Изображение (математика)

Набор всех значений функции

${\displaystyle f}$— функция от домена к кодомену. Желтый овал внутри — это изображение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$

В математике образ функции — это совокупность всех выходных значений, которые она может выдать .

В более общем смысле, вычисление данной функции для каждого элемента данного подмножества ее области определения создает набор, называемый « образом ниже (или через) ». Аналогично, прообраз (или прообраз ) данного подмножества кодомена — это набор всех элементов домена, которые сопоставляются с членами домена . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B.}$

Изображение и обратное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение

Слово «изображение» используется в трех связанных между собой значениях. В этих определениях – функция от множества к множеству ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Изображение элемента

Если является членом, то изображение ниже обозначенного является значением при применении к , альтернативно известно как вывод for аргумента. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Говорят , что функция принимает значение или принимает значение в качестве значения , если в области определения функции существует такое значение , что Аналогично, говорят, что заданный набор принимает значение, если в области определения функции существует такое значение , что Тем не менее, принимает [ all] значения в и оценивается в означает, что для каждой точки в области . ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\in S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Изображение подмножества

Пусть везде функция. ${\displaystyle f:X\to Y}$изображение под подмножеством представляет собой набор всех для. Обозначается или , когда нет риска путаницы. Используя нотацию set-builder , это определение можно записать как ^{[1] ​​[2]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle f[A],}$ ${\displaystyle f(A),}$

$${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

Это порождает функцию , где обозначает набор степеней набора , который является набором всех подмножеств см . § Обозначения ниже. ${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle S.}$

Изображение функции

Образ функции — это образ всей ее области определения , также известный как диапазон функции . ^[3] Этого последнего использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также часто используется для обозначения кодомена ${\displaystyle f.}$

Обобщение на бинарные отношения

Если это произвольное бинарное отношение, то это множество называется образом или диапазоном Двойственно , множество называется областью ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$ ${\displaystyle R.}$

Обратное изображение

Пусть — функция от до . Прообраз или прообраз множества , обозначенного символом, является подмножеством, определяемым ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}[B],}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

Другие обозначения включают и ^[4] Обратный образ одноэлементного множества , обозначаемый или, также называется слоем или слоем или множеством уровня множества всех слоев над элементами представляет собой семейство множеств, индексированных ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle f^{-}(B).}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ ${\displaystyle f^{-1}[y],}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Например, для функции, обратным образом которой будет Снова, если нет риска путаницы, ее можно обозначить и также можно рассматривать как функцию от набора степеней до набора степеней Обозначение не должно быть путают с этим для обратной функции , хотя оно совпадает с обычным для биекций тем, что прообразом under является образ under ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ ${\displaystyle \{4\}}$ ${\displaystyle \{-2,2\}.}$ ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ ${\displaystyle f^{-1}(B),}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f^{-1}.}$

Обозначения изображения и прообраза

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не отличают исходную функцию от функции изображения множеств ; аналогичным образом они не различают обратную функцию (при условии, что она существует) от функции обратного образа (которая снова связывает наборы степеней). При правильном контексте это делает обозначения легкими и обычно не вызывает путаницы. Но при необходимости альтернативой ^[5] является указание явных имен образа и прообраза как функций между наборами степеней: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

Обозначение стрелки

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$с ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$с ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Звездное обозначение

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$вместо ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$вместо ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Другая терминология

• Альтернативное обозначение, используемое в математической логике и теории множеств : ^{[6] [7]} ${\displaystyle f[A]}$ ${\displaystyle f\,''A.}$
• В некоторых текстах изображение относится к диапазону ^[8] , но этого использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также часто используется для обозначения кодомена ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f.}$

Примеры

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$определяется ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   Образ множества под — Образ функции — Прообраз — Прообраз — также Прообраз — пустое множество _ _ _ _ _ _ _ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{a,c\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{b,d\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$определяется ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   Образ under is и образ is ( набор всех положительных действительных чисел и нуля ) . Прообразом under является пустое множество , поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел . ${\displaystyle \{-2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \{4,9\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$ ${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$определяется ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   Слои представляют собой концентрические окружности вокруг начала координат , самого начала координат и пустого множества (соответственно), в зависимости от того ( соответственно). (Если тогда волокно представляет собой набор всех элементов, удовлетворяющих уравнению , то есть круг с центром в начале координат и радиусом ) ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$ ${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. Если — многообразие и — каноническая проекция касательного расслоения на, то слоями являются касательные пространства. Это также пример расслоения . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ .

Характеристики

Общий

Для каждой функции и всех подмножеств выполняются следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Несколько функций

Для функций и с подмножествами выполняются следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции и подмножества выполняются следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения , работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(Здесь может быть бесконечно, даже неисчислимо бесконечно .) ${\displaystyle S}$

По отношению к описанной выше алгебре подмножеств функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , тогда как функция образа является лишь полурешеточным гомоморфизмом (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция  - Свойства математических функций
• Волокно (математика)  - набор всех точек в области определения функции, которые все сопоставляются с какой-то одной заданной точкой.
• Изображение (теория категорий)  - термин в теории категорий.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ядро функции  - отношение эквивалентности, выражающее то, что два элемента имеют одинаковое изображение под функцией.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Инверсия набора  - математическая проблема поиска набора, сопоставленного указанной функцией с определенным диапазоном.

Примечания

1. «5.4: О функциях и изображениях/прообразах множеств». Математика LibreTexts . 05.11.2019 . Проверено 28 августа 2020 г.
2. Пол Р. Халмос (1968). Наивная теория множеств . Принстон: Ностранд.Здесь: Раздел 8
3. Вайсштейн, Эрик В. «Изображение». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
4. Долецки и Минард, 2016, стр. 4–5.
5. Блит 2005, с. 5.
6. Жан Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика . Холден-Дэй. п. XIX. АСИН  B0006BQH7S.
7. М. Рэндалл Холмс: Неоднородность ур-элементов в обычных моделях НФУ, 29 декабря 2005 г., на: Semantic Scholar, с. 2
8. Хоффман, Кеннет (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Прентис-Холл. п. 388.
9. См. Халмос 1960, с. 31
10. См. Munkres 2000, p. 19
11. См. стр. 388 Ли, Джона М. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
12. Келли 1985, с. 85
13. См. Munkres 2000, p. 21

Рекомендации

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
• Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Спрингер. ISBN 1-85233-905-5..
• Долецкий, Шимон; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания Ван Ностранд. ISBN 9780442030643. Збл  0087.04403.
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27 (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.

В эту статью включены материалы из Fiber на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .