В математическом анализе максимум и минимум [a] функции — это соответственно наибольшее и наименьшее значение , принимаемое функцией. Известные в общем как экстремумы , [b] они могут быть определены либо в заданном диапазоне ( локальные или относительные экстремумы), либо во всей области ( глобальные или абсолютные экстремумы) функции. [1] [2] [3] Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций.
Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.
В статистике соответствующим понятием является выборочный максимум и минимум .
Действительная функция f , определенная в области X, имеет глобальную (или абсолютную ) точку максимума.в точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X. Аналогично, функция имеет глобальную (или абсолютную ) точку минимума.в точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X. Значение функции в точке максимума называетсямаксимальное значение функции обозначается, а значение функции в точке минимума называетсяминимальное значение функции. Символически это можно записать так:
Определение точки глобального минимума также происходит аналогичным образом.
Если область X является метрическим пространством , то говорят, что f имеет локальную (или относительную ) точку максимума.в точке x ∗ , если существует такое ε > 0, что f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗ . Аналогично функция имеет точку локального минимумав точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗ . Аналогичное определение можно использовать, когда X является топологическим пространством , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:
Определение точки локального минимума также может быть произведено аналогичным образом.
И в глобальном, и в локальном случаях концепцияможно определить строгий экстремум . Например,x∗— этострогая глобальная точка максимума, если для всехxвX, где x ≠ x ∗ , мы имеем f ( x ∗ ) > f ( x ), иx∗являетсяточка строгого локального максимума , если существует некоторое ε > 0такое, что для всехxвXна расстоянииεотx∗,где x ≠ x ∗ , мы имеем f ( x ∗ ) > f ( x ). Обратите внимание, что точка является строгой глобальной точкой максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной глобальной точкой максимума, и аналогично для точек минимума.
Непрерывная действительная функция с компактной областью определения всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функция, областью определения которой является замкнутый и ограниченный интервал действительных чисел (см. график выше).
Нахождение глобальных максимумов и минимумов является целью математической оптимизации . Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то по теореме об крайних значениях существуют глобальные максимумы и минимумы. Более того, глобальный максимум (или минимум) либо должен быть локальным максимумом (или минимумом) внутри области, либо должен лежать на границе области. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы просмотреть все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть максимумы (или минимумы) точек на границе и взять наибольший ( или самый маленький) один.
Для дифференцируемых функций теорема Ферма утверждает , что локальные экстремумы внутри области должны возникать в критических точках (или точках, где производная равна нулю). [4] Однако не все критические точки являются экстремумами. Часто можно отличить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка , при условии достаточной дифференцируемости. [5]
Для любой функции, которая определена кусочно , максимум (или минимум) находится путем нахождения максимума (или минимума) каждой части отдельно, а затем просмотра того, какой из них является наибольшим (или наименьшим).
В качестве практического примера [6] предположим, что у кого-то есть ограждение на ножках и он пытается максимизировать площадь прямоугольного ограждения, где – длина, – ширина и – площадь:
Производная по :
Установка этого значения равным
показывает, что это наша единственная критическая точка . Теперь извлеките конечные точки , определив интервал, которым ограничено. Поскольку ширина положительна, то , и поскольку , это означает, что . Подключите критическую точку , а также конечные точки и , в , и результаты будут и соответственно.
Следовательно, наибольшая площадь, достижимая с помощью прямоугольника в футах ограждения, равна . [6]
Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличенном) рисунке справа необходимые условия локального максимума аналогичны условиям функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменная, которую нужно максимизировать) равны нулю в максимуме (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это лишь необходимые, но не достаточные условия локального максимума из-за возможности существования седловой точки . Чтобы использовать эти условия для поиска максимума, функция z также должна быть дифференцируемой во всем. Второй тест частной производной может помочь классифицировать точку как относительный максимум или относительный минимум. Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция f, определенная на замкнутом интервале вещественной прямой, имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (используйте теорему о промежуточном значении и теорему Ролля, чтобы доказать это с помощью противоречие ). В двух и более измерениях этот аргумент не работает. Это иллюстрируется функцией
единственная критическая точка которого находится в точке (0,0), что является локальным минимумом с f (0,0) = 0. Однако он не может быть глобальным, поскольку f (2,3) = −5.
Если область определения функции, для которой необходимо найти экстремум, сама состоит из функций (т. е. если необходимо найти экстремум функционала ) , то экстремум находится с помощью вариационного исчисления .
Для наборов также можно определить максимумы и минимумы. В общем, если упорядоченный набор S имеет наибольший элемент m , то m является максимальным элементом набора, также обозначаемым как . Более того, если S — подмножество упорядоченного множества T , а m — наибольший элемент S с (относительно порядка, индуцированного T ) , то m — наименьшая верхняя граница S в T. Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента , минимального элемента и наибольшей нижней границы . Функция максимума и минимума для наборов используется в базах данных и может быть быстро вычислена, поскольку максимум (или минимум) набора можно вычислить по максимумам раздела; формально они являются саморазложимыми агрегирующими функциями .
В случае общего частичного порядка наименьший элемент (т. е. тот, который меньше всех остальных) не следует путать с минимальным элементом (ничто не меньше). Аналогично, наибольший элемент частично упорядоченного множества ( ЧУМ) — это верхняя граница множества, содержащегося в этом множестве, тогда как максимальный элемент m частично упорядоченного множества А — это такой элемент А , что если m ⩽ b (для любого b в A ), то m = b . Любой наименьший или наибольший элемент ЧУУ уникален, но ЧУУ может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если ЧУ-множество имеет более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.
В полностью упорядоченном множестве, или цепочке , все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такой набор может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда из-за взаимной сравнимости минимальный элемент будет также наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном множестве мы можем просто использовать термины минимум и максимум .
Если цепь конечна, то она всегда будет иметь максимум и минимум. Если цепочка бесконечна, то у нее не обязательно должен быть максимум или минимум. Например, набор натуральных чисел не имеет максимума, но имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S ) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются наибольшей нижней границей и наименьшей верхней границей множества S соответственно.