Почти везде

Всюду, кроме множества меры нуль

Функция 1/x дифференцируема и непрерывна почти всюду, точнее, всюду, кроме точки x = 0 .

В теории меры (раздел математического анализа ) свойство сохраняется почти везде , если в техническом смысле множество, для которого это свойство имеет место, охватывает почти все возможности. Понятие «почти всюду» является сопутствующим понятию меры ноль и аналогично понятию почти наверняка в теории вероятностей .

Точнее, свойство выполняется почти везде, если оно выполняется для всех элементов набора, кроме подмножества нулевой меры, ^{[1] [2]} или, что то же самое, если набор элементов, для которых это свойство выполняется, — conull . В случаях, когда мера не является полной , достаточно, чтобы множество содержалось внутри множества нулевой меры. При обсуждении множеств действительных чисел обычно предполагается мера Лебега , если не указано иное.

Термин почти везде сокращается ae ; ^[3] в более старой литературе используется pp для обозначения эквивалентной французской фразы presque partout . ^[4]

Множество с полной мерой — это множество, дополнение которого имеет нулевую меру. В теории вероятностей термины « почти наверняка» , «почти наверняка » и «почти всегда» относятся к событиям с вероятностью 1, не обязательно включая все исходы. Это и есть множества полной меры в вероятностном пространстве.

Иногда вместо того, чтобы сказать, что свойство справедливо почти везде, говорят, что это свойство справедливо почти для всех элементов (хотя термин « почти все» может иметь и другие значения).

Определение

Если пространство с мерой, то говорят, что свойство выполняется почти всюду, если существует множество с и все они обладают этим свойством . ^[5] Другой распространенный способ выразить то же самое — сказать, что «почти каждый пункт удовлетворяет » или что «почти для каждого выполняется ». ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle x\in X\setminus N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

Не обязательно , чтобы множество имело меру 0; оно может не принадлежать . По приведенному выше определению достаточно, чтобы оно содержалось в некотором измеримом множестве и имело меру 0. ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle N}$

Характеристики

• Если собственность справедлива почти везде и подразумевает собственность , то собственность справедлива почти везде. Это следует из монотонности мер. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$
• Если — конечная или счетная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их соединение выполняется почти всюду. Это следует из счетной субаддитивности мер. ${\displaystyle (P_{n})}$ ${\displaystyle \forall nP_{n}}$
• Напротив, если это несчетное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их соединение не обязательно выполняется почти всюду. Например, если является мерой Лебега и является свойством не быть равным (т.е. верно тогда и только тогда, когда ), то каждое из них выполняется почти всюду, но конъюнкция нигде не выполняется. ${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{x}(y)}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$

Вследствие первых двух свойств часто можно рассуждать о «почти каждой точке» пространства меры, как если бы это была обычная точка, а не абстракция. ^{[ нужна цитата ]} Это часто делается неявно в неформальных математических аргументах. Однако следует быть осторожным с этим способом рассуждения из-за третьего пункта выше: универсальная квантификация бесчисленных семейств утверждений действительна для обычных точек, но не для «почти каждой точки».

Примеры

• Если f  : R → R — интегрируемая по Лебегу функция и почти всюду, то ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$
  для всех действительных чисел равенство тогда и только тогда, когда почти всюду. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(x)=0}$
• Если f  : [ a , b ] → R — монотонная функция , то f дифференцируема почти всюду.
• Если f  : R → R измеримо по Лебегу и
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$
  для всех действительных чисел существует набор E (зависящий от f ) такой, что, если x находится в E , среднее Лебега ${\displaystyle a<b}$
  $${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$
  сходится к f ( x ) при уменьшении до нуля. Множество E называется множеством Лебега функции f . Можно доказать, что его дополнение имеет нулевую меру. Другими словами, среднее Лебега функции f сходится к f почти всюду. ${\displaystyle \epsilon }$
• Ограниченная функция f  : [ a , b ] → R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду.
• Любопытно, что десятичное разложение почти каждого действительного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира , закодированный в ASCII ; аналогично для любой другой последовательности конечных цифр, см. Нормальное число .

Определение с помощью ультрафильтров

Вне контекста реального анализа понятие свойства, истинного почти всюду, иногда определяется в терминах ультрафильтра . Ультрафильтр на множестве X — это максимальный набор F подмножеств X такой, что:

1. Если U ∈ F и U ⊆ V , то V ∈ F
2. Пересечение любых двух множеств из F находится в F
3. Пустое множество не находится в F

Свойство P точек в X выполняется почти всюду относительно ультрафильтра F , если множество точек, для которых выполняется P , находится в F.

Например, одна конструкция гипердействительной системы счисления определяет гипердействительное число как класс эквивалентности последовательностей, которые равны почти всюду, как это определено ультрафильтром.

Определение почти всюду в терминах ультрафильтров тесно связано с определением в терминах мер, поскольку каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где множество имеет меру 1 тогда и только тогда, когда оно включено. в ультрафильтре.

Смотрите также

• Функция Дирихле — функция, почти всюду равная 0.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Почти везде». mathworld.wolfram.com . Проверено 19 ноября 2019 г.
2. Халмос, Пол Р. (1974). Теория меры. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
3. «Определение почти везде | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 19 ноября 2019 г.
4. Урселл, HD (1 января 1932 г.). «О сходимости почти всюду ряда Радемахера и сумм Бохнерфейера функции, почти периодической по Степанову». Труды Лондонского математического общества . с2-33(1): 457–466. дои : 10.1112/plms/s2-33.1.457. ISSN  0024-6115.
5. «Свойства, которые есть почти везде - Матонлайн» . mathonline.wikidot.com . Проверено 19 ноября 2019 г.

Библиография

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-00710-2.