Домен Липшица

В математике липшицева область ( или область с липшицевой границей ) — это область в евклидовом пространстве , граница которой «достаточно регулярна» в том смысле, что ее можно рассматривать как локально являющуюся графиком непрерывной функции Липшица . Термин назван в честь немецкого математика Рудольфа Липшица .

Определение

Пусть . Пусть будет областью и пусть обозначает границу . Тогда называется липшицевой областью , если для каждой точки существует гиперплоскость размерности, проходящая через , непрерывная по Липшицу функция над этой гиперплоскостью и действительные числа и такие, что ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g:H\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle h>0}$

• ${\displaystyle \Omega \cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<y<g(x)\right\}}$
• ${\displaystyle (\partial \Omega )\cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ g(x)=y\right\}}$

где

${\displaystyle {\vec {n}}}$— единичный вектор , нормальный к ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x-p\|<r\}}$- открытый шар радиуса , ${\displaystyle r}$

${\displaystyle C:=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ {-h}<y<h\right\}.}$

Другими словами, в каждой точке своей границы локально находится множество точек, расположенных над графиком некоторой функции Липшица. ${\displaystyle \Omega }$

Обобщение

Более общее понятие — это слабо липшицевы домены, которые являются доменами, граница которых локально выравнивается билипшицевым отображением. Липшицевы домены в указанном выше смысле иногда называются сильно липшицевыми в отличие от слабо липшицевых доменов.

Область является слабо липшицевой , если для каждой точки существует радиус и отображение, такие что ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p\in \partial \Omega ,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ell _{p}:B_{r}(p)\rightarrow Q}$

• ${\displaystyle \ell _{p}}$является биекцией ;
• ${\displaystyle \ell _{p}}$и обе являются липшицевыми функциями; ${\displaystyle l_{p}^{-1}}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\partial \Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{+};}$

где обозначает единичный шар в и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B_{1}(0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\};}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

(Сильно) липшицева область всегда является слабо липшицевой областью, но обратное неверно. Примером слабо липшицевой области, которая не может быть сильно липшицевой областью, является область с двумя кирпичами ^[1]

Применение доменов Липшица

Многие теоремы Соболева о вложении требуют, чтобы область исследования была липшицевой. Следовательно, многие уравнения в частных производных и вариационные задачи определяются на липшицевых областях.

Ссылки

1. Вернер Лихт, М. «Сглаженные проекции над слабо липшицевыми доменами», arXiv , 2016.

• Дакоронья, Б. (2004). Введение в вариационное исчисление . Imperial College Press, Лондон. ISBN 1-86094-508-2.