Обобщенное среднее

Корень N-й степени из среднего арифметического данных чисел, возведенного в степень n

График нескольких обобщенных средних . ${\displaystyle M_{p}(1,x)}$

В математике обобщенные средние (или степенное среднее или среднее Гёльдера от Отто Гёльдера ) [ ^1] представляют собой семейство функций для агрегирования наборов чисел. К ним относятся в качестве особых случаев средства Пифагора ( арифметические , геометрические и гармонические средства ).

Определение

Если p — ненулевое действительное число и являются положительными действительными числами, то обобщенное среднее или степенное среднее с показателем p этих положительных действительных чисел равно ^{[2] [3]} ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.}$$

(См. р -норма ). Для p = 0 мы полагаем его равным среднему геометрическому (которое является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как доказано ниже):

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$$

Кроме того, для последовательности положительных весов wi _мы определяем взвешенное степенное среднее как ^[2]

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}}$$

p = 0геометрическому

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}$$

Невзвешенные средние соответствуют установке всех w _i = 1/n .

Особые случаи

Несколько конкретных значений p дают особые случаи со своими именами: ^[4]

минимум

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

Наглядное изображение некоторых из указанных случаев для n = 2 с a = x ₁ = M _∞ и b = x ₂ = M _−∞ :

  среднее гармоническое, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  среднее геометрическое, G знак равно M ₀ ( а , б )

  среднее арифметическое, A знак равно M ₁ ( а , б )

  среднее квадратичное, Q знак равно M ₂ ( а , б )

гармоническое среднее

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

среднее геометрическое ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$

среднее арифметическое

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

среднеквадратический корень
или среднее квадратичное ^{[5] [6]}

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$

среднее кубическое

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$

максимум

${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

Доказательство (среднего геометрического) ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

Для целей доказательства без ограничения общности будем считать, что

$${\displaystyle w_{i}\in [0,1]}$$

и

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.}$$

Мы можем переписать определение использования показательной функции как ${\displaystyle M_{p}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$$

В пределе p → 0 мы можем применить правило Лопиталя к аргументу показательной функции. Мы предполагаем, что p ∈ ℝ, но p ≠ 0, и что сумма w _i равна 1 (без ограничения общности); ^[7] Дифференцируя числитель и знаменатель по p , имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}$$

Благодаря непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить обратно в приведенное выше соотношение и получить

$${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

по желанию. ^[2]

Доказательство и ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Предположим (возможно, после изменения обозначения и объединения терминов), что . Затем ${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}}$$

Формула для следует из ${\displaystyle M_{-\infty }}$

$${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.}$$

Характеристики

Пусть – последовательность положительных действительных чисел, тогда имеют место следующие свойства: ^[1] ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Каждое обобщенное среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим из значений x .
2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$, где – оператор перестановки. ${\displaystyle P}$
   Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего не меняет его значения.
3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Как и большинство средств , обобщенное среднее является однородной функцией своих аргументов x ₁ , ..., x _n . То есть, если b - положительное действительное число, то обобщенное среднее чисел с показателем p равно b , умноженному на обобщенное среднее чисел x ₁ , ..., x _n . ${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$
4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}$.
   Как и в случае с квазиарифметическими средними , вычисление среднего значения можно разделить на вычисления подблоков одинакового размера. Это позволяет использовать алгоритм «разделяй и властвуй» для расчета средних, когда это желательно.

Обобщенное среднее неравенство

Геометрическое доказательство без слов , что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) два различных положительных числа a и b ^{[примечание 1]}

В общем случае, если p  <  q , то

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

x ₁  =  x ₂  = ... =  x _n

Неравенство справедливо для действительных значений p и q , а также положительных и отрицательных значений бесконечности.

Это следует из того, что для всех вещественных p

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$$

неравенства Йенсена

В частности, для p в {−1, 0, 1} обобщенное неравенство среднего влечет за собой неравенство Пифагора средних , а также неравенство средних арифметических и геометрических .

Доказательство весового неравенства

Мы докажем взвешенное степенное среднее неравенство. Для целей доказательства без ограничения общности примем следующее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$$

Доказательство для невзвешенных степенных средних можно легко получить, подставив w _i = 1/ n .

Эквивалентность неравенств между средними противоположных знаков

Предположим, что имеет место среднее между степенными средними показателями p и q :

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}}$$

Возведем обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах):

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}}$$

Мы получаем неравенство для средних с показателями − p и − q и можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, доказывая таким образом эквивалентность неравенств, что будет использоваться в некоторых последующих доказательствах.

Среднее геометрическое

Для любого q > 0 и неотрицательных весов, сумма которых равна 1, справедливо следующее неравенство:

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.}$$

Доказательство следует из неравенства Йенсена с использованием того факта, что логарифм вогнут:

$${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Применяя показательную функцию к обеим частям и наблюдая, что она как строго возрастающая функция сохраняет знак неравенства, получаем

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Взяв q -ю степень x _i , получим

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, с неравенством с положительным q мы покончили ; случай для негативов идентичен, но для знаков, поменянных местами на последнем шаге:

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.}$$

Конечно, возведение каждой части в степень отрицательного числа -1/ q меняет направление неравенства.

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.}$$

Неравенство между любыми двумя степенями означает

Нам предстоит доказать, что для любого p < q выполнено неравенство:

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

pq

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

Доказательство для положительных p и q выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: f  : R ₊ → R ₊ . f — степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная: ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$

$${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$$

fq > pчто f

Используя это и неравенство Дженсена, получаем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}$$

1/ q1/ q

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q , заменив их на −q и −p соответственно.

Обобщенное f -среднее

Среднее значение мощности можно далее обобщить до обобщенного f -среднего :

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$$

Это охватывает среднее геометрическое без использования предела с f ( x ) = log( x ) . Среднее значение мощности получается для f ( x ) = x ^p . Свойства этих средств изучены в работе де Карвальо (2016). ^[3]

Приложения

Обработка сигнала

Среднее значение мощности представляет собой нелинейное скользящее среднее , которое смещается в сторону малых значений сигнала для малого p и подчеркивает большие значения сигнала для большого p . Учитывая эффективную реализацию скользящего среднего арифметического, называемого smooth, можно реализовать скользящее среднее значение мощности в соответствии со следующим кодом Haskell .

powerSmooth :: Плавающий a => ([ a ] ​​-> [ a ]) -> a -> [ a ] ​​-> [ a ] ​​powerSmooth Smooth p = карта ( ** рецепт p ) . гладкий . карта ( ** р )                         

• При больших p он может служить детектором огибающей выпрямленного сигнала .
• При малых p он может служить детектором базовой линии масс-спектра .

Смотрите также

• Среднее арифметико-геометрическое
• Средний
• Героново среднее
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Среднее Лемера - также среднее значение, связанное со степенями.
• Расстояние Минковского
• Среднее квазиарифметическое - другое название упомянутого выше обобщенного f-среднего.
• Среднеквадратичное значение

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники ,ХК/ГК"="ГК/ОК∴ ХК =GC²/ОК= ХМ .

Рекомендации

1. Сикора, Станислав (2009). «Математические средства и средние: основные свойства». Библиотека Стэна . Библиотека Стэна: Кастано Примо, Италия. 3 (Том III). doi : 10.3247/SL3Math09.001.
2. PS Bullen: Справочник по средним средствам и их неравенству . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, стр. 175–177.
3. де Карвалью, Мигель (2016). «Имеешь в виду, что ты имеешь в виду?». Американский статистик . 70 (3): 764–776. дои : 10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
4. Вайсштейн, Эрик В. «Средство силы». Математический мир .(получено 17 августа 2019 г.)
5. Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще. Международное высшее образование Макмиллана. п. 185. ИСБН 9781349004874. Проверено 5 июля 2020 г.
6. Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи. Рутледж. п. 48. ИСБН 9781351661386. Проверено 5 июля 2020 г.
7. Справочник средних и их неравенств (Математика и ее приложения) .

дальнейшее чтение

• Буллен, PS (2003). «Глава III - Средства власти». Справочник по средним средствам и их неравенству . Дордрехт, Нидерланды: Клувер. стр. 175–265.

Внешние ссылки

• Среднее степенное значение в MathWorld
• Примеры обобщенного среднего
• Доказательство обобщенного среднего значения на PlanetMath