е (математическая константа)

2,71828..., основание натуральных логарифмов

Постоянное значение, используемое в математике

График уравнения y = 1/ x . Здесь e — уникальное число больше 1, которое делает заштрихованную область под кривой равной 1.

Число е — это математическая константа, примерно равная 2,71828, которую можно охарактеризовать разными способами. Это основание натуральных логарифмов . Это предел (1 + 1/ n ) n ^, когда n приближается к бесконечности, выражение, которое возникает при вычислении сложных процентов . Его также можно рассчитать как сумму бесконечного ряда

$${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

Это также уникальное положительное число a такое, что график функции y = a ^x имеет наклон 1 в точке x = 0 .

(Естественная) экспоненциальная функция f ( x ) = e ^x — это уникальная функция f , равная собственной производной и удовлетворяющая уравнению f (0) = 1 ; следовательно, можно также определить e как f (1) . Натуральный логарифм или логарифм по основанию e является функцией, обратной натуральной показательной функции. Натуральный логарифм числа k > 1 можно определить непосредственно как площадь под кривой y = 1/ x между x = 1 и x = k , и в этом случае e — это значение k , для которого эта площадь равна 1 (см. изображение). Есть и другие характеристики.

Число e иногда называют числом Эйлера в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера , хотя это может привести к путанице с константой Эйлера , обычно обозначаемой другой константой . В качестве альтернативы e можно назвать константой Непера в честь Джона Непера . ^{[2] [3]} Константа была открыта швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении сложных процентов. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \gamma }$

Число e имеет большое значение в математике ^[6] наряду с 0, 1, π и i . Все пять фигурируют в одной формулировке личности Эйлера и играют важную и повторяющуюся роль в математике. ^{[7] [8]} Как и константа π , e иррациональна , то есть ее нельзя представить как отношение целых чисел, и, более того, она трансцендентна , то есть не является корнем какого-либо ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. ^[3] До 40 десятичных знаков значение e равно: ^[1] ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572...

История

Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе по логарифмам Джона Непера . Однако там содержалась не сама константа, а просто список логарифмов по основанию ${\displaystyle e}$ . Предполагается, что таблицу написал Уильям Отред . В 1661 году Христиан Гюйгенс изучал, как вычислять логарифмы геометрическими методами, и вычислил величину, которая, в ретроспективе, является логарифмом е по основанию 10 , но он не признавал само е как интересующую величину. ^{[5] [9]}

Сама константа была введена Якобом Бернулли в 1683 году для решения проблемы непрерывного начисления процентов. ^{[10] [11]} В его решении константа e встречается как предел

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

n ${\displaystyle n=12}$

Первым символом, использованным для этой константы, была буква b Готфрида Лейбница в письмах Христиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 годах. ^[12]

Леонард Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о взрывных силах в пушках ^[13] и в письме Кристиану Гольдбаху от 25 ноября 1731 года. ^{[14] [15]} Первое появление е в печатном издании было в «Механике» Эйлера ( 1736 г.). ^[16] Неизвестно, почему Эйлер выбрал букву е . ^[17] Хотя некоторые исследователи в последующие годы использовали букву « с» , буква « е» была более распространенной и со временем стала стандартной. ^[2]

Эйлер доказал, что e есть сумма бесконечного ряда

$${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

н ! факториалом_ ^[5]биномиальной теоремы^[18]

Приложения

Сложные проценты

Эффект получения 20% годовых процентов на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов. Ограничивающая кривая сверху — это график , где y — в долларах, t — в годах, а 0,2 = 20%. ${\displaystyle y=1000e^{0.2t}}$

Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах: ^[5]

Счет начинается с 1 доллара США и выплачивает 100 процентов в год. Если проценты зачисляются один раз, в конце года, стоимость счета на конец года составит 2,00 доллара США. Что произойдет, если проценты будут начисляться и начисляться чаще в течение года?

Если проценты начисляются дважды в году, процентная ставка за каждые 6 месяцев составит 50%, поэтому первоначальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара США × 1,5 ² = 2,25 доллара США в конце года. Сложная квартальная доходность $1,00 × 1,25 ⁴ = $2,44140625 и ежемесячная доходность $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035... . Если существует n интервалов начисления сложных процентов, проценты для каждого интервала будут составлять 100%/ n , а стоимость на конец года составит 1,00 доллара США ×  (1 + 1/ n ) ⁿ . ^{[19] [20]}

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующая сила ) с большим n и, следовательно, с меньшими интервалами начисления процентов. ^[5] Еженедельное начисление сложных процентов ( n = 52 ) приносит 2,692596 долларов США..., а дневное начисление процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США... (примерно на два цента больше). Пределом увеличения n является число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении процентов стоимость счета достигнет 2,718281828 долларов США... В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара США и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет будет приносить e ^Rt долларов при непрерывном начислении процентов. Здесь R — десятичный эквивалент процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% годовых R = 5/100 = 0,05 . ^{[19] [20]}

испытания Бернулли

Графики вероятности P ненаблюдения независимых событий, каждый из которых имеет вероятность 1 / n после n испытаний Бернулли и 1 − P  vs n  ; можно заметить, что по мере увеличения n вероятность того, что 1/ n -случайное событие никогда не появится после n попыток, быстро сходится к 1/ e .

Само число e также имеет приложения в теории вероятностей , причем это не связано явно с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, выплата которого осуществляется с вероятностью один из n , и играет в него n раз. По мере увеличения n вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, приближается к 1/ e . Для n = 20 это уже примерно 1/2,789509....

Это пример судебного процесса по делу Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, его шанс на выигрыш составляет один из n . Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность победы k раз из n испытаний равна: ^[21]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

В частности, вероятность выигрыша ноль раз ( k = 0 ) равна

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Предел приведенного выше выражения, поскольку n стремится к бесконечности, равен точно 1/ e .

Экспоненциальный рост и упадок

Экспоненциальный рост — это процесс, который увеличивает количество с течением времени с постоянно возрастающей скоростью. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по времени пропорциональна самой величине. ^[20] Описанная как функция, величина, претерпевающая экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является показателем степени (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Если константа пропорциональности отрицательна, то величина уменьшается с течением времени и вместо этого говорят, что она претерпевает экспоненциальное затухание . Закон экспоненциального роста можно записать в разных, но математически эквивалентных формах, используя другое основание , для которого число e является обычным и удобным выбором:

$${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$

xke ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение с нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение ^[22] , определяемое функцией плотности вероятности.

$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

Ограничение единичного стандартного отклонения (и, следовательно, также единичной дисперсии) приводит к1/2в показателе степени, а ограничение общей площади единицы под кривой приводит к коэффициенту . Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает своего максимального значения , и имеет точки перегиба при x = ±1 . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Расстройства

Другое применение е , также частично открытое Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмором , находится в задаче о психических расстройствах , также известной как проблема проверки шляпы : ^[23] n гостей приглашаются на вечеринку, и у дверей все гости проверяют свои шляпы у дворецкого, который, в свою очередь, складывает шляпы в n коробок, на каждой из которых указано имя одного гостя. Но дворецкий не спросил личности гостей и сложил шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монмора состоит в том, чтобы найти вероятность того, что ни одна шляпа не окажется в нужной коробке. Эта вероятность, обозначаемая , равна: ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Когда n стремится к бесконечности, p _n приближается к 1/ e . Более того, количество способов разместить шляпы в коробках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в нужной коробке, равно n !/ e , округленному до ближайшего целого числа, для каждого положительного  n . ^[24]

Задачи оптимального планирования

Максимальное значение имеет место при . Эквивалентно, для любого значения базы b > 1 максимальное значение возникает при ( проблема Штейнера , обсуждаемая ниже). ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x=e}$ ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=e}$

Это полезно в задаче о палке длиной L , разбитой на n равных частей. Тогда значение n , которое максимизирует произведение длин, равно ^[25]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$или ${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

Количество также является мерой информации, полученной из события, происходящего с вероятностью , так что, по существу, то же самое оптимальное разделение появляется в задачах оптимального планирования, таких как задача секретаря . ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle 1/x}$

Асимптотика

Число е естественным образом возникает в связи со многими задачами, связанными с асимптотикой . Примером может служить формула Стирлинга для асимптотики факториальной функции , в которой фигурируют оба числа e и π : ^[26]

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Как следствие, ^[26]

$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

Характеристики

Исчисление

Графики функций x ↦ a ^x показаны для a = 2 (пунктир), a = e (синий) и a = 4 (пунктир). Все они проходят через точку (0,1) , но красная линия (которая имеет наклон 1 ) касается только этой ^точки .

Значение функции натурального логарифма для аргумента e , т.е. ln e , равно 1.

Основной мотивацией введения числа е , особенно в исчислении , является выполнение дифференциальных и интегральных исчислений с показательными функциями и логарифмами . ^[27] Общая показательная функция y = a ^x имеет производную, определяемую пределом :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом a по основанию e . Таким образом, когда значение a установлено равным e , этот предел равен 1 , и таким образом можно прийти к следующему простому тождеству:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Следовательно, показательная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от какого-либо другого числа) в качестве основы показательной функции значительно упрощает вычисления с производными.

Другая мотивация исходит из рассмотрения производной логарифма по основанию ( т. е. log _a x ), ^[27] для  x > 0 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

где была сделана замена u = h / x . Логарифм по основанию а равен 1 , если а равно е . Так символично,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, поскольку не существует неопределенного предела для проведения вычислений.

Таким образом, существует два способа выбора таких специальных чисел a . Один из способов — установить производную экспоненциальной функции a ^x равной a ^x и найти a . Другой способ — установить производную логарифма по основанию равной 1/ x и найти a . В каждом случае приходим к удобному выбору базы для проведения вычислений. Оказывается, что эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .

Пять цветных областей имеют одинаковую площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы. ${\displaystyle xy=1.}$

Ряд Тейлора для показательной функции можно вывести из того факта, что показательная функция является собственной производной и равна 1 при оценке в 0: ^[28]

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

e ${\displaystyle x=1}$

Функцию натурального логарифма можно определить как интеграл от 1 до , а экспоненциальную функцию затем можно определить как обратную функцию натурального логарифма. Число e — это значение экспоненциальной функции, оцененной в или, что то же самое, число, натуральный логарифм которого равен 1. Отсюда следует, что e — уникальное положительное действительное число такое, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

Поскольку e ^x — единственная функция ( с точностью до умножения на константу K ), равная своей производной ,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

следовательно, это также и его собственная первообразная : ^[29]

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

Эквивалентно, семейство функций

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

где K — любое действительное или комплексное число, является полным решением дифференциального уравнения.

$${\displaystyle y'=y.}$$

Неравенства

Показательные функции y = 2 ^x и y = 4 ^x пересекают график y = x + 1 соответственно в точках x = 1 и x = -1/2 . Число e является единственной базой, такой что y = e ^x пересекается только в точке x = 0 . Мы можем заключить, что e находится между 2 и 4.

Число e — это уникальное действительное число такое, что

$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

x^[30]

Также имеем неравенство

$${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

xx = 0ea ^x ≥ x + 1x^[31]неравенства Бернулли

Экспоненциальные функции

Глобальный максимум x √ x происходит при ^x = e .

Задача Штейнера требует найти глобальный максимум функции.

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

Этот максимум возникает именно в точке x = e . (Можно проверить, что производная ln f ( x ) равна нулю только для этого значения  x .)

Аналогично, x = 1/ e — это место, где происходит глобальный минимум функции

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

Бесконечная тетрация

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$или ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

сходится тогда и только тогда, когда x ∈ [(1/ e ) ^e , e1 ^{/ e} ] ≈ [0,06599, 1,4447] , ^{[32] [33],} как это показано теоремой Леонарда Эйлера . ^{[34] [35] [36]}

Теория чисел

Действительное число e иррационально . Эйлер доказал это, показав, что его простое разложение в цепную дробь не заканчивается. ^[37] (См. также доказательство Фурье иррациональности e . )

Кроме того , по теореме Линдеманна-Вейерштрасса e является трансцендентным , что означает, что оно не является решением какого-либо ненулевого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентность которого была доказана, хотя оно не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году. ^[38]

Предполагается, что e является нормальным , что означает, что когда e выражается в любой базе , возможные цифры в этой базе распределены равномерно (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины). ^[39]

В алгебраической геометрии период — это число, которое можно выразить как интеграл от алгебраической функции в алгебраической области . Константа π является периодом, но предполагается, что e таковым не является. ^[40]

Комплексные числа

Показательную функцию ex можно записать в виде ^ряда Тейлора

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

^{Поскольку} этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения ex до комплексных чисел. ^[41] Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

которое справедливо для любого комплексного x . ^[41] Особым случаем с x = π является тождество Эйлера :

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$

математической красотыдоказательстве трансцендентности числачтоквадратуры круга^{[42] [43]}главной ветви^[41]

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

Кроме того, используя законы возведения в степень,

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}$$

это формула Муавра . ^[44]

Выражения cos x и sin x через показательную функцию можно вывести из ряда Тейлора: ^[41]

$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

Выражение иногда сокращается как cis( x ) . ^[44] ${\textstyle \cos x+i\sin x}$

Представительства

Число e можно представить по-разному: в виде бесконечного ряда , бесконечного произведения , непрерывной дроби или предела последовательности . Кроме предела и ряда, приведенных выше, существует еще цепная дробь

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[45] [46]}

что записано, выглядит так

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Следующее бесконечное произведение имеет значение e : ^[25]

$${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

Было доказано множество других представлений e в виде рядов, последовательностей, непрерывных дробей и бесконечных произведений .

Стохастические представления

Помимо точных аналитических выражений для представления e , существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X ₁ , X ₂ ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V — наименьшее число n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

Тогда ожидаемое значение V равно e : E( V ) = e . ^{[47] [48]}

Известные цифры

Количество известных цифр е существенно увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с возросшей производительностью компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов. ^{[49] [50]}

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров позволило любителям вычислять триллионы цифр е за приемлемые промежутки времени. 5 декабря 2020 года был произведен рекордный расчет: e составило 31 415 926 535 897 (приблизительно π × 10¹³ ) цифры. ^[58]

Вычисление цифр

Один из способов вычислить цифры e — использовать ряд ^[59]

$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

Более быстрый метод включает в себя две рекурсивные функции и . Функции определяются как ${\displaystyle p(a,b)}$ ${\displaystyle q(a,b)}$

$${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

Выражение

$${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

n-двоичное разбиениеeсложность битовбыстрого преобразования Фурье^[59]

В компьютерной культуре

Во время зарождения интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу е .

В одном из первых примеров учёный- компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приближаться к e . Версии: 2, 2.7, 2.71, 2.718 и т. д. ^[60]

В другом случае, подав заявку на IPO Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет е миллиардов долларов , округленных до ближайшего доллара. ^[61]

Google также отвечал за рекламный щит ^[62] , который появился в самом сердце Силиконовой долины , а затем в Кембридже, штат Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, Техас . Там было написано: «{первое десятизначное простое число, найденное в последовательных цифрах e }.com». Первое десятизначное простое число в e — это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. ^[63] Решение этой задачи и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) сайта привело к еще более сложной задаче, которая заключалась в нахождении пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состояла из 10-значных чисел, найденных в последовательных цифрах числа e , сумма цифр которых равна 49. Пятый член последовательности - 5966290435, который начинается со 127-й цифры. ^[64] Решение этой второй проблемы в конечном итоге привело к появлению веб-страницы Google Labs , на которой посетителю предлагалось отправить резюме. ^[65]

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001113 (десятичное расширение e)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Миллер, Джефф. «Самое раннее использование символов констант». МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 31 октября 2023 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. «е». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
4. Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики (иллюстрированное издание). Стерлинг Издательская компания. п. 166. ИСБН 978-1-4027-5796-9.Выдержка со страницы 166
5. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (сентябрь 2001 г.). «Число е». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
6. Сойер, WW (1961). Радость математика . Пингвин. п. 155.
7. Уилсон, Робинн (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема математики (иллюстрированное издание). Издательство Оксфордского университета. п. (предисловие). ISBN 978-0-19-251405-9.
8. Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). Пи: Биография самого загадочного числа в мире (иллюстрированное издание). Книги Прометея. п. 68. ИСБН 978-1-59102-200-8.
9. Брюинз, EM (1983). «Вычисление логарифмов Гюйгенсом» (PDF) . Конструктивная теория функций : 254–257.
10. Джейкоб Бернулли рассмотрел проблему непрерывного начисления процентов, что привело к выражению в виде ряда для e . См.: Якоб Бернулли (1690) «Quæstiones Nonnullæ de Usuris, cum Solutione Issuetis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685» (Некоторые вопросы о процентах с решением проблемы об азартных играх, предложенные в Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanae ), в год (анно) 1685.**), Acta eruditorum , стр. 219–23. На странице 222 Бернулли ставит вопрос: «Alterius naturæ hoc Issuea est: Quæritur, si кредитор aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut Singulis momentis parsпропорциональные usuræ annuæ sorti annumeretur; Quantum ipsi finito anno debeatur?» (Это проблема другого рода: вопрос в том, что если бы некий кредитор вложил [некую] сумму денег [под] проценты, позволил бы ей накапливаться, так что [в] каждый момент [он] получал бы [а] пропорциональную часть [его] годового процента; сколько будет задолженность [в] конце [года]?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «… quæ nostra serie [математическое выражение для геометрическая серия] и т. д. основная оценка… si a = b , debebitur plu quam 2½ a & минус quam 3 a ». (… который наш ряд [геометрический ряд] больше [чем]. … если a = b , [кредитор] будет должен больше, чем 2½ a и меньше 3 a .) Если a = b , геометрическая серия сводится к ряд для a × e , поэтому 2,5 < e <3 . (** Речь идет о проблеме, которую поставил Якоб Бернулли и которая появляется в « Журнале де Саванс» за 1685 год, внизу страницы 314.)
11. Карл Бойер; Ута Мерцбах (1991). История математики (2-е изд.). Уайли. п. 419. ИСБН 978-0-471-54397-8.
12. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2003). «Sämliche Schriften Und Briefe» (PDF) (на немецком языке). посмотрите, например, букву №. 6
13. Эйлер, Meditatio in Experimenta Explosione Tormentorum Nuper Instituta . Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (на английском языке: написано для числа, единица логарифма которого равна е, то есть 2,7182817...»)
14. Письмо XV. Эйлер а Гольдбах, от 25 ноября 1731 г. в: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров 18 века), vol. 1, (Санкт-Петербург, Россия: 1843), стр. 56–60, см. особенно с. 58. Со с. 58: «… (e обозначает число, cujus logarithmus Hyperbolicus est = 1), …» (… (e обозначает то число, гиперболический [т. е. натуральный] логарифм которого равен 1) … )
15. Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций . Спрингер-Верлаг . п. 136. ИСБН 978-0-387-97195-7.
16. Леонард Эйлер, Механика, sive Motus scientia Analyte Exposita (Санкт-Петербург (Петрополи), Россия: Академия наук, 1736), т. 1, с. 1, глава 2, следствие 11, п. 171, с. 68. Со страницы 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus Hyperbolicus est 1. ${\displaystyle {\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}}$ ${\displaystyle c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}}$ (Так что [т. е. c , скорость] будет или , где e обозначает число, гиперболический [т. е. натуральный] логарифм которого равен 1. .) ${\displaystyle {\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}}$ ${\displaystyle c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}}$
17. Калинджер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11927-4.п. 124.
18. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 63–65. ISBN 0-07-054235-Х.
19. Гоник, Ларри (2012). Мультяшное руководство по исчислению. Уильям Морроу. стр. 29–32. ISBN 978-0-06-168909-3.
20. Абрамсон, Джей; и другие. (2023). «6.1 Экспоненциальные функции». Колледж алгебры 2e . ОпенСтакс. ISBN 978-1-951693-41-1.
21. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . п. 41. ИСБН 978-0-521-87342-0. ОСЛК  860391091.
22. Илловски, Барбара; Дин, Сьюзен; и другие. (2023). «6.1 Стандартное нормальное распределение». Статистика . ОпенСтакс. ISBN 978-1-951693-22-0.
23. Гринстед, Чарльз М.; Снелл, Джеймс Лори (1997). Введение в вероятность (опубликовано в Интернете под GFDL ). Американское математическое общество. п. 85. ИСБН 978-0-8218-9414-9. Архивировано из оригинала 27 июля 2011 г.
24. Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования . Том. И. Аддисон-Уэсли. п. 183. ИСБН 0-201-03801-3.
25. Стивен Финч (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 14. ISBN 978-0-521-81805-6.
26. Гбур, Грег (2011). Математические методы оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. п. 779. ИСБН 978-0-521516-10-5.
27. Клайн, М. (1998). Исчисление: интуитивный и физический подход . Дуврские публикации. п. 337 и далее. ISBN 0-486-40453-6.
28. Стрэнг, Гилберт; Герман, Эдвин; и другие. (2023). «6.3 Серия Тейлора и Маклорена». Расчет, том 2 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-14-2.
29. Стрэнг, Гилберт; Герман, Эдвин; и другие. (2023). «4.10 Первообразные». Расчет, том 2 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-14-2.
30. Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. стр. 44–48.
31. Стандартное упражнение по исчислению с использованием теоремы о среднем значении ; см., например, Апостол (1967) Исчисление , § 6.17.41.
32. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A073230 (десятичное расширение (1/e)^e)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
33. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A073229 (десятичное расширение e^(1/e))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
34. Эйлер, Л. «De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus». Акта Акад. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в журнале Эйлера, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921 г. (факсимиле)
35. Кнобель, Р. Артур (1981). «Экспонента повторяется». Американский математический ежемесячник . 88 (4): 235–252. дои : 10.2307/2320546. ISSN  0002-9890. JSTOR  2320546.
36. Андерсон, Джоэл (2004). «Итерированные экспоненты». Американский математический ежемесячник . 111 (8): 668–679. дои : 10.2307/4145040. ISSN  0002-9890. JSTOR  4145040.
37. Сандифер, Эд (февраль 2006 г.). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что e иррационально?» (PDF) . МАА Онлайн. Архивировано из оригинала (PDF) 23 февраля 2014 г. Проверено 18 июня 2010 г.
38. Гельфонд, АО (2015) [1960]. Трансцендентные и алгебраические числа. Дуврские книги по математике. Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Dover Publications . п. 41. ИСБН 978-0-486-49526-2. МР  0057921.
39. Хошневисан, Давар (2006). «Нормальные цифры — это нормально» (PDF) . Годовой отчет Математического института Клэя за 2006 год . Математический институт Клея . стр. 15, 27–31.
40. Концевич, Максим ; Загер, Дон (2001). «Периоды» (PDF) .
41. Деннери, П.; Кшивицкий, А. (1995) [1967]. Математика для физиков . Дувр. стр. 23–25. ISBN 0-486-69193-4.
42. Милла, Лоренц (2020). «Трансцендентность π и квадратура круга». arXiv : 2003.14035 [math.HO].
43. Хайнс, Роберт. «е трансцендентно» (PDF) . Университет Колорадо . Архивировано (PDF) из оригинала 23 июня 2021 г.
44. Султан, Алан; Артцт, Алиса Ф. (2010). Математика, которую должен знать каждый учитель математики средней школы . Рутледж. стр. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3.
45. Хофштадтер, ДР (1995). Гибкие концепции и творческие аналогии: компьютерные модели фундаментальных механизмов мышления . Основные книги. ISBN 0-7139-9155-0.
46. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003417 (Продолжительная дробь для e)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
47. Рассел, КГ (февраль 1991 г.). «Оценка значения e путем моделирования». Американский статистик . 45 (1): 66–68. дои : 10.1080/00031305.1991.10475769. JSTOR  2685243.
48. Динов, И.Д. (2007) Оценка e с использованием моделирования SOCR , Практические занятия по SOCR (получено 26 декабря 2007 г.).
49. Себах, П. и Гурдон, X.; Константа e и ее вычисление
50. Гурдон, X .; Сообщено о больших вычислениях с помощью PiFast
51. Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно смотрите нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Соотношение Porro eadem est inter 2,718281828459 и т. д. и 1,…» (Кроме того, тем же способом соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)
52. Леонард Эйлер, Introductio in Analysin Infinitorum (Лозанна, Швейцария: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), том 1, стр. 90.
53. Уильям Шэнкс, Вклад в математику , ... (Лондон, Англия: Г. Белл, 1853), стр. 89.
54. Уильям Шэнкс (1871) «О числовых значениях e, loge 2, loge 3, loge 5 и loge 10, а также о числовом значении M, модуля общей системы логарифмов, все до 205 десятичных знаков», Труды Лондонского королевского общества , 20  : 27–29.
55. Дж. Маркус Бурман (октябрь 1884 г.) «Вычисление базы Напериана», Mathematical Magazine , 1 (12): 204–205.
56. Дэниел Шэнкс ; Джон В. Ренч (1962). «Вычисление числа Пи до 100 000 десятичных знаков» (PDF) . Математика вычислений . 16 (77): 76–99. дои : 10.2307/2003813. JSTOR  2003813. с. 78: Мы вычислили e от 7090 до 100 265D с помощью очевидной программы.
57. Возняк, Стив (июнь 1981 г.). «Невозможная мечта: вычисление e в 116 000 местах с помощью персонального компьютера». БАЙТ . Том. 6, нет. 6. МакГроу-Хилл. п. 392 . Проверено 18 октября 2013 г.
58. Александр Йи, изд. (5 декабря 2020 г.). «е». Числовой мир .
59. Финч, Стивен Р. (2005). Математические константы. Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 978-0-521-81805-6. ОСЛК  180072364.
60. Кнут, Дональд (1990-10-03). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . Текс Маг . 5 (1): 145 . Проверено 17 февраля 2017 г.
61. Роберж, Джонатан; Мелансон, Луи (июнь 2017 г.). «В конце концов, быть Кинг-Конгом алгоритмической культуры — тяжелая работа: режимы оправдания Google и значения Glass». Конвергенция: Международный журнал исследований новых медиа-технологий . 23 (3): 306–324. дои : 10.1177/1354856515592506. ISSN  1354-8565.
62. «Первое 10-значное простое число, найденное в последовательных цифрах e» . Мозговые метки . Архивировано из оригинала 3 декабря 2013 г. Проверено 24 февраля 2012 г.
63. Казмерчак, Маркус (29 июля 2004 г.). «Билборд Google». mkaz.com . Проверено 9 июня 2007 г.
64. Первое 10-значное простое число в e. Архивировано 11 апреля 2021 г. в Wayback Machine . Исследуйте сообщество Портленда. Проверено 9 декабря 2020 г.
65. Ши, Андреа. «Google соблазняет ищущих работу математическими головоломками». ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР . Проверено 9 июня 2007 г.

дальнейшее чтение

• Маор, Эли; e : История числа , ISBN 0-691-05854-7 
• Комментарий к примечанию 10 книги Prime Obsession для другого стохастического представления.
• Маккартин, Брайан Дж. (2006). «e: Мастер всего» (PDF) . Математический интеллект . 28 (2): 10–21. дои : 10.1007/bf02987150. S2CID  123033482.

Внешние ссылки

• Число e — 1 миллион мест, а NASA.gov — 2 и 5 миллионов мест.
• Электронные приближения – Wolfram MathWorld
• Самое раннее использование символов для констант 13 января 2008 г.
• «История e», Робин Уилсон из Грешам-колледжа , 28 февраля 2007 г. (доступно для скачивания аудио и видео)
• Электронная поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр e , π и √ 2