Средняя аномалия

Определяет орбиту объекта в космосе

Площадь, выметаемая за единицу времени  объектом на эллиптической орбите и  воображаемым объектом, находящимся на круговой орбите (с тем же периодом обращения). Оба охватывают равные площади за одинаковое время, но угловая скорость охвата варьируется для эллиптической орбиты и постоянна для круговой орбиты. Показаны средняя аномалия и истинная аномалия для двух единиц времени. (Обратите внимание, что для визуальной простоты на диаграмме изображена непересекающаяся круговая орбита, поэтому эта круговая орбита с одинаковым периодом обращения не показана в истинном масштабе с этой эллиптической орбитой: чтобы масштаб был верным для двух орбит одинакового периода, эти орбиты должны пересекаться.)

В небесной механике средняя аномалия — это доля периода эллиптической орбиты , прошедшая с тех пор, как вращающееся тело прошло перицентр , выраженная как угол , который можно использовать при вычислении положения этого тела в классической задаче двух тел . Это угловое расстояние от перицентра , которое имело бы фиктивное тело, если бы оно двигалось по круговой орбите с постоянной скоростью за тот же период обращения , что и реальное тело на своей эллиптической орбите. ^{[1] [2]}

Определение

Определите T как время, необходимое конкретному телу для совершения одного оборота. За время T радиус -вектор выметается на 2 π радиан, или 360°. Тогда средняя скорость развертки n равна

${\displaystyle n={\frac {\,2\,\pi \,}{T}}={\frac {\,360^{\circ }\,}{T}}~,}$

которое называется средним угловым движением тела с размерами в радианах в единицу времени или в градусах в единицу времени.

Определим τ как время, в которое тело находится в перицентре. Из приведенных выше определений можно определить новую величину M , среднюю аномалию.

${\displaystyle M=n\,(t-\tau )~,}$

что дает угловое расстояние от перицентра в произвольный момент времени t . ^[3] с размерностями в радианах или градусах.

Поскольку скорость увеличения n является постоянным средним значением, средняя аномалия увеличивается равномерно (линейно) от 0 до 2 π радиан или от 0° до 360° на каждом витке. Он равен 0, когда тело находится в перицентре, π радиан (180°) в апоцентре и 2 π радиан (360°) после одного полного оборота. ^[4] Если средняя аномалия известна в любой момент времени, ее можно рассчитать в любой более поздний (или предыдущий) момент, просто добавив (или вычитая) n⋅δt , где δt представляет собой небольшую разницу во времени.

Средняя аномалия не измеряет угол между какими-либо физическими объектами (кроме перицентра или апоцентра или круговой орбиты). Это просто удобная единая мера того, насколько далеко тело продвинулось по своей орбите от перицентра. Средняя аномалия — это один из трех угловых параметров (исторически известных как «аномалии»), определяющих положение на орбите, два других — эксцентрическая аномалия и истинная аномалия .

Формулы

Средняя аномалия M может быть вычислена из эксцентрической аномалии E и эксцентриситета e с помощью уравнения Кеплера :

${\displaystyle M=E-e\,\sin E~.}$

Средняя аномалия также часто рассматривается как

${\displaystyle M=M_{0}+n\left(t-t_{0}\right)~,}$

где M ₀ — средняя аномалия в эпоху, а t ₀ — эпоха , эталонное время, к которому относятся элементы орбиты , которое может совпадать или не совпадать с τ , временем прохождения перицентра. Классический метод определения положения объекта на эллиптической орбите по набору элементов орбиты заключается в вычислении средней аномалии по этому уравнению, а затем в решении уравнения Кеплера для эксцентрической аномалии.

Определите ϖ как долготу перицентра , угловое расстояние перицентра от опорного направления. Определите ℓ как среднюю долготу , угловое расстояние тела от того же исходного направления, предполагая, что оно движется с равномерным угловым движением, как и в случае средней аномалии. Таким образом, средняя аномалия также ^[5]

${\displaystyle M=\ell -\varpi ~.}$

Среднее угловое движение также можно выразить как

${\displaystyle n={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}~,}$

где μ — гравитационный параметр , который меняется в зависимости от массы объектов, а a — большая полуось орбиты. Затем среднюю аномалию можно расширить,

${\displaystyle M={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}\,\left(t-\tau \right)~,}$

и здесь средняя аномалия представляет собой равномерное угловое движение по окружности радиуса a  . ^[6]

Средняя аномалия может быть рассчитана на основе эксцентриситета и истинной аномалии f , найдя эксцентрическую аномалию и затем используя уравнение Кеплера. Это дает в радианах:

$${\displaystyle M=\operatorname {atan2} \left(-\ {\sqrt {1-e^{2}}}\sin f,-\ e-\cos f\right)+\pi -e{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin f}{1+e\cos f}}}$$

atan2Excel

Для параболических и гиперболических траекторий средняя аномалия не определена, поскольку они не имеют периода. Но в этих случаях, как и в случае эллиптических орбит, площадь, охватываемая хордой между аттрактором и объектом, следующим по траектории, линейно увеличивается со временем. Для гиперболического случая существует формула, аналогичная приведенной выше, дающая прошедшее время как функцию угла (истинная аномалия в эллиптическом случае), как объяснено в статье « Орбита Кеплера» . Для параболического случая существует другая формула: предельный случай для эллиптического или гиперболического случая, когда расстояние между фокусами стремится к бесконечности – см. Параболическая траектория # Уравнение Бейкера .

Средняя аномалия также может быть выражена в виде разложения в ряд : ^[7]

${\displaystyle M=f+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left[{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1-e^{2}}}\right]\beta ^{n}\sin {nf}}$

с ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

$${\displaystyle M=f-2\,e\sin f+\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}\right)\sin 2f-{\frac {1}{3}}e^{3}\sin 3f+{\frac {5}{32}}e^{4}\sin 4f+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{5}\right)}$$

Аналогичная формула дает истинную аномалию непосредственно через среднюю аномалию: ^[8]

$${\displaystyle f=M+\left(2\,e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$$

Общую формулировку приведенного выше уравнения можно записать как уравнение центра : ^[9]

$${\displaystyle f=M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left[J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}{\big (}J_{s-p}(se)+J_{s+p}(se){\big )}\right]\sin(sM)}$$

Смотрите также

• Законы движения планет Кеплера
• Средняя долгота
• Среднее движение
• Орбитальные элементы

Рекомендации

1. Монтенбрюк, Оливер (1989). Практические расчеты эфемерид . Спрингер-Верлаг . п. 44. ИСБН 0-387-50704-3.
2. Меус, Жан (1991). Астрономические алгоритмы . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. п. 182. ИСБН 0-943396-35-2.
3. Смарт, WM (1977). Учебник по сферической астрономии (шестое изд.). Издательство Кембриджского университета, Кембридж. п. 113. ИСБН 0-521-29180-1.
4. Меус (1991), с. 183
5. Смарт (1977), с. 122
6. Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (2-е изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. стр. 53–54. ISBN 1-881883-12-4.
7. Смарт, WM (1953). Небесная механика . Лондон, Великобритания: Longmans, Green, and Co. p. 38.
8. Рой, AE (1988). Орбитальное движение (1-е изд.). Бристоль, Великобритания; Филадельфия, Пенсильвания: А. Хилгер. ISBN 0852743602.
9. Брауэр, Дирк (1961). Методы небесной механики . Эльзевир. стр. например 77.

Внешние ссылки

• Аномалия записи в глоссарии, среднее значение. Архивировано 23 декабря 2017 г. в Wayback Machine в онлайн-альманахе Военно-морской обсерватории США. Архивировано 20 апреля 2015 г. в Wayback Machine.