Среднее арифметическое

Сумма набора чисел, деленная на количество чисел в коллекции.

В математике и статистике среднее арифметическое ( / ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k ˈ m iː n / arr -ith- MET -ik ), среднее арифметическое или просто среднее или среднее (когда контекст понятен). ) — это сумма набора чисел, деленная на количество чисел в коллекции. ^[1] Коллекция часто представляет собой набор результатов эксперимента , наблюдательного исследования или опроса . Термин «среднее арифметическое» предпочтительнее в некоторых контекстах математики и статистики, поскольку он помогает отличить его от других типов средних, таких как геометрические и гармонические .

Помимо математики и статистики, среднее арифметическое часто используется в экономике , антропологии , истории и почти во всех научных областях в той или иной степени. Например, доход на душу населения — это средний арифметический доход населения страны.

Хотя среднее арифметическое часто используется для определения центральных тенденций , оно не является надежным статистическим показателем : на него сильно влияют выбросы (значения, намного большие или меньшие, чем у большинства других). Для асимметричного распределения , такого как распределение дохода , при котором доходы некоторых людей существенно выше, чем у большинства людей, среднее арифметическое может не совпадать с понятием «среднего». В этом случае надежная статистика, такая как медиана , может обеспечить лучшее описание центральной тенденции.

Определение

Среднее арифметическое набора наблюдаемых данных равно сумме числовых значений каждого наблюдения, деленной на общее количество наблюдений. Символически для набора данных, состоящего из значений , среднее арифметическое определяется по формуле: ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$^[2]

(Пояснения к оператору суммирования см. в разделе суммирование .)

Например, если месячная заработная плата сотрудников равна , то среднее арифметическое равно: ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}}$

${\displaystyle {\frac {2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}}=2530}$

Если набор данных представляет собой статистическую совокупность (т. е. состоит из всех возможных наблюдений, а не только их подмножества), то среднее значение этой совокупности называется средним значением совокупности и обозначается греческой буквой . Если набор данных представляет собой статистическую выборку (подмножество генеральной совокупности), он называется средним значением выборки (которое для набора данных обозначается как ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$

Среднее арифметическое можно аналогичным образом определить для векторов в нескольких измерениях, а не только для скалярных значений; это часто называют центроидом . В более общем смысле, поскольку среднее арифметическое представляет собой выпуклую комбинацию (то есть сумма ее коэффициентов равна ), его можно определить в выпуклом пространстве , а не только в векторном пространстве. ${\displaystyle 1}$

Мотивирующие свойства

Среднее арифметическое имеет несколько свойств, которые делают его интересным, особенно как меру центральной тенденции. К ним относятся:

• Если числа имеют среднее значение , то . Поскольку это расстояние от данного числа до среднего значения, один из способов интерпретировать это свойство — сказать, что числа слева от среднего значения уравновешиваются числами справа. Среднее значение — единственное число, для которого сумма остатков (отклонений от оценки) равна нулю. Это также можно интерпретировать как утверждение, что среднее значение является трансляционно -инвариантным в том смысле, что для любого действительного числа . ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0}$ ${\displaystyle x_{i}-{\bar {x}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {x+a}}={\bar {x}}+a}$
• Если требуется использовать одно число в качестве «типичного» значения для набора известных чисел , то среднее арифметическое чисел делает это лучше всего, поскольку оно минимизирует сумму квадратов отклонений от типичного значения: сумму . Выборочное среднее также является лучшим одиночным предиктором, поскольку оно имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку . ^[3] Если требуется среднее арифметическое совокупности чисел, то его несмещенная оценка представляет собой среднее арифметическое выборки, взятой из совокупности. ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ ${\displaystyle (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$

• Среднее арифметическое не зависит от масштаба единиц измерения в том смысле, что , например, вычисление среднего значения в литрах, а затем преобразование в галлоны - это то же самое, что сначала преобразование в галлоны, а затем вычисление среднего значения. Это также называется однородностью первого порядка . ${\displaystyle {\text{avg}}(ca_{1},\cdots ,ca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdots ,a_{n}).}$

Дополнительные свойства

• Среднее арифметическое выборки всегда находится между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке.
• Среднее арифметическое любого количества групп чисел одинакового размера вместе взятых является средним арифметическим средних арифметических каждой группы.

Контраст с медианой

Среднее арифметическое можно противопоставить медиане . Медиана определяется так, чтобы не более половины значений были больше и не более половины меньше ее. Если элементы данных увеличиваются арифметически при размещении в некотором порядке, то медиана и среднее арифметическое равны. Например, рассмотрим образец данных . Среднее значение равно , как и медиана. Однако, когда мы рассматриваем выборку, которую нельзя организовать для арифметического увеличения, например , медиана и среднее арифметическое могут значительно отличаться. В этом случае среднее арифметическое равно , а медиана равна . Среднее значение может значительно отличаться от большинства значений в выборке и может быть больше или меньше большинства значений. ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2.5}$ ${\displaystyle \{1,2,4,8,16\}}$ ${\displaystyle 6.2}$ ${\displaystyle 4}$

Это явление находит применение во многих областях. Например, с 1980-х годов средний доход в США рос медленнее, чем среднее арифметическое дохода. ^[4]

Обобщения

Средневзвешенное

Средневзвешенное значение или средневзвешенное значение — это среднее значение, в котором некоторые точки данных имеют большее значение, чем другие, поскольку им придается больший вес при расчете. ^[5] Например, среднее арифметическое и равно , или, что то же самое , . Напротив, средневзвешенное значение, при котором первое число получает, например, в два раза больший вес, чем второе (возможно, потому, что предполагается, что оно встречается в два раза чаще в общей совокупности, из которой были выбраны эти числа), будет рассчитываться как . Здесь веса, сумма которых обязательно равна единице, равны и , причем первый в два раза больше второго. Среднее арифметическое (иногда называемое «невзвешенным средним» или «равновзвешенным средним») можно интерпретировать как частный случай взвешенного среднего, в котором все веса равны одному и тому же числу ( в приведенном выше примере и в ситуации с числами усредняется). ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {\frac {3+5}{2}}=4}$ ${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}+5{\frac {1}{2}}=4}$ ${\displaystyle 3{\frac {2}{3}}+5{\frac {1}{3}}={\frac {11}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n}$

Непрерывные распределения вероятностей

Сравнение двух логнормальных распределений с одинаковой медианой, но разной асимметрией , что приводит к различным средним значениям и режимам.

Если числовое свойство и любая выборка данных из него могут принимать любое значение из непрерывного диапазона, а не, например, только целые числа, то вероятность попадания числа в некоторый диапазон возможных значений можно описать путем интегрирования непрерывное распределение вероятностей в этом диапазоне, даже если наивная вероятность того, что число выборок выберет одно определенное значение из бесконечного множества, равна нулю. В этом контексте аналог средневзвешенного значения, в котором существует бесконечно много возможностей для точного значения переменной в каждом диапазоне, называется средним значением распределения вероятностей . Наиболее широко встречающееся распределение вероятностей называется нормальным распределением ; он обладает тем свойством, что все меры его центральной тенденции, включая не только среднее значение, но и упомянутую выше медиану и моду (три Ms ^[6] ), равны. Это равенство не выполняется для других распределений вероятностей, как показано здесь для логарифмически нормального распределения.

Углы

Особая осторожность необходима при использовании циклических данных, таких как фазы или углы . Взяв среднее арифметическое 1° и 359°, получим результат 180 ° . Это неверно по двум причинам:

• Во-первых, измерения углов определяются только до аддитивной константы 360° ( или , если измерения производятся в радианах ). Таким образом, их можно было бы легко назвать 1° и -1° или 361° и 719°, поскольку каждый из них дает разное среднее значение. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \tau }$
• Во-вторых, в этой ситуации 0° (или 360°) является геометрически лучшим средним значением: вокруг него дисперсия меньше (точки находятся как на 1° от него, так и на 179° от 180°, предполагаемого среднего).

В общем случае такая оплошность приведет к искусственному смещению среднего значения в сторону середины числового диапазона. Решение этой проблемы состоит в том, чтобы использовать формулировку оптимизации (то есть определить среднее значение как центральную точку: точку, относительно которой имеется наименьшая дисперсия) и переопределить разницу как модульное расстояние (т. е. расстояние по окружности: поэтому модульное расстояние между 1° и 359° составляет 2°, а не 358°).

Доказательство без слов неравенства средних арифметических и геометрических : - диаметр круга с центром в ; его радиус — среднее арифметическое значений и . Используя теорему о среднем геометрическом , высота треугольника является средним геометрическим . Для любого соотношения .
${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle AO}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle PGR}$ ${\displaystyle GQ}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle AO\geq GQ}$

Символы и кодировка

Среднее арифметическое часто обозначается чертой ( винкулум или макрон ), как в . ^[3] ${\displaystyle {\bar {x}}}$

Некоторые программы ( текстовые процессоры , веб-браузеры ) могут неправильно отображать символ «x». Например, HTML -символ «x̄» объединяет два кода — базовую букву «x» плюс код строки выше (̄ или ¯). ^[7]

В некоторых форматах документов (например, PDF ) символ может быть заменен символом «¢» ( цент ) при копировании в текстовый процессор, например Microsoft Word .

Смотрите также

Геометрическое доказательство без слов , что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) два различных положительных числа a и b ^{[примечание 1]}

• Фреше означает
• Обобщенное среднее
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Выборочное среднее и ковариация
• Среднеквадратичное отклонение
• Стандартная ошибка среднего
• Сводные статистические данные

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники ,ХК/ГК"="ГК/ОК∴ ХК =GC²/ОК= ХМ .

Рекомендации

1. Джейкобс, Гарольд Р. (1994). Математика: человеческие усилия (Третье изд.). У. Х. Фриман . п. 547. ИСБН 0-7167-2426-Х.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Среднее арифметическое». mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
3. Медхи, Джйотипрасад (1992). Статистические методы: вводный текст. Нью Эйдж Интернэшнл. стр. 53–58. ISBN 9788122404197.
4. Кругман, Пол (4 июня 2014 г.) [осень 1992 г.]. «Богатые, правые и факты: деконструкция дебатов о распределении доходов». Американский проспект .
5. «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
6. Thinkmap Visual Thesaurus (30 июня 2010 г.). «Три М статистики: мода, медиана, среднее значение на 30 июня 2010 г.». www.visualthesaurus.com . Проверено 3 декабря 2018 г.
7. «Примечания к Unicode для символов статистики» . www.personal.psu.edu . Архивировано из оригинала 31 марта 2022 года . Проверено 14 октября 2018 г.

дальнейшее чтение

• Хафф, Даррелл (1993). Как лгать со статистикой . WW Нортон. ISBN 978-0-393-31072-6.

Внешние ссылки

• Вычисления и сравнения среднего арифметического и среднего геометрического двух чисел
• Вычислить среднее арифметическое ряда чисел на fxSolver