Правило власти

Метод дифференцирования одночленных полиномов

В исчислении степенное правило используется для дифференциации функций вида , когда – действительное число . Поскольку дифференцирование — это линейная операция в пространстве дифференцируемых функций, с помощью этого правила можно дифференцировать и многочлены . Степенное правило лежит в основе ряда Тейлора , поскольку оно связывает степенной ряд с производными функции . ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r}$

Заявление о правиле власти

Пусть – функция, удовлетворяющая всем , где . ^[а] Тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}$

Правило власти для интеграции гласит, что

${\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}$

для любого действительного числа . Его можно получить, обратив правило степени для дифференциации. В этом уравнении C — любая константа . ${\displaystyle r\neq -1}$

Доказательства

Доказательство для реальных показателей

Для начала нам следует выбрать рабочее определение значения , где – любое действительное число. Хотя вполне возможно определить ценность как предел последовательности рациональных способностей, которые приближаются к иррациональной мощности всякий раз, когда мы сталкиваемся с такой силой, или как наименьшую верхнюю границу набора рациональных способностей, меньших, чем данная мощность, этот тип определение не поддается дифференциации. Поэтому предпочтительнее использовать функциональное определение, которое обычно принимается для всех значений , где – естественная показательная функция , а – число Эйлера . ^{[1] [2]} Во-первых, мы можем продемонстрировать, что производная равна . ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$

Если , то , где – функция натурального логарифма , обратная функция показательной функции, как показал Эйлер. ^[3] Поскольку последние две функции равны для всех значений , их производные также равны, всякий раз, когда любая производная существует, поэтому мы имеем, по правилу цепочки , ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle \ln(f(x))=x}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}$$

,, ${\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}$

$${\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}$$

. ${\displaystyle rx^{r-1}}$

Когда мы можем использовать то же определение , что и сейчас . Это обязательно приводит к тому же результату. Обратите внимание: поскольку иррациональные степенные функции не имеют общепринятого определения, когда они не являются рациональными числами, они не определены четко для отрицательных оснований. Кроме того, поскольку рациональные степени -1 с четными знаменателями (в наименьших терминах) не являются действительными числами, эти выражения имеют действительное значение только для рациональных степеней с нечетными знаменателями (в наименьших терминах). ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle (-1)^{r}}$ ${\displaystyle r}$

Наконец, всякий раз, когда функция дифференцируема в точке , определяющим пределом для производной является: ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}$$

,., как ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h^{r}}$ ${\displaystyle h<0}$

Исключение выражения ${\displaystyle 0^{0}}$ (случай ) из нашей схемы возведения в степень связано с тем, что функция не имеет предела в точке (0,0), поскольку приближается к 1 при приближении x к 0, а к 0 при приближении y к 0. Таким образом, было бы проблематично приписать ему какое-либо конкретное значение, поскольку это значение противоречило бы одному из двух случаев, в зависимости от применения. Традиционно его оставляют неопределенным. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 0^{y}}$

Доказательства для целых показателей

Доказательство по индукции (натуральные числа)

Позволять . Требуется доказать, что базовый случай может быть когда или , в зависимости от того, как определяется набор натуральных чисел . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$

Когда , ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}$

Когда , ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

Следовательно, базовый случай справедлив в любом случае.

Предположим, что утверждение справедливо для некоторого натурального числа k , т.е. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

Когда , ${\displaystyle n=k+1}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$$

n

Доказательство по биномиальной теореме (натуральное число)

Пусть , где . ${\displaystyle y=x^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Затем,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}$$

Обобщение на отрицательные целые показатели

Для отрицательного целого числа n пусть m является положительным целым числом. Используя правило взаимности , ${\displaystyle n=-m}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

Обобщение до рациональных показателей

Доказав, что правило степени справедливо для целых показателей, это правило можно распространить на рациональные показатели.

Доказательство по цепному правилу

Это доказательство состоит из двух шагов, которые включают использование цепного правила для дифференцирования.

1. Пусть , где . Затем . По правилу цепочки . Решение для , ${\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$
   $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}$$
   Таким образом, степенное правило применяется к рациональным показателям вида , где – ненулевое натуральное число. Это можно обобщить на рациональные показатели степени, применив правило степени для целых показателей с использованием цепного правила, как показано на следующем шаге. ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p/q}$
2. Пусть , где так то . По правилу цепочки , ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$
   $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}$$

Из приведенных выше результатов мы можем заключить, что когда является рациональным числом , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

Доказательство неявным дифференцированием.

Более прямое обобщение степенного правила на рациональные показатели использует неявное дифференцирование.

Пусть , где так то . ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$

Затем,

$${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$$

${\displaystyle x}$

$${\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}$$

${\displaystyle y=x^{p/q}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$$

${\displaystyle r={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$ ${\displaystyle r}$

История

Правило степени для интегралов было впервые продемонстрировано в геометрической форме итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в начале 17 века для всех положительных целых значений , а в середине 17 века для всех рациональных степеней — математиками Пьером де Ферма , Евангелистой Торричелли , Жилем . де Роберваль , Джон Уоллис и Блез Паскаль , каждый из которых работал независимо. В то время это были трактаты по определению площади между графиком рациональной степенной функции и горизонтальной осью. Однако, оглядываясь назад, можно сказать, что это первая открытая общая теорема исчисления. ^[4] Степенное правило дифференцирования было выведено Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем , каждый независимо, для рациональных степенных функций в середине 17 века, которые затем использовали его для вывода степенного правила для интегралов как обратной операции. Это отражает традиционный способ представления связанных теорем в современных учебниках по базовому исчислению, где правила дифференцирования обычно предшествуют правилам интегрирования. ^[5] ${\displaystyle {\displaystyle n}}$

Хотя оба человека заявляли, что их правила, продемонстрированные только для рациональных величин, работают для всех реальных степеней, ни один из них не искал доказательства этого, поскольку в то время приложения теории не касались таких экзотических степенных функций и вопросов сходимости бесконечные серии по-прежнему оставались неоднозначными.

Уникальный случай был решен фламандским иезуитом и математиком Грегуаром де Сен-Винсентом и его учеником Альфонсом Антонио де Сараса в середине 17 века, которые продемонстрировали, что связанный с ним определенный интеграл ${\displaystyle r=-1}$

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}$

представляющая площадь между прямоугольной гиперболой и осью X, представляла собой логарифмическую функцию, основанием которой в конечном итоге оказалось трансцендентное число e . Современное обозначение значения этого определенного интеграла — натуральный логарифм. ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

Обобщения

Сложные степенные функции

Если мы рассмотрим функции вида где – любое комплексное число и – комплексное число в комплексной плоскости с разрезом, исключающей точку ветвления 0 и любой связанный с ней разрез ветвления, и воспользуемся обычным многозначным определением , то будет несложно покажите, что на каждой ветви комплексного логарифма тот же самый аргумент, использованный выше, дает аналогичный результат: . ^[6] ${\displaystyle f(z)=z^{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}$ ${\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}$

Кроме того, если является положительным целым числом, то нет необходимости в разрезе ветвления: можно определить или определить положительные целые комплексные степени посредством комплексного умножения и показать, что для всех комплексных , из определения производной и биномиальной теоремы . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}$ ${\displaystyle z}$

Однако из-за многозначного характера комплексных степенных функций для нецелых показателей необходимо быть осторожным при указании используемой ветви комплексного логарифма. Кроме того, независимо от того, какая ветвь используется, если это не целое положительное число, функция не дифференцируема в точке 0. ${\displaystyle c}$

Смотрите также

• Правила дифференциации
• Правило генерала Лейбница
• Обратные функции и дифференцирование
• Линейность дифференциации
• Правило продукта
• Правило частного
• Таблица производных
• Тождества векторного исчисления

Рекомендации

Примечания

1. Если это рациональное число, представление младших членов которого имеет нечетный знаменатель, то областью определения считается . В противном случае домен . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

Цитаты

1. Ландау, Эдмунд (1951). Дифференциальное и интегральное исчисление . Нью-Йорк: Издательство Челси. п. 45. ИСБН 978-0821828304.
2. Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Техас: Publish or Perish, Inc., стр. 336–342. ISBN 0-914098-89-6.
3. Маор, Эли (1994). е: История числа . Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 156. ИСБН 0-691-05854-7.
4. Бойер, Карл (1959). История исчисления и его концептуальное развитие. Нью-Йорк: Дувр. п. 127. ИСБН 0-486-60509-4.
5. Бойер, Карл (1959). История исчисления и его концептуальное развитие. Нью-Йорк: Дувр. стр. 191, 205. ISBN. 0-486-60509-4.
6. Фрайтаг, Эберхард; Бусам, Рольф (2009). Комплексный анализ (2-е изд.). Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 46. ​​ИСБН 978-3-540-93982-5.

дальнейшее чтение

• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; и Эдвардс, Брюс Х. (2003). Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (3-е издание). Компания Хоутон Миффлин. ISBN 0-618-22307-X .