Гармоническое среднее

Обратное среднее обратных значений набора чисел

В математике гармоническое среднее — это один из нескольких видов средних и, в частности, одно из пифагорейских средних . Иногда это подходит для ситуаций, когда желательна средняя скорость . ^[1]

Среднее гармоническое может быть выражено как обратное среднее арифметическое обратных величин данного набора наблюдений. В качестве простого примера среднее гармоническое значение 1, 4 и 4 равно

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

Определение

Гармоническое среднее H положительных действительных чисел определяется как ^[2] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$

Это величина, обратная среднему арифметическому обратных величин, и наоборот:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\[10mu]A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

где среднее арифметическое определяется как ${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Гармоническое среднее — это вогнутая по Шуру функция, в которой доминирует минимум ее аргументов в том смысле, что для любого положительного набора аргументов . Таким образом, среднее гармоническое нельзя сделать сколь угодно большим , изменив некоторые значения на более крупные (при этом хотя бы одно значение останется неизменным). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

Среднее гармоническое также вогнуто , что является даже более сильным свойством, чем вогнутость Шура. Однако следует позаботиться о том, чтобы использовать только положительные числа, поскольку среднее значение не может быть вогнутым, если используются отрицательные значения. ^{[ нужна цитата ]}

Связь с другими средствами

Геометрическое доказательство без слов , что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) два различных положительных числа a и b ^{[примечание 1]}

Гармоническое среднее — одно из трёх пифагорейских средств . Для всех наборов положительных данных , содержащих хотя бы одну пару неравных значений , среднее гармоническое всегда является наименьшим из трех средних ^[3], тогда как среднее арифметическое всегда является наибольшим из трех, а среднее геометрическое всегда находится между ними. (Если все значения в непустом наборе данных равны, три средних значения всегда равны друг другу; например, все гармонические, геометрические и арифметические средние значения {2, 2, 2} равны 2.)

Это частный случай M ₋₁ среднего степенного значения :

$${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$

Поскольку среднее гармоническое списка чисел сильно стремится к наименьшим элементам списка, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) смягчать влияние больших выбросов и усугублять влияние маленьких.

Среднее арифметическое часто ошибочно используется там, где требуется среднее гармоническое. ^[4] Например, в приведенном ниже примере скорости среднее арифметическое значение 40 неверно и слишком велико.

Среднее гармоническое связано с другими средними Пифагора, как видно из уравнения ниже. В этом можно убедиться, если интерпретировать знаменатель как среднее арифметическое произведения чисел n раз, но каждый раз опуская j -й член. То есть для первого члена мы перемножаем все n чисел, кроме первого; для второго перемножаем все n чисел, кроме второго; и так далее. Числитель, за исключением n , который соответствует среднему арифметическому, представляет собой среднее геометрическое в степени  n . Таким образом, n -е гармоническое среднее связано с n -м геометрическим и арифметическим средним. Общая формула

$${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$

Если набор неидентичных чисел подвергается разбросу с сохранением среднего значения - то есть два или более элементов набора «раздвигаются» друг от друга, оставляя среднее арифметическое неизменным, - тогда среднее гармоническое всегда уменьшается. ^[5]

Гармоническое среднее двух или трех чисел

Два числа

Геометрическая конструкция трех пифагорейских средних двух чисел a и b . Среднее гармоническое обозначается буквой H фиолетовым цветом, среднее арифметическое — A красным, а среднее геометрическое — G синим цветом. Q обозначает четвертое среднее, среднее квадратичное . Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета прямоугольного треугольника , на диаграмме видно, что Q > A > G > H.

Для частного случая всего двух чисел и среднее гармоническое можно записать ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ или ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

В этом особом случае среднее гармоническое связано со средним арифметическим и средним геометрическим соотношением ${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

Поскольку по неравенству средних арифметических и геометрических это показывает для случая n = 2, что H ⩽ G (свойство, которое фактически справедливо для всех n ). Отсюда также следует , что это означает, что среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их арифметических и гармонических средних. ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$ ${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

Три цифры

Для частного случая трех чисел и среднее гармоническое можно записать ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Три положительных числа H , G и A являются соответственно гармоническими, геометрическими и арифметическими средними трех положительных чисел тогда и только тогда, когда ^{[6] : стр.74, № 1834} выполняется следующее неравенство

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

Взвешенное гармоническое среднее

Если набор весов , ..., связан с набором данных , ..., , взвешенное гармоническое среднее определяется как ^[7] ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

Невзвешенное гармоническое среднее можно рассматривать как особый случай, когда все веса равны.

Примеры

По физике

Средняя скорость

Во многих ситуациях, связанных со ставками и соотношениями , среднее гармоническое обеспечивает правильное среднее значение . Например, если транспортное средство проезжает определенное расстояние d со скоростью x (например, 60 км/ч) и возвращается на то же расстояние со скоростью y (например, 20 км/ч), то его средняя скорость является средним гармоническим значением x. и y (30 км/ч), а не среднее арифметическое (40 км/ч). Общее время в пути такое же, как если бы он проехал все расстояние с этой средней скоростью. Это можно доказать следующим образом: ^[8]

Средняя скорость на всем пути =Общий пройденный путь/Сумма времени для каждого сегмента"="2 дня/д/Икс+д/й"="2/1/Икс+1/й

Однако если транспортное средство какое-то время движется со скоростью x , а затем такое же время со скоростью y , то его средняя скорость представляет собой среднее арифметическое x и y , которое в приведенном выше примере составляет 40 км/ч. час

Средняя скорость на всем пути =Общий пройденный путь/Сумма времени для каждого сегмента"="xt+yt/2т"="х+у/2

Тот же принцип применяется к более чем двум сегментам: учитывая серию дополнительных поездок на разных скоростях, если каждая часть поездки проходит одно и то же расстояние , то средняя скорость является гармоническим средним значением всех скоростей части поездки; и если каждая часть поездки занимает одинаковое количество времени , то средняя скорость является средним арифметическим всех скоростей части поездки. (Если это не так, то необходимо взвешенное гармоническое среднее или взвешенное среднее арифметическое . Для среднего арифметического скорость каждого участка поездки взвешивается по продолжительности этого участка, а для среднего гармонического — соответствующий вес — расстояние. В обоих случаях полученная формула сводится к делению общего расстояния на общее время.)

Однако можно избежать использования среднего гармонического значения в случае «взвешивания по расстоянию». Поставьте задачу так: найдите «медленность» поездки, где «медленность» (в часах на километр) обратна скорости. Когда будет найдена медлительность поездки, инвертируйте ее, чтобы найти «истинную» среднюю скорость поездки. Для каждого сегмента поездки i медленность s _i = 1/скорость _i . Затем возьмите взвешенное среднее арифметическое значений s _i , взвешенных по их соответствующим расстояниям (необязательно, с нормализованными весами, чтобы их сумма была равна 1 путем деления их на длину поездки). Это дает истинную среднюю медлительность (по времени на километр). Оказывается, эта процедура, которую можно выполнить без знания среднего гармонического, представляет собой те же математические операции, которые можно было бы использовать при решении этой задачи с использованием среднего гармонического. Таким образом, это иллюстрирует, почему среднее гармоническое работает в этом случае.

Плотность

Аналогичным образом, если кто-то хочет оценить плотность сплава, зная плотности его составляющих элементов и их массовые доли (или, что то же самое, проценты по массе), то прогнозируемая плотность сплава (исключая обычно незначительные изменения объема из-за атомов эффекты упаковки) — это средневзвешенное гармоническое значение отдельных плотностей, взвешенное по массе, а не средневзвешенное арифметическое, как можно было бы поначалу ожидать. Чтобы использовать взвешенное среднее арифметическое, плотности должны быть взвешены по объему. Применение анализа размерностей к проблеме с маркировкой единиц массы по элементам и обеспечением того, чтобы только одинаковые массы элементов сокращались, проясняет это.

Электричество

Если соединить параллельно два электрических резистора , один из которых имеет сопротивление x (например, 60  Ом ), а другой - сопротивление y (например, 40 Ом), то эффект будет таким же, как если бы вы использовали два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равно среднему гармоническому значению x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составляет 24 Ом (половина среднего гармонического значения). Тот же принцип применим к конденсаторам, включенным последовательно, или к катушкам индуктивности, включенным параллельно.

Однако если резисторы соединить последовательно, то среднее сопротивление будет средним арифметическим x и y (50 Ом), при этом общее сопротивление будет равно удвоенной сумме x и y (100 Ом). Этот принцип применим к конденсаторам, включенным параллельно, или к катушкам индуктивности, включенным последовательно.

Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется при подключении более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности при условии, что все они включены параллельно или все последовательно.

«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как среднее гармоническое значение эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений. ^[9]

Оптика

Что касается других оптических уравнений , то уравнение тонкой линзы 1/ж"="1/ты+1/вможно переписать так, чтобы фокусное расстояние f составляло половину среднего гармонического расстояния между объектом u и объектом v от линзы. ^[10]

В финансах

Средневзвешенное гармоническое значение является предпочтительным методом усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цены и прибыли (P/E). Если эти отношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического значения, точкам с высокими показателями присваиваются большие веса, чем точкам с низкими значениями. С другой стороны, взвешенное гармоническое среднее правильно взвешивает каждую точку данных. ^[11] Простое средневзвешенное арифметическое при применении к неценовым нормализованным коэффициентам, таким как P/E, смещено вверх и не может быть численно обосновано, поскольку оно основано на уравненных прибылях; точно так же, как скорость транспортных средств не может быть усреднена для поездки туда и обратно (см. выше). ^[12]

Например, рассмотрим две фирмы: одну с рыночной капитализацией 150 миллиардов долларов и прибылью 5 миллиардов долларов (P/E 30), а другую с рыночной капитализацией 1 миллиард долларов и прибылью 1 миллион долларов (P/E 1000). Рассмотрим индекс , составленный из двух акций, в котором 30% инвестировано в первую и 70% — во вторую. Мы хотим рассчитать соотношение P/E этого индекса.

Использование взвешенного среднего арифметического (неверно):

${\displaystyle P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709}$

Использование взвешенного гармонического среднего (правильно):

${\displaystyle P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46}$

Таким образом, правильный P/E 93,46 этого индекса можно найти только с помощью взвешенного гармонического среднего, тогда как взвешенное среднее арифметическое будет его значительно переоценивать.

В геометрии

В любом треугольнике радиус вписанной окружности составляет одну треть среднего гармонического значения высот .

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC с расстояниями q и t от B и C соответственно, а пересечение PA и BC находится на расстоянии y от точки P, мы имеем, что y является половиной среднего гармонического q и t . ^[13]

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и высотой h от гипотенузы до прямого угла h² составляет половину среднего гармонического значения a² и b² . ^{[14] [15]}

Пусть t и s ( t > s ) — стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда s² равно половине среднего гармонического значения c² и t² .

Пусть трапеция имеет последовательно расположенные вершины A, B, C и D и параллельные стороны AB и CD. Пусть E — пересечение диагоналей , F — на стороне DA, а G — на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG — среднее гармоническое AB и DC. (Это доказывается с помощью подобных треугольников.)

Перекрещенные лестницы. h — половина среднего гармонического значения A и B.

Одним из применений этого результата о трапеции является задача о скрещенных лестницах , где две лестницы лежат напротив через переулок, каждая с ступнями у основания одной боковой стены, при этом одна прислонена к стене на высоте A , а другая прислонена к противоположной стене на высоте A. высота B , как показано. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Тогда h — половина среднего гармонического A и B. Этот результат по-прежнему справедлив, если стены наклонены, но по-прежнему параллельны, а «высоты» A , B и h измеряются как расстояния от пола вдоль линий, параллельных стенам. Это легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площадей.

В эллипсе полуширокая прямая кишка (расстояние от фокуса до эллипса по линии, параллельной малой оси) представляет собой среднее гармоническое максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса.

В других науках

В информатике , особенно в поиске информации и машинном обучении , среднее гармоническое значение точности (истинные положительные результаты на предсказанные положительные результаты) и отзыва (истинные положительные результаты на реальные положительные результаты) часто используется в качестве совокупного показателя производительности для оценки алгоритмов и систем: F -показатель (или F-мера). Это используется при поиске информации, поскольку имеет значение только положительный класс , в то время как количество отрицательных значений, как правило, велико и неизвестно. ^[16] Таким образом, это компромисс относительно того, следует ли измерять правильные положительные прогнозы по отношению к количеству предсказанных положительных результатов или количеству реальных положительных результатов, поэтому они измеряются в сравнении с предполагаемым количеством положительных результатов, которое является средним арифметическим. из двух возможных знаменателей.

Последствия возникают из базовой алгебры в задачах, где люди или системы работают вместе. Например, если газовый насос может осушить бассейн за 4 часа, а насос с батарейным питанием может осушить тот же бассейн за 6 часов, то для этого потребуются оба насоса.6·4/6 + 4, что равно 2,4 часам, чтобы осушить бассейн вместе. Это половина среднего гармонического значения 6 и 4:2·6·4/6 + 4= 4,8 . То есть подходящим средним значением для двух типов насосов является среднее гармоническое, и для одной пары насосов (двух насосов) это занимает половину этого среднего гармонического времени, тогда как для двух пар насосов (четырех насосов) это займет четверть этого гармонического среднего времени.

В гидрологии среднее гармоническое аналогично используется для усреднения значений гидравлической проводимости для потока, перпендикулярного слоям (например, геологическим или почвенным) — поток, параллельный слоям, использует среднее арифметическое. Эта кажущаяся разница в усреднении объясняется тем, что в гидрологии используется проводимость, обратная удельному сопротивлению.

В саберметрике показатель «сила-скорость» бейсболиста представляет собой гармоническое среднее его общего количества хоум-ранов и украденных базовых результатов.

В популяционной генетике среднее гармоническое используется при расчете влияния колебаний численности переписной популяции на эффективную численность популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как узкое место в популяции, увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетических вариаций в популяции. Это результат того, что после возникновения узкого места очень немногие особи вносят вклад в генофонд, ограничивающий генетическую изменчивость, присутствующую в популяции на многие будущие поколения.

При рассмотрении экономии топлива в автомобилях обычно используются два показателя: мили на галлон (миль на галлон) и литры на 100 км. Поскольку размеры этих величин являются обратными друг другу (одна — это расстояние на объем, другая — объем на расстояние), при определении среднего значения экономии топлива для ряда автомобилей одна мера будет давать гармоническое среднее значение другой — т.е. преобразование среднего значения экономии топлива, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон, даст гармоническое среднее значение экономии топлива, выраженное в милях на галлон. Для расчета среднего расхода топлива парка транспортных средств на основе индивидуального расхода топлива следует использовать среднее гармоническое, если парк использует мили на галлон, тогда как среднее арифметическое следует использовать, если парк использует литры на 100 км. В США стандарты CAFE (федеральные стандарты расхода автомобильного топлива) используют среднее гармоническое значение.

В химии и ядерной физике средняя масса на частицу смеси, состоящей из разных видов (например, молекул или изотопов), определяется как среднее гармоническое значение масс отдельных видов, взвешенных по их соответствующей массовой доле.

Бета-дистрибутив

Среднее гармоническое для бета-распределения для 0 < α < 5 и 0 < β < 5

(Среднее – HarmonicMean) для бета-распределения в зависимости от альфа и бета от 0 до 2

Гармонические средние значения для бета-распределения Фиолетовый=H(X), Желтый=H(1-X), меньшие значения альфа и бета впереди

Гармонические средние значения для бета-распределения Фиолетовый=H(X), Желтый=H(1-X), большие значения альфа и бета впереди

Среднее гармоническое бета-распределения с параметрами формы α и β :

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

Гармоническое среднее с α < 1 не определено, поскольку его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Полагая α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

показывая, что для α = β среднее гармоническое колеблется от 0 для α = β = 1 до 1/2 для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы, в которых один параметр конечен (ненулевой), а другой параметр приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

При использовании среднего геометрического среднее гармоническое может быть полезно при оценке максимального правдоподобия в случае с четырьмя параметрами.

Для этого распределения также существует второе гармоническое среднее ( H _{1 − X ).}

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

Это гармоническое среднее с β <1 не определено, поскольку его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Полагая α = β в приведенном выше выражении

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

показывая, что для α = β среднее гармоническое колеблется от 0, для α = β = 1, до 1/2, для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы, в которых один параметр конечен (отличен от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Хотя оба гармонических средних асимметричны, при α = β они равны.

Логнормальное распределение

Гармоническое среднее ( H ) логнормального распределения случайной величины X равно ^[17]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

где µ и σ ² - параметры распределения, т.е. среднее и дисперсия распределения натурального логарифма X .

Гармонические и средние арифметические распределения связаны соотношением

${\displaystyle {\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,}$

где C _v и μ ^* — коэффициент вариации и среднее значение распределения соответственно.

Геометрические ( G ), арифметические и гармонические средние распределения связаны соотношением ^[18]

${\displaystyle H\mu ^{*}=G^{2}.}$

Распределение Парето

Гармоническое среднее распределения Парето типа 1 равно ^[19]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

где k — параметр масштаба, а α — параметр формы.

Статистика

Для случайной выборки среднее гармоническое значение рассчитывается, как указано выше. И среднее значение , и дисперсия могут быть бесконечными (если они включают хотя бы один член формы 1/0).

Выборочные распределения среднего и дисперсии

Среднее значение выборки m асимптотически распределено нормально с дисперсией s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

Дисперсия самого среднего равна ^[20]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

где m — среднее арифметическое обратных величин, x — переменные, n — размер популяции, а E — оператор ожидания.

Дельта-метод

Предполагая, что дисперсия не бесконечна и что центральная предельная теорема применима к выборке, тогда с использованием дельта-метода дисперсия равна

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

где H — среднее гармоническое, m — среднее арифметическое обратных величин.

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ² — это дисперсия обратных величин данных

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

и n — количество точек данных в выборке.

Метод складного ножа

Метод складного ножа для оценки дисперсии возможен, если известно среднее значение. ^[21] Этот метод представляет собой обычный метод «удалить 1», а не версию «удалить m».

Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки ( m )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

где x — выборочные значения.

Затем вычисляется ряд значений w _{i , где}

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

Затем берется среднее значение ( h ) w i _:

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

Дисперсия среднего значения равна

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

Проверка значимости и доверительные интервалы для среднего значения затем могут быть оценены с помощью t-критерия .

Выборка, смещенная по размеру

Предположим, что случайная величина имеет распределение f ( x ). Предположим также, что вероятность выбора переменной пропорциональна ее значению. Это известно как выборка на основе длины или смещения размера.

Пусть μ будет средним значением генеральной совокупности. Тогда функция плотности вероятности f *( x ) популяции, смещенной по размеру, равна

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

Ожидание этого смещенного по длине распределения E ^* ( x ) равно ^[20]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

где σ2 ^– дисперсия.

Ожидание среднего гармонического значения такое же, как и в версии без смещения по длине E( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

Проблема выборки со смещением по длине возникает в ряде областей, включая текстильное производство ^[22], анализ родословной ^[23] и анализ выживаемости ^[24].

Акман и др. разработали тест для обнаружения систематической ошибки в выборках, основанной на длине. ^[25]

Сдвинутые переменные

Если X — положительная случайная величина и q > 0, то для всех ε > 0 ^[26]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

Моменты

Предполагая, что X и E( X ) > 0, тогда ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

Это следует из неравенства Йенсена .

Гурланд показал, что ^[27] для распределения, принимающего только положительные значения, для любого n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

При некоторых условиях ^[28]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

где ~ означает примерно равное.

Выборка свойств

Предполагая, что переменные ( x ) взяты из логарифмически нормального распределения, существует несколько возможных оценок для H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

Из них H _3, вероятно, является лучшим оценщиком для выборок из 25 и более. ^[29]

Оценщики смещения и дисперсии

Приближением первого порядка смещения и дисперсии H ₁ являются ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

где C _v — коэффициент вариации.

Аналогично, аппроксимация первого порядка для смещения и дисперсии H ₃ равна ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

В численных экспериментах H ₃ обычно является лучшим средством оценки среднего гармонического значения, чем H ₁ . ^[30] H ₂ дает оценки, которые во многом аналогичны H ₁ .

Примечания

Агентство по охране окружающей среды рекомендует использовать среднее гармоническое значение при определении максимального уровня токсинов в воде. ^[31]

В геофизических исследованиях коллекторов широко используется среднее гармоническое. ^[32]

Смотрите также

• Математический портал

• Контрагармоническое среднее
• Обобщенное среднее
• Номер гармоники
• Оценить (математика)
• Средневзвешенное значение
• Параллельное суммирование
• Среднее геометрическое
• Средневзвешенное геометрическое
• HM-GM-AM-QM неравенства
• Среднее гармоническое значение p

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники ,ХК/ГК"="ГК/ОК∴ ХК =GC²/ОК= ХМ .

Рекомендации

1. Курс, архивировано 11 июля 2022 г. в Wayback Machine.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Среднее гармоническое». mathworld.wolfram.com . Проверено 31 мая 2023 г.
3. Да-Фэн Ся, Сен-Лин Сюй и Фэн Ци, «Доказательство среднего арифметического, геометрического, среднего гармонического неравенства», Сборник отчетов об исследованиях RGMIA, том. 2, нет. 1, 1999 г., http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf. Архивировано 22 декабря 2015 г. в Wayback Machine.
4. * Статистический анализ , Я-Лунь Чоу, Holt International, 1969, ISBN 0030730953 
5. Митчелл, Дуглас В., «Подробнее о спредах и неарифметических средних», The Mathematical Gazette 88, март 2004 г., 142–144.
6. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 15 октября 2014 г. Проверено 9 сентября 2014 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link).
7. Фергер Ф (1931) Природа и использование среднего гармонического значения. Журнал Американской статистической ассоциации 26 (173) 36-40.
8. «Среднее значение: Как рассчитать среднее значение, формулу, средневзвешенное значение» . LearningPundits.com . Архивировано из оригинала 29 декабря 2017 года . Проверено 8 мая 2018 г.
9. «Эффективная масса в полупроводниках». ecee.colorado.edu . Архивировано из оригинала 20 октября 2017 года . Проверено 8 мая 2018 г.
10. Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Эддисон Уэсли . п. 168. ИСБН 978-0805385663.
11. «Мнения о справедливости: распространенные ошибки и упущения» . Справочник по оценке бизнеса и анализу интеллектуальной собственности . МакГроу Хилл. 2004. ISBN 0-07-142967-0.
12. Агравал, Панкадж; Боргман, Ричард; Кларк, Джон М.; Стронг, Роберт (2010). «Использование гармонического среднего соотношения цены и прибыли для улучшения оценок стоимости фирмы». Журнал финансового образования . 36 (3–4): 98–110. JSTOR  41948650. SSRN  2621087.
13. Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1996). Сложные проблемы геометрии (второе изд.). Дувр. п. 172. ИСБН 0-486-69154-3.
14. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения» , Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
15. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–;317.
16. Ван Рейсберген, CJ (1979). Информационный поиск (2-е изд.). Баттерворт. Архивировано из оригинала 6 апреля 2005 г.
17. Эйчисон Дж., Браун JAC (1969). Логнормальное распределение с особым акцентом на его использование в экономике. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк
18. Россман Л.А. (1990) Проектируйте потоки потоков на основе гармонических средств. J Hydr Eng ASCE 116(7) 946–950
19. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н (1994) Непрерывные одномерные распределения Том 1. Ряды Вили по вероятности и статистике.
20. Зелен М (1972)Выборка со смещением по длине и биомедицинские проблемы. В: Собрание биометрического общества, Даллас, Техас.
21. Лам ФК (1985) Оценка дисперсии гармонического среднего периода полураспада. J Pharm Sci 74 (2) 229-231
22. Кокс Д.Р. (1969) Некоторые проблемы выборки в технологии. В: Новые разработки в области выборки обследований. UL Джонсон, Х. Смит, ред. Нью-Йорк: Wiley Interscience
23. Давыдов О, Зелен М (2001)Референтная выборка, семейный анамнез и относительный риск: роль выборки со смещением по длине. Биостат 2(2): 173-181 doi :10.1093/biostatistics/2.2.173
24. Зелен М., Фейнлейб М. (1969) К теории скрининга хронических заболеваний. Биометрика 56: 601-614.
25. Акман О, Гамед Дж, Джаннот Дж, Джулиано С, Турман А, Уитмен Д (2007) Простой тест для обнаружения выборки со смещением по длине. Дж Биостатс 1 (2) 189-195
26. Chuen-Teck See, Chen J (2008)Выпуклые функции случайных величин. J Неравенство Чистая прикладная математика 9 (3) Статья 80
27. Гурланд Дж (1967) Неравенство, удовлетворяемое ожиданием обратной величины случайной величины. Американский статистик. 21 (2) 24
28. Сунг Ш. (2010) Об обратных моментах для класса неотрицательных случайных величин. J Неравномерное заявление doi : 10.1155/2010/823767
29. Стедингер Дж. Р. (1980) Подбор логнормального распределения к гидрологическим данным. Водные ресурсы Рес. 16(3) 481–490
30. Лимбраннер Дж. Ф., Фогель Р. М., Браун Л. К. (2000) Оценка среднего гармонического значения логнормальной переменной. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 11 июня 2010 г. Проверено 16 сентября 2012 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
31. EPA (1991) Документ технической поддержки для контроля токсичных веществ на основе качества воды. EPA/505/2-90-001. Управление воды
32. Маскат М (1937) Течение однородных жидкостей через пористую среду. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Среднее гармоническое». Математический мир .
• Средние, арифметические и гармонические средние в кратчайшие сроки