B-сплайн

Сплайн-функция

Сплайновая кривая, нарисованная как взвешенная сумма B-сплайнов с контрольными точками/контрольным многоугольником и отмеченными компонентными кривыми.

В математической области численного анализа B -сплайн или базисный сплайн — это сплайн- функция, имеющая минимальную поддержку относительно заданной степени , гладкости и разделения области . Любая сплайн-функция заданной степени может быть выражена как линейная комбинация B-сплайнов этой степени. Кардинальные B-сплайны имеют узлы, равноудаленные друг от друга. B-сплайны можно использовать для аппроксимации кривых и численного дифференцирования экспериментальных данных.

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графики сплайн-функции строятся как линейные комбинации B-сплайнов с набором контрольных точек.

Введение

Термин «B - сплайн» был придуман Исааком Джейкобом Шёнбергом ^[1] в 1978 году и является сокращением от базисного сплайна. ^[2] Сплайн-функция порядка — это кусочно- полиномиальная функция степени . Места соединения частей называются узлами. Ключевое свойство сплайн-функций состоит в том, что они и их производные могут быть непрерывными в зависимости от кратности узлов. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

B-сплайны порядка являются базовыми функциями для сплайн-функций одного и того же порядка, определенных над одними и теми же узлами, что означает, что все возможные сплайн-функции могут быть построены из линейной комбинации B-сплайнов, и для каждой сплайн-функции существует только одна уникальная комбинация. . ^[3] ${\displaystyle n}$

Определение

Кардинальный квадратичный B-сплайн с вектором узла (0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3) и контрольными точками (0, 0, 1, 0, 0) и его первой производной

Кардинальный кубический B-сплайн с вектором узла (−2, −2, −2, −2, −1, 0, 1, 2, 2, 2, 2) и контрольными точками (0, 0, 0, 6, 0, 0, 0) и его первая производная

Кардинальный квартический B-сплайн с вектором узла (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5) и контрольными точками (0, 0, 0, 0, 1). , 0, 0, 0, 0), а также его первая и вторая производные

B-сплайн порядка — это совокупность кусочно- полиномиальных функций степени от переменной . Значения точек пересечения частей многочлена известны как узлы, обозначаются и сортируются в неубывающем порядке. ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle B_{i,p}(t)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m}}$

Для данной последовательности узлов существует с точностью до масштабного коэффициента единственный сплайн, удовлетворяющий ${\displaystyle B_{i,p}(x)}$

${\displaystyle B_{i,p}(t)={\begin{cases}{\text{non-zero}}&{\text{if }}t_{i}\leq t<t_{i+p+1},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Если мы добавим дополнительное ограничение, которое

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m-p-1}B_{i,p}(t)=1}$

для всех между узлами и , то масштабный коэффициент становится фиксированным. Узлы между ними (и не включая их) называются внутренними узлами. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{p}}$ ${\displaystyle t_{m-p}}$ ${\displaystyle B_{i,p}(t)}$ ${\displaystyle t_{p}}$ ${\displaystyle t_{m-p}}$

B-сплайны можно построить с помощью рекурсивной формулы Кокса – де Бура. Начнем с B-сплайнов степени , т.е. кусочно-постоянных многочленов. ${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle B_{i,0}(t):={\begin{cases}1&{\text{if }}t_{i}\leq t<t_{i+1},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

B-сплайны более высокой степени определяются рекурсией. ${\displaystyle (p+1)}$

${\displaystyle B_{i,p}(t):={\dfrac {t-t_{i}}{t_{i+p}-t_{i}}}B_{i,p-1}(t)+{\dfrac {t_{i+p+1}-t}{t_{i+p+1}-t_{i+1}}}B_{i+1,p-1}(t).}$

Характеристики

Функция B-сплайна представляет собой комбинацию гибких полос, которые управляются рядом точек, называемых контрольными точками, создавая плавные кривые. Эти функции используются для создания и управления сложными формами и поверхностями с использованием ряда точек. Функция B-сплайна и функции Безье широко применяются в методах оптимизации формы. ^[4]

B-сплайн порядка — это кусочно-полиномиальная функция степени от переменной . Он определяется в точках , называемых узлами или точками останова, которые должны быть в неубывающем порядке . B-сплайн дает вклад только в диапазоне между первым и последним из этих узлов и равен нулю в остальных местах. Если каждый узел отделен от своего предшественника на одинаковое расстояние (где ), вектор узла и соответствующие B-сплайны называются «однородными» (см. кардинальный B-сплайн ниже). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+n}$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle t_{j}\leq t_{j+1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h=t_{j+1}-t_{j}}$

Для каждого конечного интервала узлов, где он не равен нулю, B-сплайн является полиномом степени . B-сплайн — это непрерывная функция в узлах. ^{[примечание 1]} Когда все узлы, принадлежащие B-сплайну, различны, его производные также непрерывны до производной степени . Если узлы совпадают при заданном значении , непрерывность порядка производной уменьшается на 1 для каждого дополнительного совпадающего узла. B-сплайны могут иметь общее подмножество своих узлов, но два B-сплайна, определенные для одних и тех же узлов, идентичны. Другими словами, B-сплайн однозначно определяется своими узлами. ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle x}$

Различают внутренние узлы и конечные точки. Внутренние узлы покрывают интересующую вас -область. Поскольку один B-сплайн уже простирается над узлами, из этого следует, что внутренние узлы необходимо расширить конечными точками с каждой стороны, чтобы обеспечить полную поддержку первого и последнего B-сплайна. , которые влияют на интервалы внутренних узлов. Значения конечных точек не имеют значения, обычно просто повторяется первый или последний внутренний узел. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+n}$ ${\displaystyle n-1}$

Полезность B-сплайнов заключается в том, что любая сплайн-функция порядка на заданном множестве узлов может быть выражена как линейная комбинация B-сплайнов: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n,\mathbf {t} }(x)=\sum _{i}\alpha _{i}B_{i,n}(x).}$

B-сплайны играют роль базисных функций для функционального пространства сплайнов, отсюда и название. Это свойство следует из того факта, что все детали имеют одинаковые свойства непрерывности в пределах индивидуального диапазона поддержки в узлах. ^[5]

Выражения для частей полинома можно получить с помощью рекурсивной формулы Кокса – де Бура ^[6]

${\displaystyle B_{i,0}(x):={\begin{cases}1&{\text{if }}t_{i}\leq x<t_{i+1},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle B_{i,k}(x):={\frac {x-t_{i}}{t_{i+k}-t_{i}}}B_{i,k-1}(x)+{\frac {t_{i+k+1}-x}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}}B_{i+1,k-1}(x).}$

То есть кусочно-постоянная единица или ноль, указывающая, в каком участке узла x находится (ноль, если участок узла j повторяется). Уравнение рекурсии состоит из двух частей: ${\displaystyle B_{j,0}(x)}$

${\displaystyle {\frac {x-t_{i}}{t_{i+k}-t_{i}}}}$

изменяется от нуля до единицы по мере того, как x переходит от к , и ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle t_{i+k}}$

${\displaystyle {\frac {t_{i+k+1}-x}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}}}$

изменяется от единицы до нуля по мере того, как x переходит от к . Соответствующие B равны нулю вне этих соответствующих диапазонов. Например, это треугольная функция , равная нулю ниже , возрастает до единицы в точке и обратно к нулю в точке . Однако, поскольку базисные функции B-сплайнов имеют локальную поддержку , B-сплайны обычно вычисляются с помощью алгоритмов, которым не требуется вычислять базисные функции там, где они равны нулю, например алгоритм де Бура . ${\displaystyle t_{i+1}}$ ${\displaystyle t_{i+k+1}}$ ${\displaystyle B_{i,1}(x)}$ ${\displaystyle x=t_{i}}$ ${\displaystyle x=t_{i+1}}$ ${\displaystyle x=t_{i+2}}$

Это соотношение ведет непосредственно к алгоритму BSPLV, закодированному на FORTRAN , который генерирует значения B-сплайнов порядка n в точке x . ^[7] Следующая схема иллюстрирует, что каждая часть порядка n представляет собой линейную комбинацию частей B-сплайнов порядка n  - 1 слева от нее.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&0\\&0&\\0&&B_{i-2,2}\\&B_{i-1,1}&\\B_{i,0}&&B_{i-1,2}\\&B_{i,1}&\\0&&B_{i,2}\\&0&\\&&0\end{matrix}}}$

Применение рекурсивной формулы с узлами at дает куски однородного B-сплайна порядка 3. ${\displaystyle (0,1,2,3)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1}&=x^{2}/2,&0&\leq x<1,\\B_{2}&=(-2x^{2}+6x-3)/2,&1&\leq x<2,\\B_{3}&=(3-x)^{2}/2,&2&\leq x<3.\end{aligned}}}$

Эти детали показаны на схеме. Свойство непрерывности квадратичной сплайн-функции и ее первой производной во внутренних узлах иллюстрируется следующим образом.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{At }}x=1\colon \ B_{1}=B_{2}=0.5,\ {\frac {dB_{1}}{dx}}={\frac {dB_{2}}{dx}}=1.\\[6pt]&{\text{At }}x=2\colon \ B_{2}=B_{3}=0.5,\ {\frac {dB_{2}}{dx}}={\frac {dB_{3}}{dx}}=-1.\end{aligned}}}$

Вторая производная B-сплайна степени 2 разрывна в узлах:

${\displaystyle {\frac {d^{2}B_{1}}{dx^{2}}}=1,\ {\frac {d^{2}B_{2}}{dx^{2}}}=-2,\ {\frac {d^{2}B_{3}}{dx^{2}}}=-1.}$

Были предложены более быстрые варианты алгоритма де Бура, но они обладают сравнительно меньшей стабильностью. ^{[8] [9]}

Кардинальный B-сплайн

Кардинальный B-сплайн имеет постоянное расстояние h между узлами. Кардинальные B-сплайны данного порядка n представляют собой просто сдвинутые копии друг друга. Их можно получить из более простого определения. ^[10]

${\displaystyle B_{i,n,t}(x)={\frac {x-t_{i}}{h}}n[0,\dots ,n](\cdot -t_{i})_{+}^{n-1}.}$

Обозначение «заполнитель» используется для обозначения того, что n -я разделенная разность функции двух переменных t и x должна быть получена путем фиксации x и рассмотрения как функции только от t . ${\displaystyle (t-x)_{+}^{n-1}}$ ${\displaystyle (t-x)_{+}^{n-1}}$

Кардинальный B-сплайн имеет узлы, расположенные равномерно, поэтому интерполяция между узлами равна свертке со сглаживающим ядром.

Например, если мы хотим интерполировать три значения между узлами B-сплайна ( ), мы можем записать сигнал как ${\displaystyle {\textbf {b}}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =[\mathbf {b} _{1},0,0,\mathbf {b} _{2},0,0,\mathbf {b} _{3},0,0,\dots ,\mathbf {b} _{n},0,0].}$

Свертка сигнала с помощью прямоугольной функции дает интерполированные значения B-сплайна первого порядка. Интерполяция B-сплайном второго порядка представляет собой двойную свертку с функцией прямоугольника ; путем итеративной фильтрации с помощью прямоугольной функции получается интерполяция более высокого порядка. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} =[1/3,1/3,1/3]}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} *\mathbf {h} *\mathbf {h} }$

Быструю интерполяцию B-сплайном в однородной выборочной области можно выполнить с помощью итеративной средней фильтрации. Альтернативно, прямоугольная функция равна sinc в области Фурье . Следовательно, интерполяция кубическим сплайном равна умножению сигнала в области Фурье на sinc ⁴ .

См. Распределение Ирвина – Холла # Особые случаи для алгебраических выражений для кардинальных B-сплайнов степени 1–4.

P-сплайн

Термин P-сплайн означает «штрафной B-сплайн». Это относится к использованию представления B-сплайна, где коэффициенты определяются частично данными, которые необходимо подгонять , а частично дополнительной штрафной функцией , целью которой является обеспечение гладкости во избежание переобучения . ^[11]

Двумерные и многомерные аппроксимации данных P-сплайнами могут использовать произведение матриц с разделением граней для минимизации вычислительных операций. ^[12]

Производные выражения

Производная B-сплайна степени k является просто функцией B-сплайнов степени k  − 1: ^[13]

${\displaystyle {\frac {dB_{i,k}(x)}{dx}}=k\left({\frac {B_{i,k-1}(x)}{t_{i+k}-t_{i}}}-{\frac {B_{i+1,k-1}(x)}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}}\right).}$

Это означает, что

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{i}\alpha _{i}B_{i,k}=\sum _{i=r-k+2}^{s-1}k{\frac {\alpha _{i}-\alpha _{i-1}}{t_{i+k}-t_{i}}}B_{i,k-1}\quad {\text{on}}\quad [t_{r},t_{s}],}$

который показывает, что существует простая связь между производной сплайн-функции и B-сплайнами степени на единицу меньше.

Моменты одномерных B-сплайнов

Одномерные B-сплайны, то есть B-сплайны, в которых положения узлов лежат в одном измерении, могут использоваться для представления одномерных функций плотности вероятности . Примером является взвешенная сумма базисных функций B-сплайна порядка , каждая из которых нормирована по площади к единице (т.е. не оценивается напрямую с использованием стандартного алгоритма де-Бура). ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p(x)=\sum _{i}c_{i}\cdot B_{i,n,{\textbf {norm}}}(x)}$

и с постоянным ограничением нормализации . k - й необработанный момент нормализованного B-сплайна можно записать как среднее Дирихле Карлсона ^[14] , которое, в свою очередь, можно точно решить с помощью контурного интеграла и итеративной суммы ^[15] как ${\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1}$ ${\displaystyle \mu _{k}}$ ${\displaystyle B_{i,n,{\textbf {norm}}}}$ ${\displaystyle R_{k}}$

${\displaystyle \mu _{k}=R_{k}(\mathbf {m} ;\mathbf {t} )=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}\cdot B_{i,n,{\textbf {norm}}}(x\mid t_{1}\dots t_{j})\,dx={\frac {\Gamma (k+1)\Gamma (m)}{\Gamma (m+k)}}\cdot D_{k}(\mathbf {m} ,\mathbf {t} )}$

с

${\displaystyle D_{k}={\frac {1}{k}}\sum \limits _{u=1}^{k}\left[\left(\sum \limits _{i=1}^{j}m_{i}\cdot {t_{i}}^{u}\right)D_{k-u}\right]}$

и . Здесь представляет собой вектор с положениями узлов и вектор с соответствующими кратностями узлов. Таким образом, можно точно вычислить любой момент функции плотности вероятности, представленной суммой базисных функций B-сплайна, не прибегая к численным методам. ${\displaystyle D_{0}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle p(x)}$

Связь с кусочным/композитным Безье

Кривая Безье также является полиномиальной кривой, которую можно определить с помощью рекурсии из кривых более низкой степени того же класса и закодировать в терминах контрольных точек, но ключевым отличием является то, что все члены рекурсии для сегмента кривой Безье имеют одинаковую область определения. определение (обычно ), тогда как носители двух терминов в рекурсии B-сплайна различны (самые внешние подинтервалы не являются общими). Это означает, что кривая Безье степени , заданной контрольными точками, состоит в основном из независимых сегментов, тогда как B-сплайн с теми же параметрами плавно переходит от подинтервала к подинтервалу. Чтобы получить что-то сопоставимое из кривой Безье, нужно было бы наложить условие гладкости на переходы между сегментами, что привело бы к некоторому виду сплайна Безье (для которого многие контрольные точки будут определяться требованием гладкости). ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\gg n}$ ${\displaystyle m/n}$

Кусочная /составная кривая Безье — это серия кривых Безье, соединенных с непрерывностью не менее C0 (последняя точка одной кривой совпадает с начальной точкой следующей кривой). В зависимости от применения могут быть добавлены дополнительные требования к плавности (например, непрерывность C1 или C2). ^[16] Непрерывные кривые C1 имеют одинаковые касательные в точке излома (где две кривые встречаются). Непрерывные кривые C2 имеют одинаковую кривизну в точке излома. ^[17]

Подгонка кривой

Обычно при подборе кривой набор точек данных аппроксимируется кривой, определяемой некоторой математической функцией. Например, распространенные типы аппроксимации кривой используют полином или набор экспоненциальных функций . Когда нет теоретической основы для выбора аппроксимирующей функции, кривая может быть аппроксимирована сплайновой функцией, состоящей из суммы B-сплайнов, с использованием метода наименьших квадратов . ^{[18] [примечание 2]} Таким образом, целевая функция для минимизации методом наименьших квадратов для сплайн-функции степени k :

${\displaystyle U=\sum _{{\text{all}}~x}\left\{W(x)\left[y(x)-\sum _{i}\alpha _{i}B_{i,k,t}(x)\right]\right\}^{2},}$

где W ( x ) — вес, а y ( x ) — исходное значение в точке x . Коэффициенты – это параметры, которые необходимо определить. Значения узлов могут быть фиксированными или рассматриваться как параметры. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Основная трудность в применении этого процесса заключается в определении количества используемых узлов и места их размещения. де Бур предлагает различные стратегии решения этой проблемы. Например, расстояние между узлами уменьшается пропорционально кривизне (2-я производная) данных. ^{[ нужна ссылка ]} Было опубликовано несколько приложений. Например, было исследовано использование B-сплайнов для аппроксимации одиночных кривых Лоренца и Гаусса . Вычислены оптимальные сплайн-функции степеней 3–7 включительно, основанные на симметричном расположении 5, 6 и 7 узлов, и метод применен для сглаживания и дифференцирования спектроскопических кривых. ^[19] В сопоставимом исследовании двумерная версия фильтрации Савицкого-Голея и сплайн-метода дала лучшие результаты, чем скользящее среднее или фильтрация Чебышева . ^[20]

Компьютерное проектирование и компьютерная графика

В приложениях автоматизированного проектирования и компьютерной графики сплайновая кривая иногда представляется как параметрическая кривая некоторого реального параметра . В этом случае кривую можно рассматривать как две или три отдельные координатные функции или . Координатные функции и являются сплайн-функциями с общим набором значений узлов . ${\displaystyle C(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C(t)}$ ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$

Поскольку B-сплайны образуют базисные функции, каждая из координатных функций может быть выражена как линейная сумма B-сплайнов, поэтому мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=\sum _{i}x_{i}B_{i,n}(t),\\Y(t)&=\sum _{i}y_{i}B_{i,n}(t),\\Z(t)&=\sum _{i}z_{i}B_{i,n}(t).\end{aligned}}}$

Веса и можно комбинировать для формирования точек в трехмерном пространстве . Эти точки широко известны как контрольные точки. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle P_{i}}$

Работая в обратном порядке, последовательность контрольных точек, значений узлов и порядка B-сплайна определяют параметрическую кривую. Такое представление кривой контрольными точками имеет несколько полезных свойств:

1. Контрольные точки определяют кривую. Если все контрольные точки каким-либо образом преобразуются вместе, например, перемещаются, поворачиваются, масштабируются или перемещаются с помощью любого аффинного преобразования, то соответствующая кривая преобразуется таким же образом. ${\displaystyle P_{i}}$
2. Поскольку B-сплайны отличны от нуля только для конечного числа узловых интервалов, при перемещении одной контрольной точки соответствующее изменение параметрической кривой происходит чуть выше диапазона параметров небольшого количества узловых интервалов.
3. Поскольку , и всегда каждый , кривая остается внутри ограничивающего прямоугольника контрольных точек. Кроме того, в некотором смысле кривая в целом повторяет контрольные точки. ${\displaystyle \sum _{i}B_{i,n}(x)=1}$ ${\displaystyle B_{i,n}(x)\geq 0}$

Менее желательной особенностью является то, что параметрическая кривая не интерполирует контрольные точки. Обычно кривая не проходит через контрольные точки.

Кубические B-сплайны

Кубическая кривая B-сплайна с нормализованным параметром определяется четырьмя узлами (т.е. контрольными точками ) , , и . Он образует многочлен степени 3, который можно записать как ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\textbf {b}}_{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {b}}_{1}}$ ${\displaystyle {\textbf {b}}_{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {b}}_{3}}$

${\displaystyle \mathbf {C} (t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1/6&1/2&-1/2&1/6\\1/2&-1&1/2&0\\-1/2&0&1/2&0\\1/6&2/3&1/6&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{0}\\\mathbf {b} _{1}\\\mathbf {b} _{2}\\\mathbf {b} _{3}\end{bmatrix}}}$.

Развернув это, мы можем написать

${\displaystyle \mathbf {C} (t)={\frac {1}{6}}{\biggl (}(-\mathbf {b} _{0}+3\mathbf {b} _{1}-3\mathbf {b} _{2}+\mathbf {b} _{3})t^{3}+(3\mathbf {b} _{0}-6\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2})t^{2}+(-3\mathbf {b} _{0}+3\mathbf {b} _{2})t+(\mathbf {b} _{0}+4\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}){\biggr )}}$.

Поскольку это кубический полином, мы также можем записать его как кубическую кривую Безье с контрольными точками , , и , такую, что ${\displaystyle {\textbf {P}}_{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}_{1}}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}_{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{0}&={\frac {1}{6}}(\mathbf {b} _{0}+4\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}),\\\mathbf {P} _{1}&={\frac {1}{3}}(2\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}),\\\mathbf {P} _{2}&={\frac {1}{3}}(\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}),\\\mathbf {P} _{3}&={\frac {1}{6}}(\mathbf {b} _{1}+4\mathbf {b} _{2}+\mathbf {b} _{3}).\end{aligned}}}$

Кусочно-кубический B-сплайн формируется набором узлов, и каждые четыре последовательных узла определяют кубический участок кривой с формулировкой выше.

НУРБС

Кривая NURBS - полиномиальная кривая, определенная в однородных координатах (синий) и ее проекция на плоскость - рациональная кривая (красный).

В компьютерном проектировании , компьютерном производстве и компьютерной графике мощным расширением B-сплайнов являются неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS). NURBS — это по сути B-сплайны в однородных координатах . Как и B-сплайны, они определяются своим порядком, вектором узла и набором контрольных точек, но в отличие от простых B-сплайнов, каждая контрольная точка имеет вес. Когда вес равен 1, NURBS представляет собой просто B-сплайн, и поэтому NURBS обобщает как B-сплайны, так и кривые и поверхности Безье, причем основное отличие заключается в взвешивании контрольных точек, что делает кривые NURBS «рациональными».

Оценивая NURBS при различных значениях параметров, кривую можно проследить в пространстве; аналогично, оценивая поверхность NURBS при различных значениях двух параметров, поверхность можно представить в декартовом пространстве.

Как и B-сплайны, контрольные точки NURBS определяют форму кривой. Каждая точка кривой вычисляется путем взвешивания суммы нескольких контрольных точек. Вес каждой точки варьируется в зависимости от определяющего параметра. Для кривой степени d влияние любой контрольной точки не равно нулю только в d +1 интервалах (промежутках узлов) пространства параметров. Внутри этих интервалов вес изменяется в соответствии с полиномиальной функцией (базисной функцией) степени d . На границах интервалов базисные функции плавно стремятся к нулю, причем гладкость определяется степенью полинома.

Вектор узла — это последовательность значений параметров, определяющая, где и как контрольные точки влияют на кривую NURBS. Количество узлов всегда равно количеству контрольных точек плюс степень кривой плюс один. Каждый раз, когда значение параметра входит в новый участок узла, новая контрольная точка становится активной, а старая контрольная точка отбрасывается.

Кривая NURBS имеет следующий вид: ^[21]

${\displaystyle C(u)={\frac {\sum _{i=1}^{k}N_{i,n}(u)w_{i}P_{i}}{\sum _{i=1}^{k}N_{i,n}(u)w_{i}}}}$

Здесь обозначения следующие. u — независимая переменная (вместо x ), k — количество контрольных точек, N — B-сплайн (используется вместо B ), n — степень полинома, P — контрольная точка, а w — вес. Знаменатель — это нормализующий коэффициент, который равен единице, если все веса равны единице.

Это принято писать так

${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u)P_{i}}$

в котором функции

${\displaystyle R_{i,n}(u)={\frac {N_{i,n}(u)w_{i}}{\sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}}$

известны как рациональные базисные функции.

Поверхность NURBS получается как тензорное произведение двух кривых NURBS с использованием двух независимых параметров u и v (с индексами i и j соответственно): ^[22]

${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\ell }R_{i,j}(u,v)P_{i,j}}$

с

${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{p=1}^{k}\sum _{q=1}^{\ell }N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}$

как рациональные базисные функции.

Смотрите также

• Кривая Безье
• Коробочный сплайн
• Алгоритм Де Бура
• I-сплайн
• М-сплайн
• Сплайновый вейвлет
• Т-образный шлиец

Примечания

1. Строго говоря, B-сплайны обычно определяются как непрерывные слева.
2. де Бур дает процедуры FORTRAN для аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов.

Рекомендации

1. де Бур, с. 114.
2. Гэри Д. Нотт (2000), Интерполирующие кубические сплайны . Спрингер. п. 151.
3. Хартмут Праутч; Вольфганг Бём; Марко Палушны (2002). Методы Безье и B-сплайна . Математика и визуализация. Берлин, Гейдельберг: Springer Science & Business Media. п. 63. дои : 10.1007/978-3-662-04919-8. ISBN 978-3-540-43761-1. ОСЛК  851370272.
4. Талебитоти, Р.; Шоджаифард, Миннесота; Ярмохаммадисатри, Садег (2015). «Оптимизация конструкции цилиндрического резервуара с использованием b-сплайновых кривых». Компьютер и жидкости . 109 : 100–112. doi : 10.1016/j.compfluid.2014.12.004.
5. де Бур, с. 113.
6. де Бур, стр. 131.
7. де Бур, с. 134.
8. Ли, ETY (декабрь 1982 г.). «Упрощенная процедура расчета B-сплайна». Вычисление . 29 (4): 365–371. дои : 10.1007/BF02246763. S2CID  2407104.
9. Ли, ETY (1986). «Комментарии к некоторым алгоритмам B-сплайна». Вычисление . 36 (3): 229–238. дои : 10.1007/BF02240069. S2CID  7003455.
10. де Бур, с. 322.
11. Эйлерс, PHC и Маркс, BD (1996). Гибкое сглаживание с помощью B-сплайнов и штрафов (с комментариями и ответами). Статистическая наука 11 (2): 89–121.
12. Эйлерс, Пол ХК; Маркс, Брайан Д. (2003). «Многомерная калибровка с учетом температурного взаимодействия с использованием двумерной регрессии штрафных сигналов». Хемометрика и интеллектуальные лабораторные системы . 66 (2): 159–174. дои : 10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
13. де Бур, с. 115.
14. Карлсон, Британская Колумбия (1991). «B-сплайны, гипергеометрические функции и средние значения Дирихле». Журнал теории приближения . 67 (3): 311–325. дои : 10.1016/0021-9045(91)90006-В .
15. Глюзенкамп, Т. (2018). «Вероятностная обработка неопределенности конечного размера взвешенных данных Монте-Карло». ЭПЖ Плюс . 133 (6): 218. arXiv : 1712.01293 . Бибкод : 2018EPJP..133..218G. doi : 10.1140/epjp/i2018-12042-x. S2CID  125665629.)
16. Евгений В. Шикин; Александр Иванович Плис (14 июля 1995 г.). Руководство по сплайнам для пользователя. ЦРК Пресс. стр. 96–. ISBN 978-0-8493-9404-1.
17. Вернеке, Джози (1993). «8». Наставник Inventor: программирование объектно-ориентированной 3D-графики с помощью Open Inventor, выпуск 2 (1-е изд.). Бостон, Массачусетс, США: ISBN Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc. 978-0201624953.
18. де Бур, Глава XIV, с. 235.
19. Ганс, Питер; Гилл, Дж. Бернард (1984). «Сглаживание и дифференцирование спектроскопических кривых с использованием сплайн-функций». Прикладная спектроскопия . 38 (3): 370–376. Бибкод : 1984ApSpe..38..370G. дои : 10.1366/0003702844555511. S2CID  96229316.
20. Вичек, Мария; Нил, Шэрон Л.; Уорнер, Исайя М. (1986). «Фильтрация во временной области двумерных данных флуоресценции». Прикладная спектроскопия . 40 (4): 542–548. Бибкод : 1986ApSpe..40..542В. дои : 10.1366/0003702864508773. S2CID  28705788. Архивировано из оригинала 23 июня 2017 года.
21. Пигль и Тиллер, глава 4, разд. 2
22. Пигль и Тиллер, глава 4, разд. 4

Цитируемые работы

• Карл де Бур (1978). Практическое руководство по сплайнам . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-90356-7.
• Пигл, Лес; Тиллер, Уэйн (1997). Книга NURBS (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-61545-3.

дальнейшее чтение

• Ричард Х. Бартельс; Джон С. Битти; Брайан А. Барски (1987). Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании . Морган Кауфманн. ISBN 978-1-55860-400-1.
• Жан Галье (1999). Кривые и поверхности в геометрическом моделировании: теория и алгоритмы. Морган Кауфманн. Глава 6. Кривые B-сплайна.Книга больше не издается и находится в свободном доступе у автора.
• Хартмут Праутч; Вольфганг Бём; Марко Палушны (2002). Методы Безье и B-сплайна . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-43761-1.
• Дэвид Саломон (2006). Кривые и поверхности для компьютерной графики . Спрингер. Глава 7. Приближение B-сплайном. ISBN 978-0-387-28452-1.
• Хови, Чад (2022 г.). Формулировка и реализация на Python геометрии Безье и B-сплайна. ПЕСОК2022-7702C. (153 страницы)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «B-Сплайн». Математический мир .
• Руф, Йоханнес. «B-сплайны третьего порядка на неоднородной сетке» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 ноября 2013 г. Проверено 2 мая 2012 г.
• двумерный B-сплайн из numpy
• Интерактивные B-сплайны с JSXGraph
• TinySpline: C-библиотека с открытым исходным кодом и привязками для различных языков.
• Равномерные нерациональные B-сплайны, моделирование кривых в 2D-пространстве. Автор: Стефан Г. Бек
• Редактор B-сплайнов от Шуканта Пала