Среднеквадратичное значение

Квадратный корень из среднего квадрата

В математике и ее приложениях среднеквадратическое значение набора чисел (сокращенно RMS , RMS или rms и обозначается в формулах как или или ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата ( среднего арифметического квадратов ) из набор. ^[1] Среднеквадратичное среднее значение также известно как среднее квадратичное (обозначается ) ^{[2] [3]} и является частным случаем обобщенного среднего значения . Среднеквадратическое значение непрерывно меняющейся функции (обозначенное ) можно определить как интеграл квадратов мгновенных значений в течение цикла. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {RMS} }}$ ${\displaystyle \mathrm {RMS} _{x}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {RMS} }}$

Для переменного электрического тока среднеквадратичное значение равно значению постоянного постоянного тока , который будет производить такую ​​же рассеиваемую мощность при резистивной нагрузке . ^[1] В теории оценивания среднеквадратичное отклонение оценщика является мерой несовершенства соответствия оценщика данным.

Определение

Среднеквадратичное значение набора значений (или сигнала непрерывного времени ) представляет собой квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрат функции, определяющей непрерывный сигнал. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, рассеивающего такую ​​же мощность на резисторе».

В случае набора из n значений среднеквадратичное значение равно ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)}}.}$

Соответствующая формула для непрерывной функции (или формы сигнала) f ( t ), определенной на интервале : ${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$

${\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},}$

а среднеквадратичное значение функции за все время равно

${\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.}$

Среднеквадратическое значение периодической функции за все время равно среднеквадратическому значению одного периода функции. Среднеквадратическое значение непрерывной функции или сигнала можно аппроксимировать, взяв среднеквадратичное значение выборки, состоящей из равноотстоящих друг от друга наблюдений. Кроме того, среднеквадратичное значение различных сигналов также можно определить без математических вычислений , как показал Картрайт. ^[4]

В случае среднеквадратической статистики случайного процесса вместо среднего значения используется ожидаемое значение .

В обычных формах сигналов

Синусоидальная , прямоугольная , треугольная и пилообразная формы сигналов. В каждом из них центральная линия находится на отметке 0, положительный пик — на точке , отрицательный пик — на точке. ${\displaystyle y=A_{1}}$ ${\displaystyle y=-A_{1}}$

Прямоугольная импульсная волна с коэффициентом заполнения D, соотношение длительности импульса ( ) и периода (T); показано здесь с = 1. ${\displaystyle \tau }$

График зависимости синусоидального напряжения от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах напряжения (PP).

Если форма сигнала представляет собой чистую синусоидальную волну , соотношения между амплитудами (размах амплитуды, пик) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любой непрерывной периодической волны. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоидальной волны с нулевым средним значением соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды равно :

Пик-пик ${\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.}$

Для других форм сигналов взаимосвязи не такие, как для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны:

Пик-пик ${\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.}$

В комбинациях сигналов

Сигналы, полученные путем суммирования известных простых сигналов, имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем суммы квадратов среднеквадратичных значений компонентов, если сигналы компонентов ортогональны ( то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала на другой равно нулю). для всех пар, кроме времени самого сигнала). ^[5]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}}$

Альтернативно, для сигналов, которые полностью положительно коррелируют или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратические значения суммируются напрямую.

Использование

В электротехнике

Напряжение

Особым случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является: ^[6]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}}$

где относится к компоненту постоянного (или среднего) тока сигнала, а — компоненту переменного тока сигнала. ${\displaystyle {\text{V}}_{\text{DC}}}$ ${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}$

Средняя электрическая мощность

Инженерам -электрикам часто необходимо знать мощность P , рассеиваемую электрическим сопротивлением R. Легко выполнить расчет, когда через сопротивление протекает постоянный ток I. Для нагрузки сопротивлением Ом мощность определяется по формуле:

${\displaystyle P=I^{2}R.}$

Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией I ( t ), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенная мощность) меняется со временем. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все равно имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем расчета средней рассеиваемой мощности:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{av}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{av}&&{\text{where }}\left(\cdots \right)_{av}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{av}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}}$

Таким образом, среднеквадратичное значение I _RMS функции I ( t ) представляет собой постоянный ток, который дает ту же рассеиваемую мощность, что и усредненная по времени рассеиваемая мощность тока I ( t ).

Среднюю мощность также можно найти тем же методом , что и в случае изменяющегося во времени напряжения V ( t ) со среднеквадратичным значением V _RMS ,

${\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.}$

Это уравнение можно использовать для любой периодической формы сигнала , например синусоидальной или пилообразной , что позволяет нам рассчитать среднюю мощность, подаваемую на указанную нагрузку.

Если извлечь квадратный корень из обоих этих уравнений и умножить их вместе, получим мощность:

${\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.}$

Оба вывода зависят от пропорциональности напряжения и тока (т. е. нагрузка R является чисто резистивной). Реактивные нагрузки (то есть нагрузки, способные не просто рассеивать энергию, но и хранить ее) обсуждаются в теме мощности переменного тока .

В обычном случае переменного тока , когда I ( t ) является синусоидальным током, что примерно верно для мощности сети, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения непрерывного случая, приведенного выше. Если I _p определяется как пиковый ток, то:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}$

где t — время, а ω — угловая частота ( ω  = 2 π / T , где T — период волны).

Поскольку I _p — положительная константа:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}$

Использование тригонометрического тождества для устранения возведения в квадрат тригонометрической функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}$

но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), синусоидальные члены сокращаются, оставляя:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}$

Подобный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжения:

${\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},}$

где I _P представляет собой пиковый ток, а V _P представляет собой пиковое напряжение.

Из-за своей полезности при расчете мощности указанные напряжения для розеток (например, 120  В в США или 230  В в Европе) почти всегда указываются в среднеквадратичных, а не пиковых значениях. Пиковые значения можно рассчитать по среднеквадратичным значениям по приведенной выше формуле, из которой следует, что V _P  =  V _RMS  ×  √ 2 , предполагая, что источником является чистая синусоидальная волна. Таким образом, пиковое значение сетевого напряжения в США составляет около 120 ×  √ 2 , или около 170 вольт. Пиковое напряжение, вдвое большее, составляет около 340 вольт. Аналогичный расчет показывает, что пиковое сетевое напряжение в Европе составляет около 325 вольт, а размах сетевого напряжения — около 650 вольт.

Среднеквадратические величины, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако в некоторых целях при расчете потерь мощности передачи требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждые 24 часа в сутки, представляет собой средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток составляет 7,07 ампер в долгосрочной перспективе.

Термин среднеквадратичная мощность иногда ошибочно используется (например, в аудиоиндустрии) как синоним средней мощности или средней мощности (она пропорциональна квадрату среднеквадратичного напряжения или среднеквадратичного тока в резистивной нагрузке). Обсуждение измерений мощности звука и их недостатков см. в разделе Мощность звука .

Скорость

В физике молекул газа среднеквадратическая скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратическая скорость идеального газа рассчитывается по следующему уравнению:

${\displaystyle v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}}$

где R представляет собой газовую постоянную , 8,314 Дж/(моль·К), T — температура газа в кельвинах , а M — молярная масса газа в килограммах на моль. В физике скорость определяется как скалярная величина скорости. Для неподвижного газа средняя скорость его молекул может составлять порядка тысяч км/ч, хотя средняя скорость его молекул равна нулю.

Ошибка

При сравнении двух наборов данных — например, одного набора из теоретического прогноза, а другого — из фактического измерения какой-либо физической переменной, среднеквадратичное значение парных разностей двух наборов данных может служить мерой того, насколько далеко в среднем находится ошибка. от 0. Среднее значение абсолютных значений парных разностей может быть полезной мерой изменчивости различий. Однако среднеквадратичное значение разностей обычно является предпочтительной мерой, вероятно, из-за математической условности и совместимости с другими формулами.

В частотной области

Среднеквадратичное значение можно вычислить в частотной области, используя теорему Парсеваля . Для дискретизированного сигнала , где – период дискретизации, ${\displaystyle x[n]=x(t=nT)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},}$

где и N — размер выборки, то есть количество наблюдений в выборке и коэффициенты БПФ. ${\displaystyle X[m]=\operatorname {FFT} \{x[n]\}}$

В этом случае среднеквадратичное значение, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:

${\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}$

Связь с другой статистикой

Геометрическое доказательство без слов , что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) два различных положительных числа a и b ^{[примечание 1]}

Если – среднее арифметическое и – стандартное отклонение совокупности или формы сигнала , то: [ ^7] ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$

${\displaystyle x_{\text{rms}}^{2}={\overline {x}}^{2}+\sigma _{x}^{2}={\overline {x^{2}}}.}$

Отсюда ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает в себя «ошибку»/квадратичное отклонение.

Учёные-физики часто используют термин « среднеквадратичное отклонение» как синоним стандартного отклонения , когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднеквадратического отклонения сигнала от заданной базовой линии или подгонки. ^{[8] [9]} Это полезно для инженеров-электриков при расчете среднеквадратического значения сигнала «только переменный ток». Стандартное отклонение, представляющее собой среднеквадратичное отклонение сигнала относительно среднего значения, а не около 0, компонент постоянного тока удаляется (т. е. среднеквадратичное отклонение (сигнал) = стандартное отклонение (сигнал), если среднее значение сигнала равно 0).

Смотрите также

• Сложение в квадратуре
• Среднее исправленное значение (ARV)
• Центральный момент
• Среднее геометрическое
• L2 норма
• Наименьших квадратов
• Список математических символов
• Среднеквадратичное смещение
• Конвертер реальных среднеквадратичных значений

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники ,ХК/ГК"="ГК/ОК∴ ХК =GC²/ОК= ХМ .

Рекомендации

1. «Среднеквадратическое значение». Физический словарь (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 2009. ISBN 9780199233991.
2. Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще. Международное высшее образование Макмиллана. п. 185. ИСБН 9781349004874. Проверено 5 июля 2020 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
3. Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи. Рутледж. п. 48. ИСБН 9781351661386. Проверено 5 июля 2020 г.
4. Картрайт, Кеннет V (осень 2007 г.). «Определение эффективного или среднеквадратического напряжения различных сигналов без вычислений» (PDF) . Технологический интерфейс . 8 (1): 20 страниц.
5. Настасе, Адриан С. «Как определить среднеквадратичное значение импульсных и прямоугольных сигналов». MasteringElectronicsDesign.com . Проверено 21 января 2015 г.
6. «Улучшайте измерения среднеквадратичных значений переменного тока с помощью цифрового мультиметра» (PDF) . Ключевой взгляд . Архивировано из оригинала (PDF) 15 января 2019 года . Проверено 15 января 2019 г.
7. Крис К. Бисселл; Дэвид А. Чепмен (1992). Передача цифрового сигнала (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 64. ИСБН 978-0-521-42557-5.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Среднеквадратичный». Математический мир .
9. "ROOT, TH1: GetRMS" . Архивировано из оригинала 30 июня 2017 г. Проверено 18 июля 2013 г.

Внешние ссылки

• Объяснение того, почему RMS является неправильным термином применительно к мощности звука.
• Java-апплет для изучения RMS