Область определения функции

Математическая концепция

Функция f от X до Y. Множество точек в красном овале X является областью определения f .

График функции квадратного корня с действительным значением , f ( x ) = √ x , область определения которой состоит из всех неотрицательных действительных чисел

В математике область определения функции — это набор входных данных, принимаемых функцией . Иногда она обозначается как или , где f — это функция. С точки зрения неспециалиста область определения функции можно в общем случае рассматривать как «чем может быть x». ^[1] ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$

Точнее, если задана функция , область определения f равна X. На современном математическом языке область определения является частью определения функции, а не ее свойством. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

В частном случае, когда X и Y являются наборами действительных чисел , функцию f можно изобразить в декартовой системе координат . В этом случае область определения представлена ​​на оси x графика, как проекция графика функции на ось x .

Для функции множество Y называется областью значений : множество, которому должны принадлежать все выходы. Множество определенных выходов, которые функция назначает элементам X , называется ее диапазоном или образом . Изображение f является подмножеством Y , показанным в виде желтого овала на прилагаемой диаграмме. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Любая функция может быть ограничена подмножеством своей области определения. Ограничение на , где , записывается как . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}$

Природный домен

Если действительная функция f задана формулой, она может быть не определена для некоторых значений переменной. В этом случае это частичная функция , а множество действительных чисел, на котором формула может быть вычислена до действительного числа, называется естественной областью определения f . Во многих контекстах частичная функция называется просто функцией , а ее естественная область определения называется просто ее доменом .

Примеры

• Функция, определяемая с помощью , не может быть оценена как 0. Следовательно, естественная область определения — это множество действительных чисел, исключая 0, которое можно обозначить как или . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}}$
• Кусочная функция , определяемая формулой, имеет своей естественной областью определения множество действительных чисел. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Функция квадратного корня имеет своей естественной областью определения множество неотрицательных действительных чисел, которое можно обозначить как , интервал или . ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$
• Функция тангенса , обозначаемая , имеет своей естественной областью определения множество всех действительных чисел, которые не имеют вида для некоторого целого числа , которое можно записать как . ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}}$

Другие применения

Термин домен также обычно используется в другом смысле в математическом анализе : домен — это непустое связное открытое множество в топологическом пространстве . В частности, в действительном и комплексном анализе домен — это непустое связное открытое подмножество действительного координатного пространства или комплексного координатного пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Иногда такой домен используется как домен функции, хотя функции могут быть определены на более общих множествах. Эти два понятия иногда смешиваются, как, например, в изучении уравнений с частными производными : в этом случае домен является открытым связным подмножеством, где ставится проблема, что делает его как доменом в стиле анализа, так и доменом неизвестной функции(й), которую ищут. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Установить теоретические понятия

Например, в теории множеств иногда удобно разрешить области определения функции быть собственным классом X , в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функции не имеют области определения, хотя некоторые авторы все еще используют ее неформально после введения функции в форме f : X → Y . ^[2]

Смотрите также

• Аргумент функции
• Атрибут домена
• Биекция, инъекция и сюръекция
• Кодомен
• Разложение домена
• Эффективный домен
• Изображение (математика)
• Домен Липшица
• Наивная теория множеств
• Диапазон функции
• Поддержка (математика)

Примечания

1. "Домен, диапазон, обратные функции". Easy Sevens Education . Получено 2023-04-13 .
2. Eccles 1997, стр. 91 (цитата 1, цитата 2); Mac Lane 1998, стр. 8; Mac Lane, в Scott & Jech 1971, стр. 232; Sharma 2010, стр. 91; Stewart & Tall 1977, стр. 89

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1970). Теория ансамблей . Элементы математики. Спрингер. ISBN 9783540340348.
• Эклс, Питер Дж. (11 декабря 1997 г.). Введение в математическое мышление: числа, множества и функции. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59718-0.
• Mac Lane, Saunders (25 сентября 1998 г.). Категории для работающего математика. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2.
• Скотт, Дана С.; Джех, Томас Дж. (31 декабря 1971 г.). Аксиоматическая теория множеств, часть 1. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0245-8.
• Шарма, АК (2010). Введение в теорию множеств. Discovery Publishing House. ISBN 978-81-7141-877-0.
• Стюарт, Ян; Толл, Дэвид (1977). Основы математики. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853165-4.