Уменьшенная масса

Эффективная инертная масса

В физике приведенная масса является мерой эффективной инертной массы системы с двумя или более частицами , когда частицы взаимодействуют друг с другом. Приведенная масса позволяет решить задачу двух тел так, как если бы это была задача одного тела . Однако следует отметить, что масса, определяющая силу тяготения , не приведена . В вычислении одну массу можно заменить приведенной массой, если это компенсируется заменой другой массы суммой обеих масс. Приведенная масса часто обозначается как ( мю ), хотя стандартный гравитационный параметр также обозначается как (как и ряд других физических величин ). Он имеет размерность массы и единицу СИ кг. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Уменьшение массы особенно полезно в классической механике .

Уравнение

Если даны два тела, одно с массой m ₁ , а другое с массой m ₂ , эквивалентная задача одного тела, в которой положение одного тела относительно другого является неизвестным, является задачей одного тела массой ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mu =m_{1}\parallel m_{2}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$

где сила, действующая на эту массу, определяется силой между двумя телами.

Характеристики

Приведенная масса всегда меньше или равна массе каждого тела:

${\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}}$

и имеет свойство взаимной аддитивности:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}$

что путем перестановки эквивалентно половине среднего гармонического .

В особом случае, когда : ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

${\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}}$

Если , то . ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ ${\displaystyle \mu \approx m_{2}}$

Вывод

Уравнение можно вывести следующим образом.

Ньютоновская механика

Используя второй закон Ньютона , сила, оказываемая телом (частицей 2) на другое тело (частицу 1), равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}$

Сила, действующая со стороны частицы 1 на частицу 2, равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

Согласно третьему закону Ньютона , сила, с которой частица 2 действует на частицу 1, равна и противоположна силе, с которой частица 1 действует на частицу 2:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$

Поэтому:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$

Относительное ускорение a _rel между двумя телами определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$

Обратите внимание, что (поскольку производная является линейным оператором) относительное ускорение равно ускорению разделения между двумя частицами. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

Это упрощает описание системы до одной силы (так как ), одной координаты и одной массы . Таким образом, мы свели нашу задачу к одной степени свободы и можем заключить, что частица 1 движется относительно положения частицы 2 как одна частица с массой, равной приведенной массе, . ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Лагранжева механика

В качестве альтернативы, лагранжево описание задачи двух тел дает лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}$

где - вектор положения массы (частицы ). Потенциальная энергия V является функцией, поскольку она зависит только от абсолютного расстояния между частицами. Если мы определим ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

и пусть центр масс совпадает с нашим началом в этой системе отсчета, т.е.

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$,

затем

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Тогда подстановка выше дает новый лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

где

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

— приведенная масса. Таким образом, мы свели задачу двух тел к задаче одного тела.

Приложения

Уменьшенную массу можно использовать во множестве задач двух тел, где применима классическая механика.

Момент инерции двух точечных масс на линии

Две точечные массы вращаются вокруг центра масс.

В системе с двумя точечными массами , расположенными на одной прямой, два расстояния и до оси вращения можно найти с помощью ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

где — сумма обоих расстояний . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$

Это справедливо для вращения вокруг центра масс. Момент инерции вокруг этой оси может быть упрощен до $${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

Столкновения частиц

При столкновении с коэффициентом восстановления e изменение кинетической энергии можно записать как

${\displaystyle \Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)}$,

где v _rel — относительная скорость тел до столкновения .

Для типичных приложений в ядерной физике, где масса одной частицы намного больше другой, приведенная масса может быть приближена как меньшая масса системы. Предел формулы приведенной массы, когда одна масса стремится к бесконечности, является меньшей массой, поэтому это приближение используется для упрощения вычислений, особенно когда точная масса большей частицы неизвестна.

Движение двух массивных тел под действием их гравитационного притяжения

В случае гравитационной потенциальной энергии

${\displaystyle V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$

мы обнаруживаем, что положение первого тела относительно второго регулируется тем же дифференциальным уравнением, что и положение тела с приведенной массой, вращающегося вокруг тела с массой, равной сумме двух масс, поскольку

${\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu }$

Нерелятивистская квантовая механика

Рассмотрим электрон (масса m _e ) и протон (масса m _p ) в атоме водорода . ^[3] Они вращаются вокруг общего центра масс, задача двух тел. Для анализа движения электрона, задача одного тела, приведенная масса заменяет массу электрона

${\displaystyle m_{\text{e}}\rightarrow {\frac {m_{\text{e}}m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}}$

Эта идея используется для составления уравнения Шредингера для атома водорода.

Смотрите также

• Параллельно (оператор) — общая операция, одним из случаев которой является приведенная масса.
• Центр импульса кадра
• Сохранение импульса
• Гармонический осциллятор
• Масса чирпа , релятивистский эквивалент, используемый в постньютоновском расширении

Ссылки

1. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
2. Динамика и теория относительности, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
3. Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0 

Внешние ссылки

• Уменьшенная масса на HyperPhysics