Точка накопления

Точка кластера в топологическом пространстве

В математике предельная точка , точка накопления или точка кластера множества в топологическом пространстве — это точка , которая может быть «аппроксимирована» точками в том смысле, что каждая окрестность относительно топологии on также содержит точку кроме себя. Предельная точка множества сама по себе не обязательно должна быть элементом множества. Существует также тесно связанная концепция последовательностей . Точка кластера или точка накопления последовательности в топологическом пространстве — это такая точка , что для каждой окрестности существует бесконечно много натуральных чисел, таких что Это определение кластера или точки накопления последовательности обобщается на сети и фильтры . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$

Аналогичное название понятия предельная точка последовательности ^[1] (соответственно предельная точка фильтра , ^[2] предельная точка сети ) по определению относится к точке, к которой сходится последовательность (соответственно фильтр сходится к , сеть сходится к ). Важно отметить, что хотя «предельная точка набора» является синонимом «точки кластера/накопления набора», это неверно для последовательностей (а также сетей или фильтров). То есть термин «предельная точка последовательности» не является синонимом «точки кластеризации/накопления последовательности».

Предельные точки множества не следует путать с точками присоединения (также называемыми точками замыкания ), для которых каждая окрестность содержит некоторую точку . В отличие от предельных точек, присоединенная точка может иметь окрестность, не содержащую других точек, кроме нее самой. Предельную точку можно охарактеризовать как точку присоединения, которая не является изолированной точкой . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Предельные точки множества также не следует путать с граничными точками . Например, — граничная точка (но не предельная точка) множества со стандартной топологией . Однако это предельная точка (хотя и не граничная точка) интервала со стандартной топологией (менее тривиальный пример предельной точки см. в первом заголовке). ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и лежит в основе таких понятий, как замкнутое множество и топологическое замыкание . Действительно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, обогащающую множество путем объединения его с его предельными точками.

По отношению к обычной евклидовой топологии последовательность рациональных чисел не имеет предела (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются предельными точками ), а именно. -1 и +1. Таким образом, если рассматривать множества, эти точки являются предельными точками множества. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle S=\{x_{n}\}.}$

Определение

Очки накопления набора

Последовательность, перечисляющая все положительные рациональные числа . Каждое положительное действительное число является точкой кластера.

Пусть — подмножество топологического пространства. Точка в — это предельная точка или точка кластера, или ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$точкой накопления множества , если каждаяокрестностьмножествасодержит хотя бы одну точку множества,отличную отсамой себя. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Не будет никакой разницы, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения «общей окрестности», чтобы получить факты из известной предельной точки.

Если - пространство (например, метрическое пространство ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек из ^[6] . Фактически, пространства характеризуются этим свойством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Если это пространство Фреше – Урысона (которым являются все метрические пространства и пространства с первой счетностью ), то оно является предельной точкой тогда и только тогда, когда существует последовательность точек, предел которой равен . Фактически пространства Фреше – Урысона характеризуются это свойство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$

Множество предельных точек называется производным множеством ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Специальные типы точек накопления набора

Если каждая окрестность содержит бесконечно много точек, то существует особый тип предельной точки, называемый ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ω-точка накопления ${\displaystyle S.}$

Если каждая окрестность содержит бесчисленное множество точек, то существует особый тип предельной точки, называемой точкой конденсации ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Если каждая окрестность такова , что мощность равна мощности, то это особый тип предельной точки, называемый ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$полная точка накопления ${\displaystyle S.}$

Точки накопления последовательностей и сетей

В топологическом пространстве точка называется ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$точка кластера илиточка накопления последовательности , если для каждойокрестностисуществуетбесконечно многотаких, что Это эквивалентно тому, что для каждой окрестностиикаждогосуществует такое, что Ifявляетсяметрическим пространствомилипространством с первой счетностью(или, в более общем смысле, ,пространство Фреше-Урысона), тоявляется точкой кластератогда и только тогда, когдаявляется пределом некоторой подпоследовательности. Множество всех точек кластера последовательности иногда называют предельныммножеством. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности, обозначающее точку , к которой последовательность сходится (то есть каждая окрестность содержит все элементы последовательности, кроме конечного числа). Поэтому мы не используем термин « предельная точка последовательности» как синоним точки накопления последовательности. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть — это функция, где — направленное множество и топологическое пространство. Говорят, что точка – это ${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$точка кластера илиточка накопления сети , если для каждойокрестностиикаждогосуществуеттакое, чтоэквивалентно, еслиимеетподсеть, которая сходится кточкам кластера в сетях, охватывающих идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления. Для фильтровтакже определеныкластеризацияипредельные точки. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{0}\in P,}$ ${\displaystyle p\geq p_{0}}$ ${\displaystyle f(p)\in V,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора

Каждая последовательность в по определению является просто картой, так что ее образ можно определить обычным способом. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• Если существует элемент , который встречается в последовательности бесконечное количество раз, это точка накопления последовательности. Но это не обязательно должна быть точка накопления соответствующего набора. Например, если последовательность представляет собой постоянную последовательность со значением, которое мы имеем, и является изолированной точкой , а не точкой накопления ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечное количество раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является точкой накопления соответствующего набора. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

И наоборот, учитывая счетное бесконечное множество, мы можем перечислить все элементы множеством способов, даже с повторениями, и, таким образом, связать с ним множество последовательностей , которые будут удовлетворять ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Любая точка -накопления является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов и, следовательно, также бесконечно много членов в любой ассоциированной последовательности). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• Точка , которая не является точкой накопления, не может быть точкой накопления любой из связанных последовательностей без бесконечных повторений (поскольку имеет окрестность, содержащую только конечное число (возможно, даже ни одной) точек , и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей). ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой присоединения .

Замыкание множества есть непересекающееся объединение его предельных и изолированных точек ; то есть, ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle I(S)}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Точка является предельной тогда и только тогда, когда она находится в замыкании ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Доказательство

Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки соответствует этому множеству. Теперь является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку, отличную от того, если и только если каждая окрестность содержит точку тогда и только тогда, когда находится в замыкании ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Если мы используем для обозначения множества предельных точек , то мы имеем следующую характеристику замыкания : Замыкание равно объединению и Этот факт иногда принимают за определение замыкания . ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S).}$

Доказательство

(«Левое подмножество») Предположим , находится в замыкании. Если находится в, то все готово. Если не находится в , то каждая окрестность содержит точку и эта точка не может быть Другими словами, является предельной точкой и находится в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S).}$

(«Правое подмножество») Если находится в, то каждая окрестность явно соответствует так находится в замыкании Если находится в, то каждая окрестность содержит точку (кроме ), поэтому снова находится в замыкании Это завершает доказательство. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Следствие из этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. ${\displaystyle S}$

Доказательство

Доказательство 1: замкнуто тогда и только тогда, когда равно его замыканию тогда и только тогда, когда содержится в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S\cup L(S)}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S.}$

Доказательство 2. Пусть — замкнутое множество и предельная точка множества. Если его нет, то дополнение к содержит открытую окрестность. Так как является предельной точкой любой открытой окрестности, оно должно иметь нетривиальное пересечение с. Однако множество не может имеют нетривиальное пересечение со своим дополнением. И наоборот, предположим, что оно содержит все свои предельные точки. Покажем, что дополнение является открытым множеством. Пусть точка в дополнении По предположению не является предельной точкой и, следовательно, существует открытая окрестность , которая не пересекается и, таким образом , полностью лежит в дополнении Поскольку это рассуждение справедливо для произвольного дополнения к дополнению может быть выражено как объединение открытых окрестностей точек дополнения Следовательно, дополнение открыто. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$

Ни одна изолированная точка не является предельной точкой любого множества.

Доказательство

Если — изолированная точка, то это окрестность, не содержащая других точек, кроме ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Пространство дискретно тогда и только тогда, когда ни одно его подмножество не имеет предельной точки. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Доказательство

Если дискретно, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой какого-либо множества. И наоборот, если он не дискретен, то существует синглтон , который не открыт. Следовательно, каждая открытая окрестность содержит точку и поэтому является предельной точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle y\neq x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Если пространство имеет тривиальную топологию и является подмножеством с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками. Если одноэлементное, то каждая точка является предельной точкой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$

Доказательство

Пока он непустой, его замыкание будет таким: Оно пусто только тогда, когда оно пусто или является уникальным элементом ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Смотрите также

• Точка присоединения  - точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Точка конденсации  – более сильный аналог предельной точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Конвергентный фильтр  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Производный набор (математика)  - набор всех предельных точек набора.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Изолированная точка  - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Предел функции  - точка, к которой сходятся функции при анализе.
• Предел последовательности  - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Последующий предел  - предел некоторой подпоследовательности.

Цитаты

1. Дугунджи 1966, стр. 209–210.
2. Бурбаки 1989, стр. 68–83.
3. «Разница между граничной точкой и предельной точкой» . 13 января 2021 г.
4. «Что такое предельная точка» . 13 января 2021 г.
5. «Примеры очков накопления». 13 января 2021 г. Архивировано из оригинала 21 апреля 2021 г. Проверено 14 января 2021 г.
6. Мункрес 2000, стр. 97–102.

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• «Предельная точка множества», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]