Стандартный гравитационный параметр

Понятие небесной механики

Стандартный гравитационный параметр μ небесного тела является произведением гравитационной постоянной G и массы M этого тела. Для двух тел параметр может быть выражен как G ( m ₁ + m ₂ ) или как GM , когда одно тело намного больше другого: $${\displaystyle \mu =G(M+m)\approx GM.}$$

Для нескольких объектов Солнечной системы значение μ известно с большей точностью, чем G или M. Единица СИ стандартного гравитационного параметра — м ³ ⋅ с ⁻² . Однако в научной литературе и в навигации космических аппаратов часто используется единица км ³ ⋅ с ^{−2 .}

Определение

Малое тело, вращающееся вокруг центрального тела

Логарифмический график периода T в зависимости от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики обозначают значения Кеплера), показывающий, что a ³/ T ² является постоянным (зеленая линия)

Центральное тело в орбитальной системе можно определить как то, масса которого ( M ) намного больше массы вращающегося по орбите тела ( m ), или M ≫ m . Это приближение является стандартным для планет, вращающихся вокруг Солнца или большинства лун, и значительно упрощает уравнения. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , если расстояние между телами равно r , сила, действующая на меньшее тело, равна: $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}}$$

Таким образом , для предсказания движения меньшего тела необходимо только произведение G и M. Наоборот, измерения орбиты меньшего тела дают информацию только о произведении μ , а не G и M по отдельности. Гравитационную постоянную G трудно измерить с высокой точностью, ^[11] в то время как орбиты, по крайней мере в Солнечной системе, можно измерить с большой точностью и использовать для определения μ с аналогичной точностью.

Для круговой орбиты вокруг центрального тела, где центростремительная сила, создаваемая гравитацией, равна F = mv ² r ⁻¹ : где r — радиус орбиты , v — орбитальная скорость , ω — угловая скорость , а T — орбитальный период . $${\displaystyle \mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}},}$$

Это можно обобщить для эллиптических орбит : где a — большая полуось , что является третьим законом Кеплера ^{[ сломанный якорь ]} . $${\displaystyle \mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},}$$

Для параболических траекторий rv ² постоянна и равна 2 μ . Для эллиптических и гиперболических орбит величина μ = 2, умноженная на величину a , умноженную на величину ε , где a — большая полуось, а ε — удельная орбитальная энергия .

Общий случай

В более общем случае, когда тела не обязательно должны быть большими и малыми, например, в двойной звездной системе, мы определяем:

• вектор r — это положение одного тела относительно другого
• r , v и в случае эллиптической орбиты большая полуось a определяются соответственно (следовательно, r — расстояние)
• μ = Gm ₁ + Gm ₂ = μ ₁ + μ ₂ , где m ₁ и m ₂ — массы двух тел.

Затем:

• для круговых орбит rv ² = r ³ ω ² = 4π ² r ³ / T ² = μ
• для эллиптических орбит , 4π ² a ³ / T ² = μ (где a выражено в а.е.; T в годах и M — полная масса относительно массы Солнца, получаем a ³ / T ² = M )
• для параболических траекторий rv 2 ^{постоянна} и равна 2 μ
• Для эллиптических и гиперболических орбит μ равно удвоенной большой полуоси, умноженной на отрицательное значение удельной орбитальной энергии , где последняя определяется как полная энергия системы, деленная на приведенную массу .

В маятнике

Стандартный гравитационный параметр можно определить с помощью маятника , колеблющегося над поверхностью тела, как: ^[12]

$${\displaystyle \mu \approx {\frac {4\pi ^{2}r^{2}L}{T^{2}}}}$$где r — радиус гравитирующего тела, L — длина маятника, T — период маятника (причину приближения см. Маятник в механике ).

Солнечная система

Геоцентрическая гравитационная постоянная

G M _E , гравитационный параметр Земли как центрального тела, называется геоцентрической гравитационной постоянной . Она равна(3,986 004 418 ± 0,000 000 008 ) × 10 ¹⁴  м ³ ⋅с ⁻² . ^[3]

Значение этой константы стало важным с началом космических полетов в 1950-х годах, и большие усилия были приложены для того, чтобы определить ее как можно точнее в течение 1960-х годов. Сагитов (1969) приводит ряд значений, полученных в результате высокоточных измерений 1960-х годов, с относительной неопределенностью порядка 10−6 ^. [ ^13]

В 1970–1980-х годах увеличение числа искусственных спутников на орбите Земли еще больше облегчило проведение высокоточных измерений, а относительная неопределенность снизилась еще на три порядка, примерно до2 × 10 ⁻⁹ (1 из 500 миллионов) по состоянию на 1992 год. Измерение включает в себя наблюдения за расстояниями от спутника до земных станций в разное время, которые могут быть получены с высокой точностью с помощью радара или лазерной локации. ^[14]

Гелиоцентрическая гравитационная постоянная

G M _☉ , гравитационный параметр для Солнца как центрального тела, называется гелиоцентрической гравитационной постоянной или геопотенциалом Солнца и равен(1,327 124 400 42 ± 0,000 000 0001 ) × 10 ²⁰  м ³ ⋅с ⁻² . ^[15]

Относительная неопределенность в G M _☉ , которая по состоянию на 2015 год составляла менее 10 ⁻¹⁰ , меньше неопределенности в G M _{E ,} поскольку G M _☉ выводится из данных измерений расстояния межпланетными зондами, а абсолютная погрешность измерений расстояния до них примерно такая же, как и у измерений расстояния спутниками Земли, в то время как абсолютные расстояния намного больше. ^{[ необходима ссылка ]}

Смотрите также

• Астрономическая система единиц
• Масса планеты

Ссылки

1. "Астродинамические константы". NASA / JPL . 27 февраля 2009 г. Получено 27 июля 2009 г.
2. Андерсон, Джон Д.; Коломбо, Джузеппе; Эспозито, Паскуале Б.; Лау, Юнис Л.; Трегер, Гейл Б. (сентябрь 1987 г.). «Масса, гравитационное поле и эфемериды Меркурия». Icarus . 71 (3): 337–349. Bibcode :1987Icar...71..337A. doi :10.1016/0019-1035(87)90033-9.
3. "Астрономические константы IAU: текущие наилучшие оценки". iau-a2.gitlab.io . Рабочая группа I отдела IAU по числовым стандартам для фундаментальной астрономии . Получено 25 июня 2021 г. ., цитируя Райса, Дж. К., Инеса, Р. Дж., Шума, К. К. и Уоткинса, М. М., 1992, «Прогресс в определении гравитационного коэффициента Земли», Geophys. Res. Lett., 19(6), стр. 529-531.
4. "Mars Gravity Model 2011 (MGM2011)" (PDF) . Western Australian Geodesy Group. 2015-03-26. Архивировано из оригинала 2013-04-10.
5. Рэймонд, Кэрол; Семенов, Борис (16 октября 2015 г.). Файл ядра SPICE для астероида Церера P_constants (PcK) (Отчет). Версия 0.5.
6. EV Pitjeva (2005). "Высокоточные эфемериды планет — EPM и определение некоторых астрономических констант" (PDF) . Solar System Research . 39 (3): 176–186. Bibcode :2005SoSyR..39..176P. doi :10.1007/s11208-005-0033-2. S2CID  120467483. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-08-22.
7. DT Britt; D. Yeomans; K. Housen; G. Consolmagno (2002). "Плотность, пористость и структура астероидов" (PDF) . В W. Bottke; A. Cellino; P. Paolicchi; RP Binzel (ред.). Астероиды III. University of Arizona Press . стр. 488.
8. RA Jacobson; JK Campbell; AH Taylor; SP Synnott (1992). «Массы Урана и его основных спутников по данным слежения Voyager и данным наземных спутников Урана». Astronomical Journal . 103 (6): 2068–2078. Bibcode : 1992AJ....103.2068J. doi : 10.1086/116211.
9. MW Buie; WM Grundy; EF Young; LA Young; и др. (2006). «Орбиты и фотометрия спутников Плутона: Харон, S/2005 P1 и S/2005 P2». Astronomical Journal . 132 (1): 290–298. arXiv : astro-ph/0512491 . Bibcode : 2006AJ....132..290B. doi : 10.1086/504422. S2CID  119386667.
10. ME Brown; EL Schaller (2007). "Масса карликовой планеты Эрида". Science . 316 (5831): 1586. Bibcode :2007Sci...316.1585B. doi :10.1126/science.1139415. PMID  17569855. S2CID  21468196.
11. Джордж Т. Джиллис (1997), «Ньютоновская гравитационная постоянная: недавние измерения и связанные с ними исследования», Reports on Progress in Physics , 60 (2): 151–225, Bibcode : 1997RPPh...60..151G, doi : 10.1088/0034-4885/60/2/001, S2CID  250810284. Длинный, подробный обзор.
12. Левалле, Филипп; Димино, Тони (2014), Измерение гравитационной постоянной Земли с помощью маятника (PDF) , стр. 1
13. Сагитов, М. У., «Современное состояние определений гравитационной постоянной и массы Земли», Советская астрономия , т. 13 (1970), 712–718, перевод с Астрономического журнала, т. 46, № 4 (июль–август 1969), 907–915.
14. Лерч, Фрэнсис Дж.; Лаубшер, Рой Э.; Клоско, Стивен М.; Смит, Дэвид Э.; Коленкевич, Рональд; Патни, Барбара Х.; Марш, Джеймс Г.; Браунд, Джозеф Э. (декабрь 1978 г.). «Определение геоцентрической гравитационной постоянной с помощью лазерной локации околоземных спутников». Geophysical Research Letters . 5 (12): 1031–1034. Bibcode : 1978GeoRL...5.1031L. doi : 10.1029/GL005i012p01031.
15. Питьева, EV (сентябрь 2015 г.). «Определение значения гелиоцентрической гравитационной постоянной по данным современных наблюдений планет и космических аппаратов». Журнал физических и химических справочных данных . 44 (3): 031210. Bibcode : 2015JPCRD..44c1210P. doi : 10.1063/1.4921980.