Диапазон функции

$е$ является функцией из области X в область значений Y. Желтый овал внутри Y — это изображение . Иногда «диапазон» относится к изображению, а иногда к кодомену. $е$

В математике диапазон функции может относиться к любому из двух тесно связанных понятий:

кодомен функции или _ _
образ функции .

В некоторых случаях кодомен и образ функции представляют собой один и тот же набор; такая функция называется сюръективной или на . Для любой несюръективной функции кодобласть и изображение различны; однако новая функция может быть определена с изображением исходной функции в качестве ее кодомена, где эта новая функция является сюръективной. $f:X\to Y,$ $Y$ ${\tilde {Y}}$ ${\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}$ ${\tilde {f}}(x)=f(x).$

Определения

Учитывая два множества $X$ и $Y$ , бинарное отношение $f$ между $X$ и $Y$ является функцией (от $X$ до $Y$ ), если для каждого элемента $x$ в $X$ существует ровно один $y$ в $Y$ такой, что $f$ связывает $x$ с $y$ . Множества $X$ и $Y$ называются областью определения и областью определения f $соответственно$ . Образ функции f $—$ это подмножество Y $,$ состоящее только из тех элементов $y$ из $Y$ , что в $X$ есть хотя бы один $x$ с $f$ $($ $x$ $) =$ $y$ .

Применение

Поскольку термин «диапазон» может иметь разные значения, считается хорошей практикой давать его определение при первом использовании в учебнике или статье. В старых книгах, когда они использовали слово «диапазон», они имели тенденцию использовать его для обозначения того, что сейчас называется кодоменом . ^[1] Более современные книги, если они вообще используют слово «диапазон», обычно используют его для обозначения того, что сейчас называется изображением . ^[2] Во избежание путаницы в ряде современных книг слово «диапазон» вообще не используется. ^[3]

Разработка и пример

Дана функция

{\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}

с доменом диапазон , иногда обозначаемый или , ^[4] может относиться к кодомену или целевому набору (т. е. набору, в который ограничено попадание всех выходных данных ) или к образу домена под (т. е. подмножество, состоящее из всех фактических выходных данных ). Образ функции всегда является подмножеством кодомена функции. ^[5] $X$ $е$ $\operatorname {ran} (е)$ $\operatorname {Диапазон} (е)$ $Y$ $е$ ${\ displaystyle f (X)}$ $е$ $е$ $Y$ $е$

В качестве примера двух различных применений рассмотрим функцию в том виде, в каком она используется в реальном анализе (то есть как функцию, которая вводит действительное число и выводит его квадрат). В этом случае его кодоменом является набор действительных чисел , но его изображением является набор неотрицательных действительных чисел , поскольку никогда не бывает отрицательным, если оно действительно. Если для этой функции мы используем «диапазон» для обозначения кодомена , он относится к ; если мы используем «диапазон» для обозначения изображения , это относится к . $f(x)=x^{2}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}$ $x^{2}$ $х$ $\mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}}$ $\mathbb {R} ^{+}$

Для некоторых функций изображение и кодомен совпадают; эти функции называются сюръективными или на . Например, рассмотрим функцию , которая вводит действительное число и выводит его двойное значение. Для этой функции и кодомен, и изображение представляют собой набор всех действительных чисел, поэтому диапазон слов однозначен. ${\ displaystyle f (x) = 2x,}$

Даже в тех случаях, когда образ и кодомен функции различны, новая функция может быть однозначно определена с ее кодоменом как образом исходной функции. Например, как функция преобразования целых чисел в целые числа, функция удвоения не является сюръективной, поскольку частью изображения являются только четные целые числа . Однако новая функция, областью определения которой являются целые числа, а кодоменом являются четные целые числа, является сюръективной. Ибо слово диапазон однозначно. $f(n)=2n$ ${\tilde {f}}(n)=2n$ ${\tilde {f}},$

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Хангерфорд 1974, с. 3; Чайлдс 2009, с. 140.
^ Даммит и Фут 2004, стр. 2.
^ Рудин 1991, с. 99.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Диапазон». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ Никамп, Дуэйн. «Определение диапазона». Математическое понимание . Проверено 28 августа 2020 г.

Библиография

Чайлдс, Линдси Н. (2009). Чайлдс, Линдси Н. (ред.). Конкретное введение в высшую алгебру . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-74725-5. ISBN 978-0-387-74527-5. ОСЛК 173498962.
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7. ОКЛК 52559229.
Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 73. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 0-387-90518-9. ОСЛК 703268.
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 0-07-054236-8.