Синусоидальная волна

Волна в форме синуса

Отслеживание компонента y круга при обходе круга приводит к появлению синусоидальной волны (красного цвета). Отслеживание компонента x приводит к появлению косинусоидальной волны (синего цвета). Обе волны представляют собой синусоиды одинаковой частоты, но разных фаз.

Синусоидальная волна , синусоидальная волна или синусоида (символ: ∿ ) — это периодическая волна , форма волны которой (форма) представляет собой тригонометрическую синусоидальную функцию . В механике , как линейное движение во времени, это простое гармоническое движение ; как и вращение , оно соответствует равномерному круговому движению . Синусоидальные волны часто встречаются в физике , включая ветровые волны , звуковые волны и световые волны, такие как монохроматическое излучение . В инженерии , обработке сигналов и математике анализ Фурье разлагает общие функции на сумму синусоидальных волн различных частот, относительных фаз и величин.

Когда любые две синусоидальные волны одинаковой частоты (но произвольной фазы ) линейно объединяются , в результате получается еще одна синусоидальная волна той же частоты; это свойство уникально среди периодических волн. И наоборот, если какая-то фаза выбрана в качестве нулевой опорной точки, синусоидальную волну произвольной фазы можно записать как линейную комбинацию двух синусоидальных волн с фазами нуля и четверти цикла, составляющих синуса и косинуса соответственно.

Аудио пример

Синусоидальная волна

Пять секунд синусоидальной волны частотой 220 Гц. Это звуковая волна , описываемая синусоидальной функцией с f = 220 колебаний в секунду.

---

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. справку для СМИ .

Синусоидальная волна представляет собой одну частоту без гармоник и считается акустически чистым тоном . Добавление синусоидальных волн разных частот приводит к получению другой формы сигнала. Наличие высших гармоник помимо основных вызывает изменение тембра , из-за чего одна и та же музыкальная высота, исполняемая на разных инструментах, звучит по-разному.

Синусоидальная форма

Синусоидальные волны произвольной фазы и амплитуды называются синусоидами и имеют общий вид: ^[1]

$${\displaystyle y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )}$$

• ${\displaystyle A}$, амплитуда , максимальное отклонение функции от нуля.
• ${\displaystyle t}$, реальная независимая переменная , обычно представляющая время в секундах .
• ${\displaystyle \omega }$, угловая частота , скорость изменения аргумента функции в единицах радиан в секунду .
• ${\displaystyle f}$, обычная частота , количество колебаний ( циклов ), которые происходят каждую секунду времени.
• ${\displaystyle \varphi }$, фаза , указывает (в радианах ), где в своем цикле колебание находится в момент t = 0.
  • Если значение не равно нулю, вся форма сигнала выглядит сдвинутой назад во времени на количество секунд. Отрицательное значение представляет собой задержку, а положительное значение представляет собой продвижение. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{\omega }}}$
  • Добавление или вычитание (один цикл) фазы приводит к эквивалентной волне. ${\displaystyle 2\pi }$

В зависимости от положения и времени

Смещение незатухающей системы пружин-масс , колеблющейся вокруг положения равновесия с течением времени, представляет собой синусоидальную волну.

Синусоиды, существующие как в положении, так и во времени, также имеют:

• пространственная переменная , которая представляет положение в измерении, по которому распространяется волна. ${\displaystyle x}$
• волновое число (или угловое волновое число) , которое представляет собой пропорциональность между угловой частотой и линейной скоростью ( скоростью распространения ) : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$
  • Волновое число связано с угловой частотой соотношением где ( лямбда ) — длина волны . ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$

В зависимости от направления движения они могут иметь вид:

• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )}$, если волна движется вправо, или
• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )}$, если волна движется влево.

Поскольку синусоидальные волны распространяются без изменения формы в распределенных линейных системах , ^{[ необходимо определение ]} они часто используются для анализа распространения волн .

Стоячие волны

Когда две волны с одинаковой амплитудой и частотой , движущиеся в противоположных направлениях , накладываются друг на друга, создается картина стоячей волны .

На натянутой струне накладывающиеся волны представляют собой волны, отраженные от фиксированных концов струны. Резонансные частоты струны — это единственные возможные стоячие волны струны, которые возникают только для длин волн, которые в два раза превышают длину струны (что соответствует основной частоте ) и ее целочисленному делению (что соответствует высшим гармоникам).

Несколько пространственных измерений

Предыдущее уравнение дает смещение волны в определенный момент времени вдоль одной линии. Это можно было бы, например, считать величиной волны вдоль провода. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну , если положение и волновое число интерпретируются как векторы, а их произведение — как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота волны воды в пруду после падения камня, необходимы более сложные уравнения. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$

Синусоидальная плоская волна

В физике синусоидальная плоская волна — это частный случай плоской волны : поле , значение которого меняется как синусоидальная функция времени и расстояния от некоторой фиксированной плоскости. Ее также называют монохроматической плоской волной с постоянной частотой (как в монохроматическом излучении ).

Фурье-анализ

Французский математик Жозеф Фурье обнаружил, что синусоидальные волны можно суммировать как простые строительные блоки, чтобы аппроксимировать любую периодическую форму волны, включая прямоугольные волны . Эти ряды Фурье часто используются при обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов . Затем преобразование Фурье расширило ряд Фурье для обработки общих функций и положило начало области анализа Фурье .

Дифференциация и интеграция

Дифференциация

Дифференцирование любой синусоиды приведет к сдвигу фазы синусоиды назад на радианы (или цикл) и умножит ее амплитуду на ее частоту: ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}}$

Дифференцирование фактически представляет собой фильтр верхних частот 1 ^-го порядка без частоты среза .

Интеграция

Интегрирование любой синусоиды сдвинет фазу синусоиды вперед на радианы (или цикл) и разделит ее амплитуду на частоту: ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}}$

Интегрирование фактически представляет собой фильтр нижних частот 1 ^-го порядка без частоты среза . Константа интегрирования будет равна нулю, если интервал интегрирования является целым кратным периоду синусоиды. ${\displaystyle C}$

Смотрите также

• Крест (физика)
• Комплексная экспонента
• Затухающая синусоидальная волна
• Формула Эйлера
• преобразование Фурье
• Гармонический анализ
• Гармонический ряд (математика)
• Гармонический сериал (музыка)
• Уравнение Гельмгольца
• Мгновенная фаза
• Синфазные и квадратурные составляющие
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• осциллограф
• Фазор
• Чистый тон
• Простые гармонические колебания
• Синусоидальная модель
• Волна (физика)
• Волновое уравнение
• ∿ символ синусоидальной волны (U+223F)

Рекомендации

1. Смит, Юлиус Орион. «Синусоиды». ccrma.stanford.edu . Проверено 5 января 2024 г.

Внешние ссылки

• "Синусоидальная волна". Математические загадки . 17.11.2021 . Проверено 30 сентября 2022 г.