Реальный анализ

Математика действительных чисел и действительных функций

В математике раздел реального анализа изучает поведение действительных чисел , последовательностей и рядов действительных чисел, а также вещественных функций . ^[1] Некоторые конкретные свойства вещественных последовательностей и функций, которые изучает реальный анализ, включают сходимость , пределы , непрерывность , гладкость , дифференцируемость и интегрируемость .

Реальный анализ отличается от комплексного анализа , который занимается изучением комплексных чисел и их функций.

Объем

Построение действительных чисел

Теоремы вещественного анализа опираются на свойства действительной системы счисления , которые необходимо установить. Система действительных чисел состоит из несчетного множества ( ), двух двоичных операций, обозначаемых + и ⋅ , и общего порядка , обозначаемого ≤ . Операции превращают действительные числа в поле , а вместе с порядком — в упорядоченное поле . Система действительных чисел — это уникальное полное упорядоченное поле в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно ей. Интуитивно полнота означает, что в действительных числах нет «пробелов» (или «дыр»). Это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел ) и имеет решающее значение для доказательства нескольких ключевых свойств функций действительных чисел. Полноту вещественных чисел часто удобно выражать как свойство наименьшей верхней границы (см. ниже). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Свойства порядка действительных чисел

Действительные числа обладают различными теоретико-решеточными свойствами, которые отсутствуют в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле , в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, порядок вещественных чисел является полным , и действительные числа имеют свойство наименьшей верхней границы :

Каждое непустое подмножество , имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу , которая также является действительным числом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эти свойства теории порядка приводят к ряду фундаментальных результатов в реальном анализе, таких как теорема о монотонной сходимости , теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении .

Однако, хотя результаты реального анализа формулируются для действительных чисел, многие из этих результатов могут быть обобщены на другие математические объекты. В частности, многие идеи функционального анализа и теории операторов обобщают свойства действительных чисел — такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных операторов . Кроме того, математики рассматривают действительные и мнимые части сложных последовательностей или путем поточечной оценки операторных последовательностей . ^{[ нужны разъяснения ]}

Топологические свойства действительных чисел

Многие теоремы вещественного анализа являются следствием топологических свойств прямой действительной числовой линии. Описанные выше свойства порядка действительных чисел тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство , действительные числа имеют стандартную топологию , которая является топологией порядка, индуцированной порядком . В качестве альтернативы, определяя функцию метрики или расстояния с использованием функции абсолютного значения как , действительные числа становятся прототипным примером метрического пространства . Топология, индуцированная метрикой, оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком . Теоремы, такие как теорема о промежуточном значении , которые по сути являются топологическими по своей природе, часто могут быть доказаны в более общей ситуации метрических или топологических пространств, а не только в них. Часто такие доказательства короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Последовательности

Последовательность — это функция , областью определения которой является счетное , полностью упорядоченное множество. ^[2] Областью определения обычно считаются натуральные числа , ^[3] хотя иногда удобно также рассматривать двунаправленные последовательности, индексированные набором всех целых чисел, включая отрицательные индексы.

Для реального анализа представляет интерес последовательность вещественных чисел , индексированная здесь натуральными числами, которая представляет собой карту . Каждый из них называется термином ( или, реже, элементом ) последовательности. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, он почти всегда обозначается так, как если бы это был упорядоченный ∞-кортеж, с отдельными терминами или общим термином, заключенным в круглые скобки: ^[4] ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$

$${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).}$$

пределусходящейсярасходитсяПодробнее см. в разделе о пределах и сходимости.,монотонно возрастает, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (a_{n})}$

$${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$$

$${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$$

монотоннойстрогой ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$

Учитывая последовательность , другая последовательность является подпоследовательностью if для всех положительных целых чисел и представляет собой строго возрастающую последовательность натуральных чисел. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{k})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n_{k})}$

Пределы и конвергенция

Грубо говоря, предел — это значение, к которому «приближается» функция или последовательность , когда входные данные или индекс приближаются к некоторому значению. ^[5] (Это значение может включать символы при описании поведения функции или последовательности при неограниченном увеличении или уменьшении переменной.) Идея предела является фундаментальной для исчисления (и математического анализа в целом), и ее формальное определение таково: используется, в свою очередь, для определения таких понятий, как непрерывность , производные и интегралы . (Фактически, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, отличающая исчисление и математический анализ от других разделов математики.) ${\displaystyle \pm \infty }$

Понятие предела было неофициально введено для функций Ньютоном и Лейбницем в конце 17 века для построения исчисления бесконечно малых . Для последовательностей концепция была введена Коши и уточнена в конце 19-го века Больцано и Вейерштрассом , которые дали современное определение ε-δ , которое следует ниже.

Определение. Позвольте быть действительной функцией, определенной на . Мы говорим, что стремится к as приближается , или что предел as приближается , если для любого существует такое, что для всех следует , что . Мы запишем это символически как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

$${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.}$$

${\displaystyle f(x)\to L}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

В немного другом, но родственном контексте понятие предела применяется к поведению последовательности, когда она становится большой. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Определение. Пусть – вещественная последовательность. Мы говорим, что сходится к тому, если для любого существует такое натуральное число, из которого следует, что . Мы запишем это символически как ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$

$${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a;}$$

расходится ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

Обобщая функцию действительной переменной от действительной переменной, небольшая модификация этого определения (замена последовательности и члена функцией и значением и натуральными числами и действительными числами и соответственно) дает определение предела неограниченного возрастания . , отмечено . Обращение неравенства к дает соответствующее определение предела при неограниченном уменьшении , . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle x\geq M}$ ${\displaystyle x\leq M}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

Иногда полезно заключить, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция последовательности Коши.

Определение. Пусть – вещественная последовательность. Мы говорим, что это последовательность Коши , если для любого существует такое натуральное число, из которого следует, что . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n\geq N}$ ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Можно показать, что вещественная последовательность является Коши тогда и только тогда, когда она сходится. Это свойство действительных чисел выражается в том, что действительные числа, наделенные стандартной метрикой, представляют собой полное метрическое пространство . Однако в общем метрическом пространстве последовательность Коши не обязана сходиться. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$

Кроме того, для монотонных вещественных последовательностей можно показать, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится.

Равномерная и поточечная сходимость последовательностей функций.

Кроме последовательностей чисел можно говорить также о последовательностях функций на , т. е. бесконечных упорядоченных семействах функций , обозначаемых , и их свойствах сходимости. Однако в случае последовательностей функций необходимо различать два вида сходимости, известные как поточечная сходимость и равномерная сходимость . ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Грубо говоря, поточечная сходимость функций к предельной функции , обозначаемой , просто означает, что при любом , как . Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует , чтобы члены семейства функций попадали в пределы некоторой ошибки для каждого значения , всякий раз , для некоторого целого числа . Чтобы семейство функций равномерно сходилось, иногда обозначаемое , такое значение должно существовать для любого заданного, независимо от того, насколько оно мало. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представляя, что для достаточно большого значения все функции заключены в «трубку» шириной около (то есть между и ) для каждого значения в их области определения . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-\varepsilon }$ ${\displaystyle f+\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$

Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно, когда требуется поменять порядок двух предельных операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен вел себя правильно, многие теоремы реального анализа вызывают для равномерной сходимости. Например, последовательность непрерывных функций (см. ниже) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость равномерна, тогда как предельная функция может не быть непрерывной, если сходимость происходит только поточечно. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение концепции равномерной конвергенции и полное исследование ее последствий.

Компактность

Компактность — это концепция общей топологии , которая играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия замкнутости и ограниченности множества . (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Короче говоря, замкнутое множество содержит все свои граничные точки , а множество ограничено , если существуют существует такое действительное число, что расстояние между любыми двумя точками множества меньше этого числа. В множества, которые являются замкнутыми и ограниченными и, следовательно, компактными, включают пустое множество, любое конечное число точек, замкнутые интервалы и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, множество представляет собой компактное множество; троичное множество Кантора является еще одним примером компактного множества. С другой стороны, множество не компактно, поскольку оно ограничено, но не замкнуто, поскольку граничная точка 0 не является членом множества. Множество также не компактно, поскольку оно замкнуто, но не ограничено. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Множество компактно, если оно замкнуто и ограничено. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$

Это определение также справедливо для евклидова пространства любой конечной размерности, но оно неприменимо для метрических пространств вообще. Эквивалентность определения компактности, основанная на подпокрытиях, приведенная далее в этом разделе, известна как теорема Гейне-Бореля . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Более общее определение, применимое ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. Выше).

Определение. Множество в метрическом пространстве называется компактным, если каждая последовательность в нем имеет сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Это особое свойство известно как последовательная компактность . В набор последовательно компактен тогда и только тогда, когда он замкнут и ограничен, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Последующая компактность эквивалентна определению компактности, основанному на подпокрытиях, для метрических пространств, но не для топологических пространств вообще. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Наиболее общее определение компактности основано на понятии открытых покрытий и подпокрытий , которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и в частных случаях). Короче говоря, совокупность открытых множеств называется открытым покрытием множества, если объединение этих множеств является надмножеством . Говорят, что это открытое покрытие имеет конечное подпокрытие, если можно найти конечный поднабор, который также покрывает . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Определение. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Компактные множества хорошо себя ведут в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. Другой пример: образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.

Непрерывность

Функция от набора действительных чисел к действительным числам может быть представлена ​​графиком в декартовой плоскости ; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну сплошную кривую без «дырок» и «скачков».

Есть несколько способов сделать эту интуицию математически строгой. Можно дать несколько определений разной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определений, легко показать, что они эквивалентны друг другу, поэтому можно использовать наиболее удобное определение, чтобы определить, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, данном ниже, это функция, определенная на невырожденном интервале множества действительных чисел в качестве ее области определения. Некоторые возможности включают в себя весь набор действительных чисел, открытый интервал или закрытый интервал. Здесь и являются различными действительными числами, и мы исключаем случай, когда они пусты или состоят только из одной точки, в частности. ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Определение. Если – невырожденный интервал, мы говорим, что он непрерывен в точке, если . Мы говорим, что это непрерывное отображение , если оно непрерывно в каждой точке . ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in I}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in I}$

В отличие от требований иметь предел в точке , которые не ограничивают поведение точки самой по себе, следующие два условия, в дополнение к существованию , также должны выполняться для того, чтобы быть непрерывным в точке : (i) должен быть определен в , т.е. находится в области ; и (ii) как . Приведенное выше определение фактически применимо к любой области , которая не содержит изолированной точки или, что то же самое, где каждая является предельной точкой . Более общее определение, применимое к общему домену, следующее: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$ ${\displaystyle x\to p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$

Определение. Если является произвольным подмножеством , мы говорим, что оно непрерывно в том случае, если для любого существует такое, что для всех следует , что . Мы говорим, что это непрерывное отображение , если оно непрерывно в каждой точке . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle |x-p|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$

Следствием этого определения является то, что оно тривиально непрерывно в любой изолированной точке . Эта несколько неинтуитивная трактовка изолированных точек необходима для того, чтобы наше определение непрерывности функций на действительной прямой согласовывалось с наиболее общим определением непрерывности отображений между топологическими пространствами (которые включают метрические пространства и, в частности, в частных случаях). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения реального анализа, для полноты представлено ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение. Если и являются топологическими пространствами, мы говорим, что оно непрерывно в точке, если является окрестностью in для каждой окрестности in . Мы говорим, что это непрерывное отображение , если оно открыто для каждого открытия в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$

(Здесь относится к прообразу under . ) ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S\subset Y}$ ${\displaystyle f}$

Равномерная непрерывность

Определение. Если — подмножество действительных чисел , мы говорим, что функция равномерно непрерывна , если для любого существует такое, что для всех следует , что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

Явно, когда функция равномерно непрерывна на , выбор необходимого для выполнения определения должен работать для всех из для данного . Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке (или называется непрерывной на ), выбор может зависеть как от , так и от . В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность — это свойство функции, которое имеет смысл только в указанной области определения; говорить о равномерной непрерывности в одной точке бессмысленно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

На компакте легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если – ограниченное некомпактное подмножество , то существует непрерывное, но не равномерно непрерывное. В качестве простого примера рассмотрим определение . Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать любой единственный выбор для данного . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Абсолютная непрерывность

Определение. Пусть – интервал на действительной прямой . Функция называется абсолютно непрерывной , если для каждого положительного числа существует такое положительное число, что всякий раз , когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов удовлетворяет ^[6] ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

затем

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Абсолютно непрерывные функции непрерывны: рассмотрим случай n = 1 в этом определении. Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на I обозначается AC( I ). Абсолютная непрерывность - фундаментальное понятие теории интегрирования Лебега, позволяющее сформулировать обобщенную версию фундаментальной теоремы исчисления, применимую к интегралу Лебега.

Дифференциация

Понятие производной функции или дифференцируемости происходит от концепции приближения функции вблизи заданной точки с использованием «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, уникально и задается линией, касающейся функции в данной точке , а наклон линии является производной функции в . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Функция дифференцируема , если предел ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существует. Этот предел известен как производная от at ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ , а функция , возможно определенная только на подмножестве , является производной (или производной функцией ) от . Если производная существует всюду, функция называется дифференцируемой . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

Как простое следствие определения, непрерывно в том случае , если оно там дифференцируемо. Таким образом, дифференцируемость является более сильным условием регулярности (условием, описывающим «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей вещественной прямой, но не дифференцируемой нигде (см. Нигде не дифференцируемая непрерывная функция Вейерштрасса ). Можно также обсуждать существование производных более высокого порядка, находя производную производной функции и так далее. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Классифицировать функции можно по их классу дифференцируемости . Класс (иногда для обозначения интервала применимости) состоит из всех непрерывных функций. Класс состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция — это в точности функция, производная которой существует и имеет класс . В общем, классы могут быть определены рекурсивно, объявив их набором всех непрерывных функций и объявив для любого положительного целого числа набор всех дифференцируемых функций, производная которых находится в . В частности, содержится в для каждого , и есть примеры, показывающие, что это включение является строгим. Класс — это пересечение множеств , изменяющихся по неотрицательным целым числам, а члены этого класса известны как гладкие функции . Класс состоит из всех аналитических функций и строго содержится в (см. функцию рельефа для гладкой функции, которая не является аналитической). ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}([a,b])}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Ряд

Ряд формализует неточное представление о сумме бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что суммирование «бесконечного» числа членов может привести к конечному результату, была противоречащей интуиции древних греков и привела к формулировке Зеноном и другими философами ряда парадоксов. Современное представление о присвоении значения ряду позволяет избежать нечеткого понятия добавления «бесконечного» числа членов. Вместо этого рассматривается конечная сумма первых членов последовательности, известная как частичная сумма, и понятие предела применяется к последовательности частичных сумм, которая растет без ограничений. Серии присваивается значение этого лимита, если он существует. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Учитывая (бесконечную) последовательность , мы можем определить связанную серию как формальный математический объект , иногда просто записываемый как . Частичные суммы ряда — это числа . Ряд называется сходящимся, если последовательность, состоящая из его частичных сумм, сходится; в противном случае оно расходится . Сумма сходящегося ряда определяется как число . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$

Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле как сокращение для определения предела последовательности частичных сумм, и его не следует интерпретировать как простое «добавление» бесконечного числа членов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка членов бесконечного ряда может привести к сходимости к другому числу (см. статью о теореме о перестановке Римана для дальнейшего обсуждения).

Примером сходящегося ряда является геометрический ряд , лежащий в основе одного из знаменитых парадоксов Зенона :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.}$

Напротив, со времен Средневековья было известно, что гармонический ряд является расходящимся рядом:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .}$

(Здесь « » — это просто условное обозначение, указывающее на то, что частичные суммы ряда растут без ограничений.) ${\displaystyle =\infty }$

Говорят, что ряд сходится абсолютно , если он сходится. Сходящийся ряд, для которого расходится, называется сходящимся неабсолютно . ^[7] Легко показать, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. С другой стороны, примером ряда, сходящегося неабсолютно, является ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

Серия Тейлора

Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции ƒ ( x ), которая бесконечно дифференцируема по действительному или комплексному числу a, является степенным рядом

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

которое можно записать в более компактной сигма-нотации как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

где н ! обозначает факториал n , а ƒ  ^{( n )} ( a ) обозначает n- ю производную от ƒ , вычисленную в точке a . Производная нулевого порядка ƒ определяется как сама ƒ и ( x − a ) ⁰ и 0! оба определены как 1. В случае, когда a = 0 , ряд также называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора f относительно точки a может расходиться, сходиться только в точке a , сходиться для всех x таких, что (наибольший такой R , для которого сходимость гарантирована, называется радиусом сходимости ) или сходиться на всей вещественной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус сходимости и суммируется с функцией в круге сходимости , то функция является аналитической . Аналитические функции обладают многими фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция действительной переменной естественным образом расширяется до функции комплексной переменной. Именно таким образом показательная функция , логарифм , тригонометрические функции и их обратные расширяются до функций комплексной переменной. ${\displaystyle |x-a|<R}$

ряд Фурье

Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . Ряды Фурье — важный инструмент реального анализа.

Ряд Фурье разлагает периодические функции или периодические сигналы в сумму (возможно, бесконечного) набора простых осциллирующих функций, а именно синусов и косинусов (или комплексных экспонент ). Изучение рядов Фурье обычно происходит и осуществляется в рамках раздела математика > математический анализ > анализ Фурье .

Интеграция

Интегрирование — это формализация задачи нахождения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней задач определения длины кривой или объема, охватываемого поверхностью. Основная стратегия решения проблем такого типа была известна древним грекам и китайцам и называлась методом истощения . Вообще говоря, желаемая область ограничена сверху и снизу, соответственно, путем все более точного описания и вписания полигональных аппроксимаций, точные площади которых можно вычислить. Рассматривая аппроксимации, состоящие из все большего и большего («бесконечного») числа меньших и меньших («бесконечно малых») частей, можно определить площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, определенные аппроксимациями, сходятся вокруг общей точки. ценить.

Дух этой базовой стратегии можно легко увидеть в определении интеграла Римана, в котором говорят, что интеграл существует, если верхняя и нижняя суммы Римана (или Дарбу) сходятся к общему значению как все более тонкие и тонкие прямоугольные срезы («уточнения» ") которые считаются. Хотя механизм, используемый для его определения, гораздо более сложен по сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега был определен с учетом аналогичных основных идей. По сравнению с интегралом Римана, более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. д., вообще называемую «мерой») для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя они все еще существуют. «неизмеримые» подмножества, для которых невозможно выделить площадь.

Интегрирование Римана

Интеграл Римана определяется через суммы Римана функций по размеченным разбиениям интервала. Пусть – отрезок действительной прямой; тогда размеченное разбиение представляет собой конечную последовательность ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

При этом интервал разбивается на подинтервалы, индексируемые , каждый из которых «помечен» выделенной точкой . Для функции, ограниченной на , мы определяем сумму Римана относительно разбиения с тегами как ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},}$

где ширина подинтервала . Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подинтервала, и шириной, равной ширине подинтервала. Сетка такого размеченного раздела представляет собой ширину наибольшего подинтервала, образованного разделом , . Мы говорим, что интеграл Римана от on равен, если для любого существует такое, что для любого помеченного разбиения с сеткой мы имеем ${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle \|\Delta _{i}\|<\delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Иногда это обозначают . Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана называется верхней (соответственно нижней) суммой Дарбу . Функция является интегрируемой по Дарбу, если верхнюю и нижнюю суммы Дарбу можно сделать сколь угодно близкими друг к другу на достаточно мелкой сетке. Хотя это определение придает интегралу Дарбу вид частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения интегралы равны. Фактически, учебники по математическому анализу и реальному анализу часто объединяют эти два понятия, вводя определение интеграла Дарбу как определение интеграла Римана из-за того, что первое определение немного проще в применении. ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$

Основная теорема исчисления утверждает, что интегрирование и дифференцирование являются в определенном смысле обратными операциями.

Интегрирование и мера Лебега

Интегрирование Лебега — это математическая конструкция, расширяющая интеграл на более широкий класс функций; он также расширяет области , в которых могут быть определены эти функции. Понятие меры , абстракция длины, площади или объема, занимает центральное место в интегральной теории вероятностей Лебега .

Распределения

Распределения (или обобщенные функции ) — это объекты, обобщающие функции . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет распределительную производную.

Отношение к комплексному анализу

Реальный анализ — это область анализа , изучающая такие понятия, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференциация , интеграция и последовательность функций. По определению, реальный анализ фокусируется на действительных числах , часто включая положительную и отрицательную бесконечность, чтобы сформировать расширенную действительную линию . Реальный анализ тесно связан с комплексным анализом , который в общих чертах изучает те же свойства комплексных чисел . В комплексном анализе естественно определять дифференцирование через голоморфные функции , которые обладают рядом полезных свойств, таких как повторная дифференцируемость, выразимость в виде степенного ряда и удовлетворение интегральной формулы Коши .

В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемые , гладкие или гармонические функции , которые более широко применимы, но могут не иметь некоторых более мощных свойств голоморфных функций. Однако такие результаты, как основная теорема алгебры, проще, если их выразить в терминах комплексных чисел.

В реальном анализе часто используются методы теории аналитических функций комплексной переменной, например, вычисление действительных интегралов с помощью исчисления вычетов .

Важные результаты

Важные результаты включают теоремы Больцано-Вейерштрасса и Гейне-Бореля , теорему о промежуточном значении и теорему о среднем значении , теорему Тейлора , фундаментальную теорему исчисления , теорему Арзела-Асколи , теорему Стоуна-Вейерштрасса , лемму Фату и монотонную сходимость. и теоремы о доминируемой сходимости .

Обобщения и смежные области математики

Различные идеи реального анализа могут быть обобщены с реальной линии на более широкие или более абстрактные контексты. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и субдисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность, от реального анализа до метрических и топологических пространств связывает реальный анализ с областью общей топологии , а обобщение конечномерных евклидовых пространств до бесконечномерных аналогов привело к концепциям банаховых пространств. и гильбертовых пространств и, в более общем плане, к функциональному анализу . Исследование Георгом Кантором множеств и последовательностей действительных чисел, отображений между ними, а также фундаментальных проблем реального анализа породило наивную теорию множеств . Изучение вопросов сходимости последовательностей функций в конечном итоге привело к возникновению анализа Фурье как раздела математического анализа. Исследование последствий обобщения дифференцируемости функций действительной переменной к функциям комплексной переменной привело к появлению концепции голоморфных функций и возникновению комплексного анализа как еще одной отдельной дисциплины анализа. С другой стороны, обобщение интегрирования от смысла Римана до смысла Лебега привело к формулировке концепции абстрактных пространств с мерой , фундаментальной концепции теории меры . Наконец, обобщение интегрирования от действительной линии до кривых и поверхностей в многомерном пространстве привело к изучению векторного исчисления , дальнейшее обобщение и формализация которого сыграло важную роль в эволюции понятий дифференциальных форм и гладких (дифференцируемых) многообразий. в дифференциальной геометрии и других тесно связанных областях геометрии и топологии .

Смотрите также

• Список реальных тем анализа
• Исчисление шкалы времени - объединение реального анализа с исчислением конечных разностей.
• Реальная функция многих переменных
• Реальное координатное пространство
• Комплексный анализ

Рекомендации

1. Тао, Теренс (2003). «Конспекты лекций по MATH 131AH» (PDF) . Веб-сайт курса MATH 131AH, факультет математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе .
2. «Введение в последовательность». hanacademy.org .
3. Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и конвергенция». Введение в анализ . АМС (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
4. Некоторые авторы (например, Рудин 1976) вместо этого используют фигурные скобки и пишут . Однако такое обозначение противоречит обычному обозначению множества , которое, в отличие от последовательности, не учитывает порядок и кратность его элементов. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$
5. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
6. Ройден 1988, разд. 5.4, ​​стр. 108; Nielsen 1997, определение 15.6 на стр. 251; Атрея и Лахири 2006, Определения 4.4.1, 4.4.2 на страницах 128,129. Предполагается, что интервал I ограничен и замкнут в первых двух книгах, но не во второй.
7. Термин «безусловная сходимость» относится к рядам, сумма которых не зависит от порядка членов (т. е. любая перестановка дает одну и ту же сумму). В противном случае конвергенцию называют условной . Для рядов в можно показать, что абсолютная сходимость и безусловная сходимость эквивалентны. Следовательно, термин «условная сходимость» часто используется для обозначения неабсолютной сходимости. Однако в общей ситуации банаховых пространств члены не совпадают, и существуют безусловно сходящиеся ряды, которые не сходятся абсолютно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Источники

• Атрея, Кришна Б.; Лахири, Сумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей , Springer, ISBN 0-387-32903-Х
• Нильсен, Оле А. (1997), Введение в интеграцию и теорию меры , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Ройден, HL (1988), Real Analysis (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Библиография

• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
• Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . МАА. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Каротерс, Нил Л. (2000). Реальный анализ. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521497565.
• Дангелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Колмогоров А.Н. ; Фомин, С.В. (1975). Вводный реальный анализ. Перевод Ричарда А. Сильвермана. Дуврские публикации. ISBN 0486612260. Проверено 2 апреля 2013 г.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Спивак, Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон , Техас: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

Внешние ссылки

• Как мы добрались оттуда сюда: история настоящего анализа Роберта Роджерса и Юджина Бомана
• Первый курс анализа Дональд Яу
• Веб-заметки по анализу Джона Линдсея Орра
• Интерактивный реальный анализ Берта Г. Ваксмута
• Курс первого анализа Джона О'Коннора
• Математический анализ I Элиаса Закона
• Математический анализ II Элиаса Закона
• Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF) . Прентис Холл . ISBN 978-0-13-045786-8.
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: введение в реальный анализ, Иржи Лебль
• Темы реального и функционального анализа , Джеральд Тешль , Венский университет.