных диаметрах (см. предыдущий раздел). Из тригонометрических формул получаем и ${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

Площадь треугольника, образованного ${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$ $${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

и из рисунка видно, что площадь параллелограмма в 8 раз больше площади . Следовательно ${\displaystyle A_{\Delta }}$ $${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$

Ортогональные касательные

Эллипс с его ортооптическим

Для эллипса точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Эта окружность называется ортоптической или направляющей окружностью эллипса (не путать с круговой направляющей, определенной выше).

Рисование эллипсов

Центральная проекция кругов (ворота)

Эллипсы появляются в начертательной геометрии как изображения (параллельные или центральные проекции) окружностей. Существуют различные инструменты для рисования эллипса. Компьютеры обеспечивают самый быстрый и точный метод рисования эллипса. Однако существуют технические инструменты ( эллипсографы ) для рисования эллипса без компьютера. Принцип был известен математику 5-го века Проклу , а инструмент, который сейчас известен как эллиптический траммель, был изобретен Леонардо да Винчи . ^[11]

Если эллипсографа нет, можно нарисовать эллипс, используя приближение четырех соприкасающихся окружностей в вершинах.

Для любого метода, описанного ниже, необходимо знание осей и полуосей (или, что эквивалентно: фокусов и большой полуоси). Если это предположение не выполняется, необходимо знать по крайней мере два сопряженных диаметра. С помощью построения Ритца можно восстановить оси и полуоси.

Точечная конструкция де Ла Гира

Следующая конструкция отдельных точек эллипса принадлежит де Ла Гиру . ^[12] Она основана на стандартном параметрическом представлении эллипса: ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$

1. Нарисуйте две окружности с центрами в центре эллипса с радиусами и осями эллипса. ${\displaystyle a,b}$
2. Проведите линию через центр , которая пересечет две окружности в точках и соответственно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Проведите линию , параллельную малой оси, и линию , параллельную большой оси. Эти линии пересекаются в точке эллипса (см. диаграмму). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
4. Повторите шаги (2) и (3) с другими линиями, проходящими через центр.

• 
  Метод де Ла Гира
• 
  Анимация метода

Эллипс: метод садовода

Метод «булавки и веревки»

Характеристика эллипса как геометрического места точек, так что сумма расстояний до фокусов постоянна, приводит к методу его рисования с использованием двух кнопок , отрезка веревки и карандаша. В этом методе булавки втыкаются в бумагу в двух точках, которые становятся фокусами эллипса. Веревка привязана к каждому концу к двум булавкам; ее длина после привязывания составляет . Затем кончик карандаша чертит эллипс, если его двигать, удерживая веревку натянутой. Используя два колышка и веревку, садоводы используют эту процедуру, чтобы очертить эллиптическую клумбу — поэтому ее называют эллипсом садовника . Византийский архитектор Антемий из Траллеса ( ок.  600 г. ) описал, как этот метод можно использовать для построения эллиптического отражателя, ^[13] и он был подробно описан в ныне утерянном трактате IX века Аль-Хасана ибн Мусы . ^[14] ${\displaystyle 2a}$

Похожий метод рисования софокусных эллипсов с помощью замкнутой струны принадлежит ирландскому епископу Чарльзу Грейвсу .

Методы использования бумажных полосок

Два следующих метода основаны на параметрическом представлении (см. § Стандартное параметрическое представление выше): $${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$$

Это представление может быть технически смоделировано двумя простыми методами. В обоих случаях центр, оси и полуоси должны быть известны. ${\displaystyle a,\,b}$

Метод 1

Первый метод начинается с

полоска бумаги длиной . ${\displaystyle a+b}$

Точка, в которой сходятся полуоси, обозначена . Если полоска скользит обоими концами по осям искомого эллипса, то точка описывает эллипс. Для доказательства показывают, что точка имеет параметрическое представление , где параметр — угол наклона бумажной полоски. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Техническая реализация движения бумажной полоски может быть достигнута парой Туси (см. анимацию). Устройство способно нарисовать любой эллипс с фиксированной суммой , которая является радиусом большого круга. Это ограничение может быть недостатком в реальной жизни. Более гибким является второй метод бумажной полоски. ${\displaystyle a+b}$

• 
  Построение эллипса: метод полоски бумаги 1
• 
  Эллипсы с парой Туси. Два примера: красный и голубой.

Вариация метода бумажной полоски 1 использует наблюдение, что середина бумажной полоски движется по окружности с центром (эллипса) и радиусом . Таким образом, бумажную полоску можно разрезать в точке на половинки, снова соединить их шарниром в и зафиксировать скользящий конец в центре (см. схему). После этой операции движение неизмененной половины бумажной полоски остается неизменным. ^[15] Эта вариация требует только одного скользящего башмака. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

• 
  Вариант метода бумажной полоски 1
• 
  Анимация варианта метода бумажной полоски 1

Построение эллипса: метод полоски бумаги 2

Метод 2

Второй метод начинается с

полоска бумаги длиной . ${\displaystyle a}$

Отмечается точка, которая делит полоску на две подполоски длиной и . Полоса располагается на осях, как описано на схеме. Затем свободный конец полоски описывает эллипс, в то время как полоска перемещается. Для доказательства следует признать, что точка трассировки может быть параметрически описана как , где параметр — это угол наклона бумажной полоски. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Этот метод является основой для нескольких эллипсографов (см. раздел ниже).

Подобно варианту метода бумажной полоски 1, можно создать вариант метода бумажной полоски 2 (см. схему), разрезав часть между осями пополам.

• 
  Эллиптический барабан (принцип)
• 
  Эллипсограф Бенджамина Бреймера
• 
  Вариант метода бумажной полоски 2

Большинство чертежных инструментов эллипсографа основаны на втором методе бумажной ленты.

Аппроксимация эллипса соприкасающимися окружностями

Аппроксимация соприкасающимися окружностями

Из приведенных ниже свойств метрики получаем:

• Радиус кривизны в вершинах равен: ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$
• Радиус кривизны в вершинах равен: ${\displaystyle V_{3},\,V_{4}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}$

На диаграмме показан простой способ нахождения центров кривизны в вершине и совершителе соответственно: ${\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{3}}$

1. отметьте вспомогательную точку и начертите отрезок прямой ${\displaystyle H=(a,\,b)}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
2. проведите линию через , которая перпендикулярна линии ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
3. Точки пересечения этой линии с осями являются центрами соприкасающихся окружностей.

(доказательство: простой расчет.)

Центры остальных вершин находятся симметрией.

С помощью лекала рисуют кривую, имеющую плавный контакт с соприкасающимися окружностями .

поколение Штайнера

Эллипс: генерация Штайнера

Эллипс: генерация Штайнера

Следующий метод построения отдельных точек эллипса основан на построении Штейнера конического сечения :

Даны два пучка прямых в двух точках (все прямые содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ${\displaystyle B(U),\,B(V)}$ ${\displaystyle U,\,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Для генерации точек эллипса используются пучки в вершинах . Пусть будет верхней совершиной эллипса и . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle P=(0,\,b)}$ ${\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}$

${\displaystyle P}$является центром прямоугольника . Сторона прямоугольника разделена на n равноотстоящих отрезков прямой, и это деление проецируется параллельно диагонали как направлению на отрезок прямой и назначается деление, как показано на схеме. Параллельная проекция вместе с обратной ориентацией является частью проективного отображения между карандашами в и необходимо. Точки пересечения любых двух связанных прямых и являются точками однозначно определенного эллипса. С помощью точек можно определить точки второй четверти эллипса. Аналогично получаются точки нижней половины эллипса. ${\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AV_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}B_{i}}$ ${\displaystyle V_{2}A_{i}}$ ${\displaystyle C_{1},\,\dotsc }$

Генерацию Штейнера можно также определить для гипербол и парабол. Иногда ее называют методом параллелограмма , поскольку можно использовать другие точки вместо вершин, которые начинаются с параллелограмма вместо прямоугольника.

Как гипотрохоидный

Эллипс (красный) как частный случай гипотрохоиды с  R  = 2r

Эллипс является частным случаем гипотрохоиды , когда , как показано на соседнем изображении. Частный случай движущейся окружности с радиусом внутри окружности с радиусом называется парой Туси . ${\displaystyle R=2r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R=2r}$

Вписанные углы и трехточечная форма

Круги

Окружность: теорема о вписанном угле

Окружность с уравнением однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Простой способ определения параметров использует теорему о вписанном угле для окружностей: ${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}$ ${\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}$

Для четырех точек (см. диаграмму) справедливо следующее утверждение: ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Четыре точки лежат на окружности тогда и только тогда, когда углы при и равны. ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

Обычно вписанные углы измеряют в градусах или радианах θ , но здесь более удобна следующая единица измерения:

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений, используют частное: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}$ $${\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}$$

Теорема о вписанном угле для окружностей

Для четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, имеем следующее (см. диаграмму): ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Четыре точки лежат на окружности, если и только если углы при и равны. В терминах измерения угла выше это означает: ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Сначала измерение доступно только для хорд, не параллельных оси Y, но окончательная формула работает для любых хорд.

Трехточечная форма уравнения окружности

В результате получается уравнение окружности, определяемой тремя неколлинеарными точками : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Например, для трехточечного уравнения: ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$, который можно переставить на ${\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}$

Используя векторы, скалярные произведения и определители, эту формулу можно записать более наглядно, приняв : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}$ $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}$$

Центр круга удовлетворяет: ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}$$

Радиус — это расстояние между любой из трех точек и центром. $${\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}$$

Эллипсы

В этом разделе рассматривается семейство эллипсов, определяемых уравнениями с фиксированным эксцентриситетом . Удобно использовать параметр: ${\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}$$

и записать уравнение эллипса как: $${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}$$

где q фиксировано и изменяется в пределах действительных чисел. (Такие эллипсы имеют оси, параллельные осям координат: если , большая ось параллельна оси x ; если , она параллельна оси y .) ${\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle q>1}$

Теорема о вписанном угле для эллипса

Подобно окружности, такой эллипс определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Для этого семейства эллипсов вводится следующая q-аналоговая мера угла, которая не является функцией обычной меры угла θ : ^{[16] [17]}

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений, используют частное: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}$ $${\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}$$

Теорема о вписанном угле для эллипсов

Даны четыре точки , никакие три из которых не лежат на одной прямой (см. рисунок). ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}$

Четыре точки находятся на эллипсе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и равны в смысле измерения выше, то есть, если ${\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Сначала мера доступна только для хорд, которые не параллельны оси y. Но окончательная формула работает для любой хорды. Доказательство следует из простого вычисления. Для направления доказательства, учитывая, что точки находятся на эллипсе, можно предположить, что центр эллипса является началом координат.

Трехточечная форма уравнения эллипса

В результате получаем уравнение эллипса, определяемого тремя неколлинеарными точками : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Например, для и получается трехточечная форма ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$ ${\displaystyle q=4}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$и после преобразования ${\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}$

Аналогично случаю окружности уравнение можно записать более наглядно, используя векторы: $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}$$

где модифицированное скалярное произведение ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}$

Полюс-полярное отношение

Эллипс: полюсно-полярная связь

Любой эллипс можно описать в подходящей системе координат уравнением . Уравнение касательной в точке эллипса имеет вид Если допустить, что точка является произвольной точкой, отличной от начала координат, то ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$

точка отображается на линию , а не проходит через центр эллипса. ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$

Это отношение между точками и линиями является биекцией .

Обратная функция отображает

• линия на точку и ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}$
• линия на точку ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}$

Такое отношение между точками и прямыми, образованное коникой, называется полюсно-полярным отношением или полярностью . Полюсом является точка, полярой — прямая.

Расчетным путем можно подтвердить следующие свойства полюсно-полярной связи эллипса:

• Для точки (полюса) эллипса поляра — это касательная в этой точке (см. рисунок: ). ${\displaystyle P_{1},\,p_{1}}$
• Для полюса, находящегося вне эллипса, точки пересечения его поляры с эллипсом являются точками касания двух проходящих касательных (см. рисунок: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\,p_{2}}$
• Для точки внутри эллипса поляра не имеет общих точек с эллипсом (см. диаграмму: ). ${\displaystyle F_{1},\,l_{1}}$

1. Точка пересечения двух полюсов является полюсом линии, проходящей через их полюса.
2. Фокус и , соответственно, и директрисы и , соответственно, принадлежат парам полюса и поляры. Поскольку они являются четными полярными парами относительно окружности , директрисы могут быть построены с помощью циркуля и линейки (см. Инверсная геометрия ). ${\displaystyle (c,\,0)}$ ${\displaystyle (-c,\,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$

Полюсно-полярные соотношения существуют также для гипербол и парабол.

Метрические свойства

Все метрические свойства, приведенные ниже, относятся к эллипсу с уравнением

за исключением участка области, ограниченной наклонным эллипсом, где будет дана обобщенная форма уравнения ( 1 ).

Область

Площадь , ограниченная эллипсом, равна: ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$

где и — длины большой и малой полуосей соответственно. Формула площади интуитивно понятна: начните с круга радиусом (так что его площадь равна ) и растяните его на коэффициент, чтобы получился эллипс. Это масштабирует площадь на тот же коэффициент: ^[18] Однако использование того же подхода для окружности было бы ошибочным — сравните интегралы и . Также легко строго доказать формулу площади, используя интегрирование следующим образом. Уравнение ( 1 ) можно переписать как Для этой кривой — верхняя половина эллипса. Таким образом, удвоенный интеграл от по интервалу будет площадью эллипса: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$ ${\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in [-a,a],}$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle [-a,a]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$$

Второй интеграл — это площадь круга радиуса , то есть, Итак ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \pi a^{2}.}$ $${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$$

Эллипс, определяемый неявно, имеет площадь ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

Площадь также можно выразить через эксцентриситет и длину большой полуоси как (полученную путем решения уравнения для сплющивания с последующим вычислением малой полуоси). ${\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}$

Площадь, ограниченная наклонным эллипсом, равна . ${\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}$

До сих пор мы имели дело с прямыми эллипсами, большая и малая оси которых параллельны осям и . Однако для некоторых приложений требуются наклонные эллипсы. Например, в оптике пучков заряженных частиц замкнутая область прямого или наклонного эллипса является важным свойством пучка, его излучательной способностью . В этом случае по-прежнему применима простая формула, а именно ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

где , являются отсекателями и , являются максимальными значениями. Это следует непосредственно из теоремы Аполлония. ${\displaystyle y_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{max}}}$ ${\displaystyle y_{\text{max}}}$

Окружность

Эллипсы с одинаковой окружностью

Длина окружности эллипса равна: ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$$

где снова — длина большой полуоси, — эксцентриситет, а функция — полный эллиптический интеграл второго рода , который в общем случае не является элементарной функцией . ${\displaystyle a}$ ${\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$

Длина окружности эллипса может быть оценена с помощью арифметико -геометрического среднего Гаусса ; ^[19] это квадратично сходящийся итерационный метод ( подробнее см. здесь ). ${\displaystyle E(e)}$

Точный бесконечный ряд имеет вид: где — двойной факториал (распространяемый на отрицательные нечетные целые числа обычным способом, что дает и ). $${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n!!}$ ${\displaystyle (-1)!!=1}$ ${\displaystyle (-3)!!=-1}$

Этот ряд сходится, но, расширяя его в терминах Джеймса Айвори ^[20] , Бессель ^[21] и Куммер ^[22] вывели выражение, которое сходится гораздо быстрее. Наиболее кратко оно записывается в терминах биномиального коэффициента с : Коэффициенты немного меньше (в множитель ), но также численно намного меньше, чем за исключением при и . Для эксцентриситетов менее 0,5 ( ) ошибка находится на пределе двойной точности с плавающей точкой после члена. ^[23] ${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$ ${\displaystyle n=1/2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{\pi (a+b)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25\,h^{4}}{16384}}+{\frac {49\,h^{5}}{65536}}+{\frac {441\,h^{6}}{2^{20}}}+{\frac {1089\,h^{7}}{2^{22}}}+\cdots .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle h=e=0}$ ${\displaystyle h=e=1}$ ${\displaystyle h<0.005}$ ${\displaystyle h^{4}}$

Шриниваса Рамануджан дал два близких приближения для окружности в §16 "Modular Equations and Approximations to "; ^[24] они есть и где принимает то же значение, что и выше. Ошибки в этих приближениях, которые были получены эмпирическим путем, имеют порядок и соответственно. ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle C\approx \pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\biggr ]}=\pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {3(a+b)^{2}+4ab}}{\biggr ]}}$$ $${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle h^{5},}$

Длина дуги

В более общем смысле длина дуги части окружности, как функция противолежащего угла (или координат x любых двух точек на верхней половине эллипса), задается неполным эллиптическим интегралом . Верхняя половина эллипса параметризуется как $${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$$

Тогда длина дуги от до равна: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \ x_{1}\ }$ ${\displaystyle \ x_{2}\ }$ $${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}$$

Это эквивалентно $${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$$

где — неполный эллиптический интеграл второго рода с параметром ${\displaystyle E(z\mid m)}$ ${\displaystyle m=k^{2}.}$

Некоторые нижние и верхние границы окружности канонического эллипса с равны ^[25] ${\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }$ ${\displaystyle \ a\geq b\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

Здесь верхняя граница — это длина описанной концентрической окружности, проходящей через концы большой оси эллипса, а нижняя граница — периметр вписанного ромба с вершинами в концах большой и малой осей. ${\displaystyle \ 2\pi a\ }$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Кривизна

Кривизна определяется по формуле:

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}$

и радиус кривизны , ρ = 1/κ, в точке : Радиус кривизны эллипса, как функция угла θ от центра, равен: где e — эксцентриситет. ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}$$ $${\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}$$

Радиус кривизны в двух вершинах и центрах кривизны: ${\displaystyle (\pm a,0)}$ $${\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}$$

Радиус кривизны в двух совершинах и центры кривизны: Геометрическое место всех центров кривизны называется эволютой . В случае эллипса эволюта — это астроида . ${\displaystyle (0,\pm b)}$ $${\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}$$

В геометрии треугольника

Эллипсы появляются в геометрии треугольника как

1. Эллипс Штейнера : эллипс, проходящий через вершины треугольника с центром в центроиде,
2. вэллипс : эллипсы, которые касаются сторон треугольника. Особыми случаями являются вэллипс Штейнера и вэллипс Мандарта .

Как плоские сечения квадриков

Эллипсы появляются как плоские сечения следующих квадрик :

• Эллипсоид
• Эллиптический конус
• Эллиптический цилиндр
• Гиперболоид однополостный
• Двуполостный гиперболоид

• 
  Эллипсоид
• 
  Эллиптический конус
• 
  Эллиптический цилиндр
• 
  Гиперболоид однополостный
• 
  Двуполостный гиперболоид

Приложения

Физика

Эллиптические отражатели и акустика

Волновая картина маленькой капельки, упавшей в ртуть в фокусах эллипса

Если поверхность воды возмущена в одном фокусе эллиптического водного резервуара, то круговые волны этого возмущения, отражаясь от стенок, сходятся одновременно в одной точке: втором фокусе . Это является следствием того, что общая длина пути одинакова вдоль любого пути отскока от стенки между двумя фокусами.

Аналогично, если источник света поместить в один фокус эллиптического зеркала , все световые лучи на плоскости эллипса отражаются во второй фокус. Поскольку никакая другая гладкая кривая не обладает таким свойством, его можно использовать в качестве альтернативного определения эллипса. (В частном случае круга с источником в центре весь свет будет отражаться обратно в центр.) Если эллипс вращается вокруг своей большой оси, чтобы получить эллипсоидальное зеркало (в частности, вытянутый сфероид ), это свойство сохраняется для всех лучей из источника. В качестве альтернативы можно использовать цилиндрическое зеркало с эллиптическим поперечным сечением для фокусировки света от линейной флуоресцентной лампы вдоль линии бумаги; такие зеркала используются в некоторых сканерах документов .

Звуковые волны отражаются аналогичным образом, поэтому в большой эллиптической комнате человек, стоящий в одном фокусе, может слышать человека, стоящего в другом фокусе, очень хорошо. Эффект еще более очевиден под сводчатой ​​крышей, имеющей форму сечения вытянутого сфероида. Такая комната называется камерой шепота . Тот же эффект можно продемонстрировать с помощью двух отражателей, имеющих форму торцевых крышек такого сфероида, размещенных друг напротив друга на соответствующем расстоянии. Примерами являются Национальный скульптурный зал в Капитолии Соединенных Штатов (где, как говорят, Джон Куинси Адамс использовал это свойство для подслушивания политических вопросов); Мормонская скиния на Храмовой площади в Солт-Лейк-Сити , штат Юта ; на выставке, посвященной звуку, в Музее науки и промышленности в Чикаго ; перед Иллинойсским университетом в Урбана-Шампейн, Фоеллингер Аудиториум; а также в боковой комнате Дворца Карла V в Альгамбре .

Планетарные орбиты

В XVII веке Иоганн Кеплер открыл, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем [приблизительно] в одном из фокусов, в своем первом законе движения планет . Позже Исаак Ньютон объяснил это как следствие своего закона всемирного тяготения .

В более общем смысле, в гравитационной задаче двух тел , если два тела связаны друг с другом (то есть полная энергия отрицательна), их орбиты представляют собой подобные эллипсы с общим барицентром, являющимся одним из фокусов каждого эллипса. Другой фокус любого эллипса не имеет известного физического значения. Орбита любого тела в системе отсчета другого тела также является эллипсом, причем другое тело находится в том же фокусе.

Кеплеровские эллиптические орбиты являются результатом любой радиально направленной силы притяжения, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом, в принципе, движение двух противоположно заряженных частиц в пустом пространстве также было бы эллипсом. (Однако этот вывод игнорирует потери из-за электромагнитного излучения и квантовых эффектов , которые становятся значительными, когда частицы движутся с большой скоростью.)

Для эллиптических орбит полезными соотношениями, включающими эксцентриситет, являются: ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle r_{a}}$- радиус в апоапсисе , т.е. наибольшее расстояние орбиты до барицентра системы, который является фокусом эллипса
• ${\displaystyle r_{p}}$это радиус в перицентре , ближайшее расстояние
• ${\displaystyle a}$длина большой полуоси

Также, в терминах и , большая полуось является их средним арифметическим , малая полуось является их средним геометрическим , а полуширокая прямая ось является их средним гармоническим . Другими словами, ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}$$

Гармонические осцилляторы

Общее решение для гармонического осциллятора в двух или более измерениях также является эллипсом. Так обстоит дело, например, с длинным маятником, который может свободно перемещаться в двух измерениях; с массой, прикрепленной к фиксированной точке идеально упругой пружиной ; или с любым объектом, который движется под воздействием силы притяжения, которая прямо пропорциональна его расстоянию от фиксированного аттрактора. Однако, в отличие от кеплеровских орбит, эти «гармонические орбиты» имеют центр притяжения в геометрическом центре эллипса и имеют довольно простые уравнения движения.

Фазовая визуализация

В электронике относительную фазу двух синусоидальных сигналов можно сравнить, подав их на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа . Если отображение фигуры Лиссажу представляет собой эллипс, а не прямую линию, два сигнала не совпадают по фазе.

Эллиптические шестерни

Две некруглые шестерни с одинаковым эллиптическим контуром, каждая из которых вращается вокруг одного фокуса и расположена под правильным углом, плавно вращаются, сохраняя контакт все время. В качестве альтернативы они могут быть соединены звеньевой цепью или ремнем ГРМ , или в случае велосипеда главная передняя звезда может быть эллиптической или овоидной , похожей на эллипс по форме. Такие эллиптические шестерни могут использоваться в механическом оборудовании для создания переменной угловой скорости или крутящего момента от постоянного вращения ведущей оси, или в случае велосипеда для обеспечения переменной скорости вращения кривошипа с обратно изменяющимся механическим преимуществом .

Эллиптические велосипедные передачи облегчают соскальзывание цепи с зубчатого колеса при переключении передач. ^[26]

Примером применения зубчатой ​​передачи может служить устройство, наматывающее нить на коническую бобину прядильной машины . Бобина должна наматываться быстрее, когда нить находится вблизи вершины, чем когда она находится вблизи основания. ^[27]

Оптика

• В оптически анизотропном ( двойном лучепреломляющем ) материале показатель преломления зависит от направления света. Зависимость можно описать эллипсоидом показателя преломления . (Если материал оптически изотропен , то этот эллипсоид является сферой.)
• В твердотельных лазерах с ламповой накачкой эллиптические цилиндрические отражатели использовались для направления света от лампы накачки (соосного с одной фокальной осью эллипса) к стержню активной среды (соосному со второй фокальной осью). ^[28]
• В источниках EUV -света, создаваемых лазерной плазмой и используемых в литографии микрочипов , EUV-свет генерируется плазмой, расположенной в первичном фокусе эллипсоидного зеркала, и собирается во вторичном фокусе на входе литографической машины. ^[29]

Статистика и финансы

В статистике двумерный случайный вектор совместно эллиптически распределен , если его контуры изоплотности — геометрические места равных значений функции плотности — являются эллипсами. Эта концепция распространяется на произвольное число элементов случайного вектора, в этом случае в общем случае контуры изоплотности являются эллипсоидами. Особым случаем является многомерное нормальное распределение . Эллиптические распределения важны в финансах , потому что если ставки доходности активов совместно эллиптически распределены, то все портфели можно полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией — то есть любые два портфеля с идентичным средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют идентичные распределения доходности портфеля. ^{[30] [31]} ${\displaystyle (X,Y)}$

Компьютерная графика

Рисование эллипса как графического примитива распространено в стандартных библиотеках отображения, таких как MacIntosh QuickDraw API и Direct2D в Windows. Джек Брезенхэм из IBM наиболее известен изобретением примитивов 2D-рисования, включая рисование линий и окружностей, с использованием только быстрых целочисленных операций, таких как сложение и ветвление по биту переноса. MLV Pitteway расширил алгоритм Брезенхэма для линий до конических сечений в 1967 году. ^[32] Другое эффективное обобщение для рисования эллипсов было изобретено в 1984 году Джерри Ван Эйкеном. ^[33]

В 1970 году Дэнни Коэн представил на конференции "Computer Graphics 1970" в Англии линейный алгоритм для рисования эллипсов и окружностей. В 1971 году Л. Б. Смит опубликовал аналогичные алгоритмы для всех конических сечений и доказал, что они обладают хорошими свойствами. ^[34] Эти алгоритмы требуют всего лишь нескольких умножений и сложений для вычисления каждого вектора.

Параметрическую формулировку выгодно использовать в компьютерной графике, поскольку плотность точек наибольшая там, где больше всего кривизны. Таким образом, изменение наклона между каждой последующей точкой невелико, что уменьшает кажущуюся «зубчатость» аппроксимации.

Рисование с помощью контуров Безье

Составные кривые Безье также могут быть использованы для рисования эллипса с достаточной точностью, поскольку любой эллипс может быть истолкован как аффинное преобразование окружности. Сплайновые методы, используемые для рисования окружности, могут быть использованы для рисования эллипса, поскольку составляющие их кривые Безье ведут себя соответствующим образом при таких преобразованиях.

Теория оптимизации

Иногда бывает полезно найти минимальный ограничивающий эллипс на множестве точек. Метод эллипсоида весьма полезен для решения этой задачи.

Смотрите также

• Портал Солнечной системы
• Научный портал
• Математический портал
• Астрономический портал
• Биографический портал
• Технологический портал

• Декартов овал , обобщение эллипса
• Циркумконический и инконический
• Расстояние наибольшего сближения эллипсов
• Эллипсный фитинг
• Эллиптические координаты — ортогональная система координат, основанная на семействах эллипсов и гипербол.
• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Эллиптическое распределение в статистике
• Эллиптический купол
• Геодезические на эллипсоиде
• Большой эллипс
• Законы движения планет Кеплера
• n -эллипс , обобщение эллипса для n фокусов
• Овальный
• Сфероид , эллипсоид, полученный вращением эллипса вокруг его большой или малой оси.
• Стадион (геометрия) , двумерная геометрическая фигура, состоящая из прямоугольника с полукругами на двух противоположных сторонах.
• Окружность Штейнера , уникальный эллипс, описывающий треугольник и имеющий общий центр тяжести.
• Суперэллипс , обобщение эллипса, которое может выглядеть более прямоугольным или более «заостренным».
• Истинная , эксцентрическая и средняя аномалия

Примечания

1. Апостол, Том М.; Мнацаканян, Мамикон А. (2012), Новые горизонты в геометрии , The Dolciani Mathematical Expositions #47, Математическая ассоциация Америки, стр. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
2. Немецкое название этого круга — Leitkreis , что можно перевести как «круг директоров», но в английской литературе этот термин имеет другое значение (см. Круг директоров ).
3. "Эллипс - из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2020-09-10 . Получено 2020-09-10 .
4. Проттер и Морри (1970, стр. 304, APP-28)
5. Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Фальво, Дэвид К. (2006). "Глава 10". Предварительное исчисление с ограничениями. Cengage Learning. стр. 767. ISBN 978-0-618-66089-6.
6. Янг, Синтия Y. (2010). "Глава 9". Precalculus. John Wiley and Sons. стр. 831. ISBN 978-0-471-75684-2.
7. Лоуренс, Дж. Деннис, Каталог специальных плоских кривых , Dover Publ., 1972.
8. К. Штрубекер: Vorlesungen über Darstellende Geometry , GÖTTINGEN, VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, стр. 26
9. Бронштейн и Семенджаев: Taschenbuch der Mathematik , Verlag Harri Deutsch, 1979, ISBN 3871444928 , стр. 274. 
10. Энциклопедия математики , Springer, URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Apollonius_theorem&oldid=17516 .
11. Блейк, Э. М. (1900). «Эллипсограф Прокла». Американский журнал математики . 22 (2): 146–153. doi :10.2307/2369752. JSTOR 2369752 . 
12. К. Штрубекер: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Ванденхук и Рупрехт, Геттинген, 1967, стр. 26.
13. Из Περί παραδόξων μηχανημάτων [ О чудесных машинах ]: «Итак, если мы натянем нить, охватывающую точки A, B, плотно вокруг первой точки, от которой должны отражаться лучи, то будет нарисована линия, являющаяся частью так называемого эллипса, по отношению к которому должна располагаться поверхность зеркала».
    Хаксли, Г. Л. (1959). Антемий из Тралл: исследование поздней греческой геометрии . Кембридж, Массачусетс. С. 8–9. LCCN  59-14700.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Труд аль-Хасана назывался «Китаб аль-шакл аль-мудаввар аль-мустатил» [ «Книга вытянутой круглой фигуры »].
    Рашед, Рошди (2014). Классическая математика от Аль-Хорезми до Декарта . Перевод Шэнка, Майкла Х. Нью-Йорк: Routledge. стр. 559. ISBN 978-13176-2-239-0.
15. Дж. ван Маннен: Инструменты семнадцатого века для черчения конических сечений. В: The Mathematical Gazette. Т. 76, 1992, стр. 222–230.
16. Э. Хартманн: Заметка к лекции «Плоская круговая геометрия», введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, стр. 55
17. В. Бенц, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
18. Архимед. (1897). Труды Архимеда. Хит, Томас Литтл, сэр, 1861-1940. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 115. ISBN 0-486-42084-1. OCLC  48876646.
19. Карлсон, BC (2010), «Эллиптические интегралы», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
20. Айвори, Дж. (1798). «Новая серия для исправления многоточия». Труды Королевского общества Эдинбурга . 4 (2): 177–190. doi :10.1017/s0080456800030817. S2CID  251572677.
21. Бессель, Ф. В. (2010). «Вычисление долготы и широты по геодезическим измерениям (1825)». Astron. Nachr. 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Bibcode :2010AN....331..852K. doi :10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590. Английский перевод Бесселя, FW (1825 г.). «Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen». Астрон. Нахр. (на немецком языке). 4 (16): 241–254. arXiv : 0908.1823 . Бибкод : 1825AN......4..241B. дои : 10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.
22. Линдерхольм, Карл Э.; Сигал, Артур К. (июнь 1995 г.). «Незамеченный ряд для эллиптического периметра». Mathematics Magazine . 68 (3): 216–220. doi :10.1080/0025570X.1995.11996318.который цитирует Куммера, Эрнста Эдуарда (1836). «Uber die Hypergeometrische Reihe» [О гипергеометрическом ряду]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке). 15 (1, 2): 39–83, 127–172. дои : 10.1515/crll.1836.15.39.
23. Кук, Джон Д. (28 мая 2023 г.). «Сравнение приближений для периметра эллипса». Блог John D. Cook Consulting . Получено 16 сентября 2024 г.
24. Рамануджан, Шриниваса (1914). «Модулярные уравнения и приближения к π». Quart. J. Pure App. Math . 45 : 350–372. ISBN 9780821820766.
25. Джеймсон, GJO (2014). «Неравенства для периметра эллипса». Mathematical Gazette . 98 (542): 227–234. doi :10.1017/S002555720000125X. S2CID  125063457.
26. Дэвид Дрю. «Эллиптические шестерни». [1]
27. Грант, Джордж Б. (1906). Трактат о зубчатых колесах. Philadelphia Gear Works. стр. 72.
28. Энциклопедия лазерной физики и техники - лазеры с ламповой накачкой, дуговые лампы, импульсные лампы, высокомощные, Nd:YAG лазер
29. "Cymer - EUV Plasma Chamber Detail Category Home Page". Архивировано из оригинала 2013-05-17 . Получено 2013-06-20 .
30. Чемберлен, Г. (февраль 1983 г.). «Характеристика распределений, подразумевающих среднее значение — дисперсионные функции полезности». Журнал экономической теории . 29 (1): 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
31. Оуэн, Дж.; Рабинович, Р. (июнь 1983 г.). «О классе эллиптических распределений и их применении в теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x. JSTOR  2328079.
32. Питтевей, MLV (1967). «Алгоритм для рисования эллипсов или гипербол с помощью цифрового плоттера». The Computer Journal . 10 (3): 282–9. doi : 10.1093/comjnl/10.3.282 .
33. Ван Эйкен, Дж. Р. (сентябрь 1984 г.). «Эффективный алгоритм рисования эллипса». IEEE Computer Graphics and Applications . 4 (9): 24–35. doi :10.1109/MCG.1984.275994. S2CID  18995215.
34. Смит, Л. Б. (1971). «Рисование эллипсов, гипербол или парабол с фиксированным числом точек». The Computer Journal . 14 (1): 81–86. doi : 10.1093/comjnl/14.1.81 .

Ссылки

• Besant, WH (1907). "Глава III. Эллипс". Конические сечения . Лондон: George Bell and Sons. стр. 50.
• Коксетер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. С. 115–9.
• Месерв, Брюс Э. (1983) [1959], Основные понятия геометрии , Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы университетской алгебры (3-е изд.). Скотт Форесман/Литтл. стр. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с Ellipse в Wikiquote
• Медиа, связанные с Эллипсами на Wikimedia Commons
• эллипс в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс как частный случай гипотрохоиды». MathWorld .
• Вывод Аполлония об эллипсе при схождении
• Форма и история эллипса в Вашингтоне, округ Колумбия, Кларк Кимберлинг
• Калькулятор окружности эллипса
• Коллекция анимированных демонстраций эллипса
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Эллипс», Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Trammel по Франсу ван Скутену
• «Почему нет уравнения для периметра эллипса‽» на YouTube Мэтта Паркера