В математике кусочно -определенная функция (также называемая кусочной функцией , гибридной функцией или определением по случаям ) — это функция , определяемая несколькими подфункциями, где каждая подфункция применяется к различному интервалу в области определения. [1] [2] [3] Кусочное определение на самом деле является способом выражения функции, а не характеристикой самой функции.
Отдельным, но родственным понятием является понятие свойства, сохраняющегося кусочно для функции, которое используется, когда область определения можно разделить на интервалы , на которых свойство сохраняется. В отличие от приведенного выше понятия, на самом деле это свойство самой функции. В качестве примера изображена кусочно -линейная функция (которая бывает и непрерывной).
Кусочные функции могут быть определены с использованием общей функциональной записи , где тело функции представляет собой массив функций и связанных с ними поддоменов. Эти поддомены вместе должны охватывать весь домен ; часто также требуется, чтобы они были попарно непересекающимися, т.е. образовывали раздел домена. [4] Чтобы всю функцию можно было назвать «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, т.е. отдельными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов количество подобластей должно быть конечным, для неограниченных интервалов часто требуется только локальное конечное число. Например, рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения : [2]
Для всех значений меньше нуля используется первая подфункция ( ), которая меняет знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений больше или равных нулю используется вторая подфункция ( ) , которая тривиально вычисляет само входное значение.
В следующей таблице документирована функция абсолютного значения при определенных значениях :
Чтобы оценить кусочно-определенную функцию по заданному входному значению, необходимо выбрать соответствующую подобласть, чтобы выбрать правильную подфункцию и получить правильное выходное значение.
Кусочно-определенная функция непрерывна на заданном интервале своей области определения, если выполняются следующие условия:
Изображенная функция, например, кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не непрерывна во всей области, так как содержит скачок в точке . Закрашенный кружок означает, что в этой позиции используется значение правой подфункции.
Чтобы кусочно-определенная функция была дифференцируемой на заданном интервале в своей области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:
В ходе прикладного математического анализа было обнаружено, что «кусочно-регулярные» функции согласуются со многими моделями зрительной системы человека , где изображения на первом этапе воспринимаются как состоящие из гладких областей, разделенных краями. [5] В частности, ширлеты использовались в качестве системы представления для обеспечения разреженных аппроксимаций этого класса моделей в 2D и 3D.
