Производная

Мгновенная скорость изменения (математика)

Производная — это фундаментальный инструмент исчисления , который количественно определяет чувствительность изменения выходного сигнала функции по отношению к ее входному значению . Производная функции одной переменной при выбранном входном значении, если она существует, представляет собой наклон касательной к графику функции в этой точке. Касательная линия является лучшим линейным приближением функции вблизи этого входного значения. По этой причине производную часто описывают как мгновенную скорость изменения , отношение мгновенного изменения зависимой переменной к скорости изменения независимой переменной. ^[1] Процесс нахождения производной называется дифференцированием .

Существует несколько различных обозначений дифференцирования, два из которых наиболее часто используются — это обозначение Лейбница и обозначение простых чисел. Обозначение Лейбница, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , представляется как отношение двух дифференциалов , тогда как обозначение простых чисел записывается путем добавления штрихового знака . Обозначения более высокого порядка представляют собой повторяющееся дифференцирование, и они обычно обозначаются в обозначениях Лейбница добавлением верхних индексов к дифференциалам, а в обозначениях простых чисел - добавлением дополнительных простых меток. Производные более высокого порядка могут применяться в физике; например, в то время как первая производная положения движущегося объекта по времени — это скорость объекта , то, как положение изменяется с течением времени, вторая производная — это ускорение объекта , то, как скорость меняется с течением времени.

Производные можно обобщить на функции нескольких действительных переменных . В этом обобщении производная интерпретируется как линейное преобразование , график которого (после соответствующего перевода) является лучшим линейным приближением к графику исходной функции. Матрица Якобиана — это матрица , которая представляет это линейное преобразование относительно базиса, заданного выбором независимых и зависимых переменных. Его можно рассчитать через частные производные по независимым переменным. Для вещественной функции нескольких переменных матрица Якобиана сводится к вектору градиента .

Определение

В качестве ограничения

Функция действительной переменной дифференцируема в точке своей области определения , если ее область определения содержит открытый интервал, содержащий , и предел ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$

^[2]действительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |h|<\delta }$ ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle f(a+h)}$

$${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$

абсолютное значение(ε, δ)-определения предела^[3]

Если функция дифференцируема при , то есть если предел существует, то этот предел называется производной от при . Существует несколько обозначений производной. ^[4] Производную от at можно обозначить , читая как « простое число »; или это может быть обозначено , прочитано как «производная относительно at » или « на (или более) at ». См. § Обозначения ниже. Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения , то функцию можно определить путем сопоставления каждой точки со значением производной от at . Эта функция записывается и называется производной функцией или производной от . Функция иногда имеет производную в большинстве, но не во всех точках своей области определения. Функция, значение которой равно всякий раз, когда она определена, а в другом месте не определена, также называется производной . Это по-прежнему функция, но ее область определения может быть меньше области определения . ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Например, пусть будет функция возведения в квадрат: . Тогда частное в определении производной есть ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$

${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle f'(x)=2x}$

Отношение в определении производной — это наклон линии, проходящей через две точки на графике функции , а именно через точки и . По мере уменьшения эти точки сближаются, а наклон этой линии приближается к предельному значению — наклону касательной к графику при . Другими словами, производная — это наклон касательной. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Использование бесконечно малых

Один из способов представить производную — это отношение бесконечно малого изменения выходного сигнала функции к бесконечно малому изменению ее входных данных. ^[8] Чтобы сделать эту интуицию строгой, требуется система правил для манипулирования бесконечно малыми величинами. ^[9] Система гипердействительных чисел — это способ рассмотрения бесконечных и бесконечно малых величин. Гиперреалы являются расширением действительных чисел , которые содержат числа, большие, чем любые числа формы для любого конечного числа членов. Такие числа бесконечны, а их обратные величины бесконечно малы. Применение гипердействительных чисел к основам исчисления называется нестандартным анализом . Это дает возможность определить основные понятия исчисления, такие как производная и интеграл, в терминах бесконечно малых, тем самым придавая точное значение в обозначениях Лейбница. Таким образом, производная становится ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$

стандартную функцию части^[10] ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \operatorname {st} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

Непрерывность и дифференцируемость

Если дифференцируемо при , то должно быть также непрерывно при . ^[11] В качестве примера выберите точку и пусть это будет ступенчатая функция , которая возвращает значение 1 для всех значений меньше , и возвращает другое значение 10 для всех значений, превышающих или равных . Функция не может иметь производную в точке . Если отрицательно, то это нижняя часть ступени, поэтому секущая линия от до очень крутая; поскольку стремится к нулю, наклон стремится к бесконечности. Если положительно, то это верхняя часть ступеньки, поэтому секущая линия от до имеет нулевой наклон. Следовательно, секущие линии не приближаются ни к одному наклону, поэтому предела разностного коэффициента не существует. Однако, даже если функция непрерывна в какой-то точке, она может быть там не дифференцируемой. Например, функция абсолютного значения, заданная выражением , непрерывна в точке , но там она не дифференцируема. Если положительно, то наклон секущей линии от 0 до равен единице; если отрицательно, то наклон секущей линии от до равен . ^[12] Графически это можно увидеть как «перегиб» или «перегиб» на графике в точке . Даже функция с гладким графиком не является дифференцируемой в точке, где ее касательная вертикальна : например, функция, заданная не дифференцируема в точке . Таким образом, функция, имеющая производную, является непрерывной, но существуют непрерывные функции, не имеющие производной. ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}}$ ${\displaystyle x=0}$

Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти в каждой точке. На заре истории исчисления многие математики предполагали, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек. ^[13] В мягких условиях (например, если функция является монотонной или липшицевой ) это действительно так. Однако в 1872 году Вейерштрасс нашел первый пример функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой. Этот пример теперь известен как функция Вейерштрасса . ^[14] В 1931 году Стефан Банах доказал, что множество функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным множеством в пространстве всех непрерывных функций. Неформально это означает, что вряд ли какая-либо случайная непрерывная функция имеет производную хотя бы в одной точке. ^[15]

Обозначения

Одним из распространенных символов производной функции является обозначение Лейбница . Они записываются как частное двух дифференциалов и , ^[16] которые были введены Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1675 году. ^[17] Оно до сих пор широко используется, когда уравнение рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными . Первая производная обозначается , читается как «производная по ». ^[18] Эту производную можно альтернативно рассматривать как применение дифференциального оператора к функции. Высшие производные выражаются с использованием обозначения -й производной от . Это сокращения для многократного применения оператора производной; например, ^[19] В отличие от некоторых альтернатив, нотация Лейбница включает явное указание переменной для дифференцирования в знаменателе, что устраняет неоднозначность при работе с несколькими взаимосвязанными величинами. Производную составной функции можно выразить с помощью цепного правила : если и то ^[20] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x).}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}.}$ ${\displaystyle u=g(x)}$ ${\displaystyle y=f(g(x))}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Другое распространенное обозначение дифференцирования — использование штриха в символе функции . Это известно как простое обозначение , благодаря Жозефу-Луи Лагранжу . ^[21] Первая производная записывается как , читается как « простое число », или , читается как « простое число». ^[22] Аналогично, вторая и третья производные могут быть записаны как и соответственно. ^[23] Для обозначения количества высших производных за пределами этой точки некоторые авторы используют римские цифры в верхнем индексе , тогда как другие помещают число в круглые скобки, например или ^[24] Последнее обозначение обобщается и дает обозначение для -й производной . ^[19] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$ ${\displaystyle f^{(4)}.}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

В обозначениях Ньютона или точечной записи точка ставится над символом, обозначающим производную по времени. Если является функцией , то первую и вторую производные можно записать как и соответственно. Это обозначение используется исключительно для производных по времени или длине дуги . Обычно он используется в дифференциальных уравнениях физики и дифференциальной геометрии . ^[25] Однако точечная запись становится неуправляемой для производных высокого порядка (порядка 4 и более) и не может работать с несколькими независимыми переменными. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Другое обозначение — D-нотация , которая представляет дифференциальный оператор символом ^[19] . Первая производная записывается , а высшие производные записываются с верхним индексом, поэтому -я производная равна. Это обозначение иногда называют обозначением Эйлера , хотя кажется, что Леонард Эйлер не использовал его, а обозначение было введено Луи Франсуа Антуаном Арбогастом . ^[26] Чтобы указать частную производную, переменная, дифференцируемая по, указывается с помощью нижнего индекса, например, для функции, по которой может быть записана ее частная производная , или Высшие частные производные могут быть указаны с помощью верхних индексов или нескольких нижних индексов, например и . ^[27] ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}f(x).}$ ${\displaystyle u=f(x,y),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}u}$ ${\displaystyle D_{x}f(x,y).}$ ${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ ${\textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$

Правила вычислений

В принципе, производную функции можно вычислить на основе определения, рассмотрев разностный коэффициент и вычислив его предел. Если известны производные нескольких простых функций, производные других функций легче вычислить, используя правила получения производных более сложных функций из более простых. Этот процесс нахождения производной известен как дифференцирование . ^[28]

Правила для основных функций

Ниже приведены правила для производных наиболее распространенных основных функций. Здесь – действительное число, а – математическая константа примерно 2,71828 . ^[29] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• Производные полномочий :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• Функции экспоненты , натурального логарифма и логарифма с общим основанием :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$, для ${\displaystyle a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$, для ${\displaystyle x>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$, для ${\displaystyle x,a>0}$

• Тригонометрические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• Обратные тригонометрические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, для ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, для ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Правила для совмещенных функций

Учитывая, что и являются функциями. Ниже приведены некоторые из самых основных правил вывода производной функции из производных основных функций. ^[30] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• Постоянное правило : если постоянно, то для всех , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Правило суммы :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$для всех функций и всех действительных чисел и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

• Правило продукта :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$для всех функций и . В качестве особого случая это правило включает в себя тот факт, что всякий раз, когда является константой, потому что согласно правилу константы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$

• Правило частностей :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ для всех функций и на всех входах, где g ≠ 0 . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• Цепное правило для составных функций : Если, то ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

Пример расчета

Производная функции, заданной выражением, равна ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$

правила цепочкиправила произведения ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle 7}$

Производные высшего порядка

Производные более высокого порядка означают, что функция дифференцируется неоднократно. Учитывая, что это дифференцируемая функция, производная от является первой производной, обозначаемой как . Производная - это вторая производная , обозначаемая как , а производная от - это третья производная , обозначаемая как . Продолжая этот процесс, если он существует, -ю производную как производную -й производной или производную порядка . Как обсуждалось выше, обобщение производной функции можно обозначить как . ^[31] Функция, имеющая последовательные производные, называется дифференцируемой по времени . Если -я производная непрерывна, то говорят, что функция принадлежит классу дифференцируемости . ^[32] Функция, имеющая бесконечное число производных, называется бесконечно дифференцируемой или гладкой . ^[33] Одним из примеров бесконечно дифференцируемой функции является полиномиальная ; дифференцирование этой функции многократно приводит к постоянной функции , а все бесконечно последующие производные этой функции равны нулю. ^[34] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

В одном из приложений производные более высокого порядка могут иметь специфическую интерпретацию в физике . Предположим, что функция представляет положение объекта в данный момент. Первая производная этой функции — это скорость объекта по времени, вторая производная функции — это ускорение объекта по времени ^[28] , а третья производная — это рывок . ^[35]

В других измерениях

Векторные функции

Вектор -функция действительной переменной переводит действительные числа в векторы в некотором векторном пространстве . Вектор-функцию можно разбить на координатные функции , то есть . Сюда входят, например, параметрические кривые в или . Координатные функции являются вещественными функциями, поэтому к ним применимо приведенное выше определение производной. Производная определяется как вектор , называемый касательным вектором , координаты которого являются производными координатных функций. То есть ^[36] ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$

^[36] ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Частные производные

Функции могут зависеть от более чем одной переменной . Частная производная функции нескольких переменных — это ее производная по одной из этих переменных, при этом остальные остаются постоянными. Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии . Как и в случае с обычными производными, существует несколько обозначений: частная производная функции по переменной обозначается по-разному: ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$, , , , или , ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

среди других возможностей. ^[37] Его можно рассматривать как скорость изменения функции в -направлении . ^[38] Здесь ∂ — это округленный d, называемый символом частной производной . Чтобы отличить его от буквы d , ∂ иногда произносится как «der», «del» или «partial» вместо «dee». ^[39] Например, пусть , тогда частная производная функции по обеим переменным и равна соответственно: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$

^[40] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

Это имеет основополагающее значение для изучения функций нескольких действительных переменных . Пусть — такая вещественная функция . Если все частные производные по определены в точке , эти частные производные определяют вектор ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$

$${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$

градиентомвекторную функциювекторное поле^[41] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$

Производные по направлению

Если – действительная функция от , то частные производные измеряют ее изменение в направлении осей координат. Например, если является функцией и , то ее частные производные измеряют изменение в направлении и . Однако они не измеряют напрямую изменение в любом другом направлении, например, вдоль диагональной линии . Они измеряются с использованием производных по направлению. Выберите вектор , тогда производная по направлению в направлении в точке равна: ^[42] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Если все частные производные существуют и непрерывны при , то они определяют производную по направлению по формуле: ^[43] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

Полная производная, полный дифференциал и матрица Якобиана

Если функция принадлежит открытому подмножеству to , то производная от по направлению в выбранном направлении является лучшим линейным приближением к в этой точке и в этом направлении. Однако при , ни одна производная по направлению не может дать полную картину поведения . Полная производная дает полную картину, рассматривая все направления одновременно. То есть для любого вектора, начинающегося с , справедлива формула линейной аппроксимации: ^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$

^[44] ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$

^[44]продвижением^[45] ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$

Если полная производная существует в , то все частные производные и производные по направлению существуют в , и для всех является производной по направлению в направлении . Если записано с использованием координатных функций, так что , то полную производную можно выразить с помощью частных производных в виде матрицы . Эта матрица называется матрицей Якобиана at : ^[46 ] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$

Обобщения

Понятие дериватива можно распространить на многие другие ситуации. Общей нитью является то, что производная функции в точке служит линейным приближением функции в этой точке.

• Важное обобщение производной касается комплексных функций комплексных переменных , таких как функции из (области определения) комплексных чисел в . Понятие производной такой функции получается заменой в определении вещественных переменных комплексными. ^[47] Если отождествляется с записью комплексного числа как , то дифференцируемая функция от до , безусловно, дифференцируема как функция от до (в том смысле, что все ее частные производные существуют), но обратное в общем случае неверно: Комплексная производная существует только в том случае, если действительная производная является комплексной линейной , и это накладывает отношения между частными производными, называемые уравнениями Коши – Римана – см. голоморфные функции . ^[48] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Другое обобщение касается функций между дифференцируемыми или гладкими многообразиями . Интуитивно говоря, такое многообразие — это пространство, которое может быть аппроксимировано вблизи каждой точки векторным пространством, называемым его касательным пространством : прототипным примером является гладкая поверхность в . Производная (или дифференциал) (дифференцируемого) отображения между многообразиями в точке в тогда является линейным отображением из касательного пространства at в касательное пространство at . Производная функция становится отображением между касательными расслоениями и . Это определение используется в дифференциальной геометрии . ^[49] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• Дифференциация также может быть определена для карт векторного пространства , такого как банахово пространство , в котором этими обобщениями являются производная Гато и производная Фреше . ^[50]
• Одним из недостатков классической производной является то, что очень многие функции не дифференцируемы. Тем не менее, существует способ расширить понятие производной, чтобы все непрерывные функции и многие другие функции можно было дифференцировать, используя концепцию, известную как слабая производная . Идея состоит в том, чтобы встроить непрерывные функции в большее пространство, называемое пространством распределений , и потребовать, чтобы функция была дифференцируемой только «в среднем». ^[51]
• Свойства производной вдохновили на введение и изучение многих подобных объектов в алгебре и топологии; примером является дифференциальная алгебра . Здесь он состоит из вывода некоторых тем абстрактной алгебры, таких как кольца , идеалы , поля и так далее. ^[52]
• Дискретным эквивалентом дифференцирования являются конечные разности . Изучение дифференциального исчисления объединено с исчислением конечных разностей в исчислении шкалы времени . ^[53]
• Арифметическая производная включает в себя функцию, которая определяется для целых чисел путем простой факторизации . Это аналогия с правилом продукта. ^[54]

Смотрите также

• интеграл

Примечания

1. Стюарт 2002, с. 129–130.
2. Стюарт 2002, с. 127; Стрэнг и др. 2023, с. 220.
3. Гоник 2012, с. 83.
4. Гоник 2012, с. 88; Стрэнг и др. 2023, с. 234.
5. Гоник 2012, с. 83; Стрэнг и др. 2023, с. 232.
6. Гоник 2012, стр. 77–80.
7. Томпсон 1998, стр. 34, 104; Стюарт 2002, с. 128.
8. Томпсон 1998, стр. 84–85.
9. Кейслер 2012, стр. 902–904.
10. Кейслер 2012, с. 45; Хенле и Кляйнберг 2003, с. 66.
11. Гоник 2012, с. 156.
12. Гоник 2012, с. 149.
13. Яшек 1922; Ярник 1922; Рыхлик 1923.
14. Дэвид 2018.
15. Банах 1931, цитируется по Hewitt & Stromberg 1965.
16. Апостол 1967, с. 172.
17. Каджори 2007, с. 204.
18. Мур и Сигел 2013, с. 110.
19. Варберг, Перселл и Ригдон 2007, стр. 125–126.
20. При формулировке исчисления в терминах пределов разные авторы придавали этому символу различные значения. Некоторые авторы, такие как Варберг, Перселл и Ригдон 2007, с. 119 и Стюарт 2002, с. 177 не придают значения самому себе, а лишь как часть символа . Другие определяют как независимую переменную и определяют по ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle du}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$
    $${\displaystyle du=dxf'(x).}$$
    В нестандартном анализе определяется как бесконечно малая величина. Его также интерпретируют как внешнюю производную функции . См. дифференциал (бесконечно малый) для получения дополнительной информации. ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle u}$
21. Шварцман 1994, с. 171.
22. Мур и Сигел 2013, с. 110; Гудман 1963, с. 78–79.
23. Варберг, Перселл и Ригдон 2007, стр. 125–126; Каджори 2007, с. 228.
24. Чоудари и Никулеску 2014, с. 222; Апостол 1967, с. 171.
25. Эванс 1999, с. 63; Крейциг 1991, с. 1.
26. Каджори 1923.
27. Апостол 1967, с. 172; Варберг, Перселл и Ригдон 2007, с. 125–126.
28. Апостол 1967, с. 160.
29. Варберг, Перселл и Ригдон, 2007. См. стр. 133 для правила власти, с. 115–116 для тригонометрических функций, с. 326 для натурального логарифма, с. 338–339 для экспоненты с основанием , с. 343 для экспоненты с основанием , с. 344 для логарифма с основанием и стр. 369 для обратных тригонометрических функций. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$
30. О постоянном правиле и правиле сумм см. Apostol 1967, p. 161, 164 соответственно. О правиле произведения, правиле частного и правиле цепочки см. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 111–112, 119 соответственно. О частном случае правила произведения, то есть о произведении константы и функции, см. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 108–109.
31. Апостол 1967, с. 160; Варберг, Перселл и Ригдон 2007, с. 125–126.
32. Уорнер 1983, стр. 5.
33. Дебнат и Шах 2015, стр. 40.
34. Карозерс 2000, с. 176.
35. Стюарт 2002, с. 193.
36. Стюарт 2002, стр. 893.
37. Стюарт 2002, с. 947; Кристофер 2013, с. 682.
38. Стюарт 2002, с. 949.
39. Сильверман 1989, с. 216; Бхардвадж 2005, см. стр. 6.4.
40. Матай и Хаубольд, 2017, с. 52.
41. Гбур 2011, стр. 36–37.
42. Варберг, Перселл и Ригдон 2007, стр. 642.
43. Гузман 2003, с. 35.
44. Давваз 2023, с. 266.
45. Ли 2013, с. 72.
46. Давваз 2023, с. 267.
47. Руссос 2014, с. 303.
48. Гбур 2011, стр. 261–264.
49. Грей, Аббена и Саламон 2006, с. 826.
50. Азегами 2020. См. с. 209 для производной Гато и с. 211 для производной Фреше.
51. Фунаро 1992, с. 84–85.
52. Колчин 1973, с. 58, 126.
53. Георгиев 2018, с. 8.
54. Барбо 1961.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (июнь 1967 г.), Calculus, Vol. 1: Исчисление с одной переменной и введение в линейную алгебру , том. 1 (2-е изд.), Уайли, ISBN 978-0-471-00005-1
• Азегами, Хидеюки (2020), Проблемы оптимизации формы, оптимизация Springer и ее приложения, том. 164, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-981-15-7618-8, ISBN 978-981-15-7618-8
• Банах, Стефан (1931), «Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen», Studia Math. , 3 (3): 174–179, doi : 10,4064/см-3-1-174-179 .
• Барбо, Э.Дж. (1961). «Замечания об арифметической производной». Канадский математический бюллетень . 4 (2): 117–122. дои : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Збл  0101.03702.
• Бхардвадж, Р.С. (2005), Математика для экономики и бизнеса (2-е изд.), Excel Books India, ISBN 9788174464507
• Каджори, Флориан (1923), «История обозначений исчисления», Annals of Mathematics , 25 (1): 1–46, doi : 10.2307/1967725, hdl : 2027/mdp.39015017345896 , JSTOR  1967725
• Каджори, Флориан (2007), История математических обозначений, том. 2, Классика Козимо, ISBN 978-1-60206-713-4
• Карозерс, Нидерланды (2000), Реальный анализ , Издательство Кембриджского университета
• Чоудари, АДР; Никулеску, Константин П. (2014), Реальный анализ интервалов , Springer India, doi : 10.1007/978-81-322-2148-7, ISBN 978-81-322-2148-7
• Кристофер, Эссекс (2013), Исчисление: полный курс , с. 682, ISBN 9780321781079, OCLC  872345701
• Курант, Ричард ; Джон, Фриц (22 декабря 1998 г.), Введение в исчисление и анализ, Vol. 1 , Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4613-8955-2, ISBN 978-3-540-65058-4
• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность графика функции Вейерштрасса», Труды Международного центра геометрии АН Украины, 11 (2): 53 –68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Давваз, Бижан (2023), Векторы и функции нескольких переменных , Springer, doi : 10.1007/978-981-99-2935-1, ISBN 978-981-99-2935-1
• Дебнат, Локенат; Шах, Фирдоус Ахмад (2015), Вейвлет-преобразования и их приложения (2-е изд.), Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8418-1, ISBN 978-0-8176-8418-1
• Эванс, Лоуренс (1999), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2
• Ивс, Ховард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-029558-4
• Фунаро, Даниэле (1992), Полиномиальная аппроксимация дифференциальных уравнений, Конспекты лекций в монографиях по физике, том. 8, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-540-46783-0, ISBN 978-3-540-46783-0
• Гбур, Грег (2011), Математические методы оптической физики и техники , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-139-49269-0
• Георгиев, Светлин Г. (2018), Дробное динамическое исчисление и дробные динамические уравнения на временных масштабах, Springer, doi : 10.1007/978-3-319-73954-0, ISBN 978-3-319-73954-0
• Гудман, AW (1963), Аналитическая геометрия и исчисление, The MacMillan Company
• Гоник, Ларри (2012), Мультяшное руководство по исчислению, Уильям Морроу, ISBN 978-0-06-168909-3
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, CRC Press, ISBN 978-1-58488-448-4
• Гузман, Альберто (2003), Производные и интегралы функций многих переменных, Springer, doi : 10.1007/978-1-4612-0035-2, ISBN 978-1-4612-0035-2
• Хенле, Джеймс М.; Кляйнберг, Юджин М. (2003), Исчисление бесконечно малых , Dover Publications, ISBN 978-0-486-42886-4
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл Р. (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, теорема 17.8, doi : 10.1007/978-3-662-29794-0, ISBN 978-3-662-28275-5
• Яшек, Мартин (1922), «Funkce Bolzanova» (PDF) , Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (на чешском языке), 51 (2): 69–76
• Ярник, Войтех (1922), «O funkci Bolzanově» (PDF) , Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (на чешском языке), 51 (4): 248–264. Смотрите английскую версию здесь.
• Кейслер, Х. Джером (2012) [1986], Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых (2-е изд.), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 978-0-871-50911-6
• Колчин, Эллис (1973), Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, Academic Press, ISBN 978-0-08-087369-5
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Дувр , ISBN 0-486-66721-9
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Ли, Джон М. (2013), Введение в гладкие многообразия , Тексты для аспирантов по математике, том. 218, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-0-387-21752-9, ISBN. 978-0-387-21752-9
• Матай, AM; Хаубольд, Х.Дж. (2017), Дробное исчисление и многомерное исчисление: проблемы построения и оптимизации моделей, Springer, doi : 10.1007/978-3-319-59993-9, ISBN 978-3-319-59993-9
• Мур, Уилл Х.; Сигел, Дэвид А. (2013), Математический курс политических и социальных исследований, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-15995-9
• Руссос, Иоаннис М. (2014), Неправильный интеграл Римана, CRC Press , ISBN 978-1-4665-8807-3
• Рыхлик, Карел (1923), Über eine Funktion aus Bolzanos Handschriftlichem Nachlasse
• Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке, Американская математическая ассоциация, ISBN 9781614445012
• Сильверман, Ричард А. (1989), Основы исчисления: с приложениями , ISBN 9780486660974
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Исчисление (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-534-39339-7
• Стрэнг, Гилберт ; и другие. (2023), Исчисление, том 1, OpenStax, ISBN 978-1-947172-13-5
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (пересмотренное, обновленное, расширенное издание), Нью-Йорк: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0
• Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007), Исчисление (9-е изд.), Пирсон Прентис Холл , ISBN 978-0131469686
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Springer, ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

• «Производная», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Академия Хана : «Ньютон, Лейбниц и Усэйн Болт»
• Вайсштейн, Эрик В. «Производная». Математический мир .
• Онлайн-калькулятор производных от Wolfram Alpha .