История исчисления

Исчисление , первоначально называвшееся исчислением бесконечно малых , — это математическая дисциплина, ориентированная на пределы , непрерывность , производные , интегралы и бесконечные ряды . Многие элементы исчисления появились в Древней Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, а еще позже — в средневековой Европе и Индии. Исчисление бесконечно малых было разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем независимо друг от друга. Спор по поводу приоритета привел к спору об исчислении Лейбница-Ньютона , который продолжался до смерти Лейбница в 1716 году. Развитие исчисления и его использование в науках продолжаются и по сей день.

Этимология

В математическом образовании исчислением обозначаются курсы элементарного математического анализа , которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово «исчисление» на латыни означает «маленький камешек» ( уменьшительное от «calx», что означает «камень»), и это значение до сих пор сохраняется в медицине . Поскольку такие камешки использовались для подсчета расстояний, ^[1] подсчета голосов и выполнения арифметических операций на счетах , это слово стало означать метод вычислений. В этом смысле оно использовалось в английском языке по крайней мере еще в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона. ^[2]

Помимо дифференциального и интегрального исчисления, этот термин также широко используется для обозначения конкретных методов вычислений. Примеры этого включают исчисление высказываний в логике, вариационное исчисление в математике, исчисление процессов в вычислительной технике и исчисление удач в философии.

Ранние предшественники исчисления

Древний

Архимед использовал метод истощения , чтобы вычислить площадь внутри круга.

Египет и Вавилония

Древний период представил некоторые идеи, которые привели к интегральному исчислению, но, похоже, эти идеи не получили строгого и систематического развития. Вычисления объемов и площадей, одна из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском Московском папирусе ( ок.  1820 г. до н. э. ), но формулы даны только для конкретных чисел, некоторые из них верны лишь приблизительно и не выводятся дедуктивным путем. рассуждения. ^[3] Вавилоняне , возможно, открыли правило трапеции во время астрономических наблюдений Юпитера . ^{[4] [5]}

Греция

Архимед использовал метод истощения для вычисления площади под параболой в своей работе «Квадратура параболы» .

Еще со времен греческой математики Евдокс (ок. 408–355 до н. э.) использовал метод исчерпания , предвещающий понятие предела, для вычисления площадей и объемов, а Архимед (ок. 287–212 до н. э.) развил эту идею дальше. , изобретая эвристики , напоминающие методы интегрального исчисления. ^[6] Греческим математикам также приписывают значительное использование бесконечно малых величин . Демокрит - первый зарегистрированный человек, серьезно задумавшийся о разделении объектов на бесконечное число поперечных сечений, но его неспособность рационализировать дискретные сечения с плавным наклоном конуса помешала ему принять эту идею. Примерно в то же время Зенон Элейский еще больше дискредитировал бесконечно малые, формулируя парадоксы , которые они, по-видимому, создают.

Архимед развил этот метод дальше, а также изобрел эвристические методы, которые несколько напоминают современные концепции в его «Квадратура параболы» , «Метод» и « О сфере и цилиндре» . ^[7] Однако не следует думать, что в то время бесконечно малые были поставлены на строгую основу. Только когда оно было дополнено правильным геометрическим доказательством, греческие математики могли признать это утверждение истинным. Лишь в 17 веке этот метод был формализован Кавальери как метод неделимых и в конечном итоге включен Ньютоном в общую структуру интегрального исчисления . Архимед был первым, кто нашел касательную к кривой, отличной от окружности, методом, близким к дифференциальному исчислению. Изучая спираль, он разделил движение точки на две составляющие: одну радиальную и одну круговую, а затем продолжил складывать эти две составляющие движения вместе, тем самым находя касательную к кривой. ^[8]

Китай

Метод истощения был независимо изобретен в Китае Лю Хуэем в 4 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. ^[9] В V веке Цзу Чунчжи разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы . ^[10]

Средневековый

Средний Восток

Ибн аль-Хайсам, арабский математик и физик XI века.

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайсам , латинизированный как Альхазен ( ок.  965  – ок.  1040  г. н.э.), вывел формулу суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что сейчас будет называться интегрированием , где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . ^[11] Рошди Рашид утверждал, что математик XII века Шараф ад-Дин ат-Туси, должно быть, использовал производную кубических многочленов в своем «Трактате об уравнениях» . Вывод Рашеда оспаривается другими учеными, которые утверждают, что он мог получить свои результаты другими методами, которые не требуют знания производной функции. ^[12]

Индия

Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что Бхаскара II был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. ^[13] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент исчезает при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». ^[14] В его работе есть свидетельства ранней формы теоремы Ролля . Современная формулировка теоремы Ролля гласит, что если , то для некоторых с . В своей астрономической работе Бхаскара дает результат, который выглядит предшественником методов бесконечно малых: если тогда . Это приводит к производной функции синуса, хотя понятие производной он не разработал. ^[15] ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ a<x<b}$ ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$

Некоторые идеи по исчислению позже появились в индийской математике, в Керальской школе астрономии и математики . ^[11] Мадхава из Сангамаграмы в 14 веке, а позже математики школы Кералы, заявили о компонентах исчисления, таких как ряд Тейлора и аппроксимации бесконечных рядов . ^[16] Однако они не объединили множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла , не показали связь между ними и не превратили исчисление в мощный инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня. ^[11]

Европа

Математическое исследование непрерывности было возрождено в 14 веке Оксфордскими калькуляторами и французскими сотрудниками, такими как Николь Орем . Они доказали «теорему Мертона о средней скорости »: что равноускоренное тело проходит то же расстояние, что и тело с одинаковой скоростью, скорость которого равна половине конечной скорости ускоренного тела. ^[17]

Современные предшественники

Интегралы

Работа Иоганна Кеплера Stereometrica Doliorum , опубликованная в 1615 году, легла в основу интегрального исчисления. ^[18] Кеплер разработал метод расчета площади эллипса путем сложения длин многих радиусов, взятых из фокуса эллипса. ^[19]

Значительным трудом стал вдохновленный методами Кеплера трактат ^[19], опубликованный в 1635 году Бонавентурой Кавальери о его методе неделимых . Он утверждал, что объемы и площади следует вычислять как суммы объемов и площадей бесконечно тонких поперечных сечений. Он открыл квадратурную формулу Кавальери , которая давала площадь под кривыми x ⁿ более высокой степени. Ранее это было вычислено аналогичным образом для параболы Архимедом в «Методе» , но этот трактат, как полагают, был утерян в 13 веке и был заново открыт только в начале 20 века, и поэтому был неизвестен Кавальери. . Работа Кавальери не пользовалась большим уважением, поскольку его методы могли привести к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу вызывали дурную репутацию.

Торричелли распространил работу Кавальери на другие кривые, такие как циклоида , а затем формула была обобщена Уоллисом в 1656 году на дробные и отрицательные степени. В трактате 1659 года Ферма приписывают гениальный трюк для непосредственного вычисления интеграла любой степенной функции. ^[20] Ферма также получил методику нахождения центров тяжести различных плоских и объемных фигур, что повлияло на дальнейшие работы в квадратуре.

Производные

В 17 веке европейские математики Исаак Барроу , Рене Декарт , Пьер де Ферма , Блез Паскаль , Джон Уоллис и другие обсуждали идею производной . В частности, в « Methodus ad disquirendam maximam et minima» и в « De tangentibus Linearum Curvarum» , опубликованных в 1636 году, Ферма ввёл концепцию адекватности , которая представляла собой равенство с точностью до бесконечно малого члена ошибки. ^[21] Этот метод можно было использовать для определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым, и он был тесно связан с дифференцированием. ^[22]

Исаак Ньютон позже напишет, что его собственные ранние идеи об исчислении произошли непосредственно от «способа Ферма проводить касательные». ^[23]

Основная теорема исчисления

Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей, разработанным в Европе примерно в то же время, и адекватностью Ферма. Комбинация была достигнута Джоном Уоллисом , Исааком Барроу и Джеймсом Грегори , двое последних оказались предшественниками второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года. ^{[24] [25]}

Джеймс Грегори , под влиянием вклада Ферма как в касание, так и в квадратуру, затем смог доказать ограниченную версию второй фундаментальной теоремы исчисления , согласно которой интегралы могут быть вычислены с использованием любой первообразной функции. ^{[26] [27]}

Первое полное доказательство фундаментальной теоремы исчисления было дано Исааком Барроу . ^{[28] : стр.61, когда дуга ME ~ дуга NH в точке касания F рис.26  [29]}

Другие разработки

Заштрихованная площадь в одну единицу квадратной меры при x = 2,71828... Открытие числа Эйлера e и его использование с функциями ex ^и натуральным логарифмом завершили теорию интегрирования для исчисления рациональных функций.

Одной из предпосылок создания исчисления функций действительной переменной было нахождение первообразной для рациональной функции. Эту проблему можно сформулировать как квадратуру прямоугольной гиперболы xy = 1. В 1647 году Грегуар де Сен-Винсент заметил, что искомая функция F удовлетворяется так, что геометрическая последовательность становится при F арифметической последовательностью . А. А. де Сараса связал эту особенность с современными алгоритмами, называемыми логарифмами , которые экономили арифметику за счет преобразования умножения в сложение. Итак, F впервые был известен как гиперболический логарифм . После того, как Эйлер использовал e = 2,71828..., и F была идентифицирована как обратная функция экспоненциальной функции , она стала натуральным логарифмом , удовлетворяющим ${\displaystyle f(x)\ =\ {\frac {1}{x}}.}$ ${\displaystyle F(st)=F(s)+F(t),}$ ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\ =\ {\frac {1}{x}}.}$

Первое доказательство теоремы Ролля было дано Мишелем Роллем в 1691 году с использованием методов, разработанных голландским математиком Иоганном ван Вавереном Худде . ^[30] Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована Бернаром Больцано и Огюстеном-Луи Коши (1789–1857) также после основания современного исчисления. Важный вклад также внесли Барроу , Гюйгенс и многие другие.

Ньютон и Лейбниц

Исаак Ньютон

Готфрид Лейбниц

До Ньютона и Лейбница слово «исчисление» относилось к любому разделу математики, но в последующие годы «исчисление» стало популярным термином для области математики, основанной на их открытиях. ^[31] Ньютон и Лейбниц, основываясь на этой работе, независимо друг от друга разработали теорию исчисления бесконечно малых в конце 17 века. Кроме того, Лейбниц проделал большую работу по разработке последовательных и полезных обозначений и концепций. Ньютон предоставил некоторые из наиболее важных приложений в физике, особенно в интегральном исчислении .

К середине 17 века европейская математика изменила свое основное хранилище знаний. По сравнению с прошлым веком, когда эллинистическая математика оставалась отправной точкой для исследований, Ньютон, Лейбниц и их современники все чаще обращались к работам более современных мыслителей. ^[32]

Ньютон пришел к математическому анализу в рамках своих исследований в области физики и геометрии . Он рассматривал исчисление как научное описание возникновения движения и величин . Для сравнения, Лейбниц сосредоточился на проблеме касательной и пришел к выводу, что исчисление является метафизическим объяснением изменений. Важно отметить, что основой их идеи была формализация обратных свойств между интегралом и дифференциалом функции . Это понимание было предвосхищено их предшественниками, но они были первыми, кто задумал исчисление как систему, в которой были созданы новая риторика и описательные термины. ^[33]

Ньютон

Ньютон не завершил ни одной окончательной публикации, формализующей его флюксионное исчисление; скорее, многие из его математических открытий были переданы через переписку, небольшие статьи или как включенные аспекты в другие его окончательные сборники, такие как Principia и Opticks . Ньютон начал свое математическое обучение в качестве избранного наследника Исаака Барроу в Кембридже . Его способности были замечены рано, и он быстро усвоил современные теории. К 1664 году Ньютон сделал свой первый важный вклад, выдвинув биномиальную теорему , которую он расширил, включив в нее дробные и отрицательные показатели . Ньютону удалось расширить применимость биномиальной теоремы, применив алгебру конечных величин к анализу бесконечных рядов . Он продемонстрировал готовность рассматривать бесконечные серии не только как приблизительные средства, но и как альтернативные формы выражения термина. ^[34]

Многие из критических прозрений Ньютона произошли в годы чумы 1665–1666 годов ^[35] , которые он позже описал как «расцвет моего возраста для изобретений и увлечения математикой и [естественной] философией больше, чем когда-либо с тех пор». Именно во время его изоляции, вызванной чумой, первая письменная концепция флюксионного исчисления была записана в неопубликованной работе De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas . В этой статье Ньютон определил площадь под кривой , сначала рассчитав мгновенную скорость изменения, а затем экстраполировав общую площадь. Он начал с рассуждений о бесконечно маленьком треугольнике, площадь которого является функцией x и y . Затем он рассудил, что бесконечно малое увеличение оси абсцисс создаст новую формулу, в которой x = x + o (важно, что o – это буква, а не цифра 0). Затем он пересчитал площадь с помощью биномиальной теоремы, удалил все величины, содержащие букву о, и заново составил алгебраическое выражение площади. Примечательно, что Ньютон тогда «вычеркнул бы» величины, содержащие o, потому что члены, «умноженные на него, не будут ничем по сравнению с остальными».

В этот момент Ньютон начал осознавать главное свойство инверсии. Он создал выражение для площади под кривой, рассматривая мгновенное увеличение в точке. По сути, фундаментальная теорема исчисления была встроена в его расчеты. Хотя его новая формулировка обладала невероятным потенциалом, Ньютон в то время хорошо осознавал ее логические ограничения. Он признает, что «в математике нельзя игнорировать ошибки, какими бы малыми они ни были» и что то, чего он достиг, было «скорее объяснено, чем точно продемонстрировано».

Стремясь дать исчислению более строгое объяснение и структуру, Ньютон составил в 1671 году Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . В этой книге строгий эмпиризм Ньютона сформировал и определил его флюксионное исчисление. Он неофициально использовал мгновенное движение и бесконечно малые величины. Он использовал математику как методологический инструмент для объяснения физического мира. Основой пересмотренного исчисления Ньютона стала непрерывность; по существу, он переопределил свои расчеты с точки зрения непрерывного плавного движения. Для Ньютона переменные величины не являются совокупностями бесконечно малых элементов, а порождены неоспоримым фактом движения. Как и многие другие его работы, Ньютон отложил публикацию. Methodus Fluxionum не публиковался до 1736 года. ^[36]

Ньютон пытался избежать использования бесконечно малых величин, проводя расчеты, основанные на соотношениях изменений. В Methodus Fluxionum он определил скорость генерируемых изменений как флюксию , которую он обозначил пунктирной буквой, а генерируемое количество он определил как беглую . Например, если и являются флюэнтами, то и являются соответствующими им флюксиями. Это пересмотренное исчисление отношений продолжало развиваться и было зрело изложено в тексте 1676 года « De Quadratura Curvarum» , где Ньютон пришел к определению современной производной как предельного отношения изменений, которое он определил как соотношение между мимолетными приращениями (отношение флюксий ) чисто на данный момент. По сути, окончательное соотношение — это соотношение, когда приращения исчезают в небытие. Важно отметить, что Ньютон объяснил существование предельного соотношения, апеллируя к движению; ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {y}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$

«Ибо под предельной скоростью понимается то, с какой тело движется ни до того, как оно достигнет своего последнего места, ни после того, как движение прекращается, ни после, а в тот самый момент, когда оно достигает... предельное соотношение исчезающих величин есть следует понимать отношение величин не до того, как они исчезнут, не после, а с которым они исчезнут» ^[37]

Ньютон разработал свое флюксионное исчисление, пытаясь избежать неформального использования бесконечно малых в своих расчетах.

Лейбниц

Лейбниц: Nova Methodus pro maximis et minimis , Acta Eruditorum, Лейпциг, октябрь 1684 г. Первая страница публикации Лейбница по дифференциальному исчислению.

Графики, упомянутые в статье Лейбница 1684 года.

Хотя Ньютон начал разработку своего флюксионного исчисления в 1665–1666 годах, его открытия получили широкое распространение лишь позже. В последующие годы Лейбниц также стремился создать свое исчисление. По сравнению с Ньютоном, который пришёл к математике в раннем возрасте, Лейбниц начал своё тщательное изучение математики со зрелым интеллектом. Он был эрудитом , и его интеллектуальные интересы и достижения включали метафизику , право , экономику , политику , логику и математику . Чтобы понять рассуждения Лейбница в области исчисления, следует иметь в виду его опыт. В частности, его метафизика , описывающая вселенную как монадология , и его планы создания точной формальной логики, посредством которой «общий метод, в котором все истины разума будут сведены к своего рода вычислениям». ^[38]

В 1672 году Лейбниц встретил математика Гюйгенса , который убедил Лейбница посвятить значительное время изучению математики. К 1673 году он дошел до чтения « Трактата о синусах четырех кругов» Паскаля , и именно во время своего преимущественно автодидактического исследования Лейбниц сказал: «Включился свет». Как и Ньютон, Лейбниц рассматривал тангенс как отношение, но объявил его просто соотношением между ординатами и абсциссами . Он продолжил эти рассуждения, утверждая, что интеграл на самом деле представляет собой сумму ординат для бесконечно малых интервалов по абсциссе; по сути, это сумма бесконечного числа прямоугольников. Из этих определений стала ясна обратная зависимость, или дифференциал, и Лейбниц быстро осознал потенциал формирования совершенно новой математической системы. Если Ньютон на протяжении своей карьеры использовал несколько подходов в дополнение к подходу с использованием бесконечно малых , Лейбниц сделал это краеугольным камнем своих обозначений и исчисления. ^{[39] [40]}

В рукописях с 25 октября по 11 ноября 1675 г. Лейбниц записывал свои открытия и эксперименты с различными формами записи. Он хорошо знал используемые обозначения, и его ранние планы сформировать точную логическую символику стали очевидными. В конце концов, Лейбниц обозначил бесконечно малые приращения абсцисс и ординат dx и dy , а также сумму бесконечного числа бесконечно тонких прямоугольников как длинный s (∫), который стал нынешним интегральным символом . ${\displaystyle \scriptstyle \int }$

Хотя обозначения Лейбница используются современной математикой, его логическая основа отличалась от нашей нынешней. Лейбниц поддерживал бесконечно малые величины и много писал, чтобы «не делать из бесконечно малого загадку, как это сделал Паскаль». ^[41] Согласно Жилю Делезу , нули Лейбница «являются ничем, но они не являются абсолютными ничто, они соответственно являются ничем» (цитируя текст Лейбница «Обоснование исчисления бесконечно малых исчислением обычной алгебры»). ^[42] В качестве альтернативы он определяет их как «меньше любого заданного количества». Для Лейбница мир представлял собой совокупность бесконечно малых точек, и отсутствие научных доказательств их существования его не беспокоило. Бесконечно малые для Лейбница были идеальными величинами, отличными от заметных чисел. Истинность непрерывности была доказана самим существованием. Для Лейбница принцип непрерывности и, следовательно, достоверность его исчисления были гарантированы. Через триста лет после работы Лейбница Абрахам Робинсон показал, что использование бесконечно малых величин в исчислении может иметь прочную основу. ^[43]

Наследие

Возникновение исчисления выделяется как уникальный момент в математике. Исчисление — это математика движения и изменения, и поэтому его изобретение потребовало создания новой математической системы. Важно отметить, что Ньютон и Лейбниц не создавали одно и то же исчисление и не задумывали современное исчисление. Хотя они оба были вовлечены в процесс создания математической системы для работы с переменными величинами, их элементарная база была разной. Для Ньютона изменение было величиной, изменяющейся во времени, а для Лейбница — разницей, простирающейся на последовательность бесконечно близких значений. Примечательно, что описательные термины, созданные каждой системой для описания изменений, были разными.

Исторически сложилось так, что было много споров о том, кто первым «изобрёл» исчисление — Ньютон или Лейбниц. Этот аргумент, спор об исчислении Лейбница и Ньютона , в котором участвовали Лейбниц, который был немцем, и англичанин Ньютон, привел к расколу в европейском математическом сообществе, продолжавшемуся более века. Лейбниц был первым, кто опубликовал свои исследования; однако точно известно, что Ньютон начал свою работу за несколько лет до Лейбница и уже разработал теорию касательных к тому времени, когда Лейбниц заинтересовался этим вопросом. Неизвестно, насколько это могло повлиять на Лейбница. Первоначальные обвинения были выдвинуты студентами и сторонниками двух великих ученых на рубеже веков, но после 1711 года они оба стали лично участвовать в этом, обвиняя друг друга в плагиате .

Спор о приоритете привел к отделению англоговорящих математиков от математиков континентальной Европы на многие годы. Лишь в 1820-х годах благодаря усилиям Аналитического общества аналитическое исчисление Лейбница стало принято в Англии. Сегодня и Ньютону, и Лейбницу приписывают независимое развитие основ исчисления. Однако именно Лейбницу приписывают тому, что он дал новой дисциплине название, известное ей сегодня: «исчисление». Ньютон назвал это явление «наукой о флюидах и флюксиях ».

Работы Ньютона и Лейбница отражены в обозначениях, используемых сегодня. Ньютон ввел обозначение производной функции f . ^[44] Лейбниц ввел символ интеграла и записал производную функции y переменной x как , оба из которых используются до сих пор. ${\displaystyle {\dot {f}}}$ ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в дальнейшее развитие исчисления. Одна из первых и наиболее полных работ по исчислению бесконечно малых и интегралов была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези . ^{[45] [46]}

Мария Гаэтана Аньези

События

Вариационное исчисление

Можно сказать , что вариационное исчисление началось с задачи Иоганна Бернулли (1696 г.). Это сразу же привлекло внимание Якоба Бернулли, но Леонард Эйлер первым разработал эту тему. Его вклад начался в 1733 году, а его «Элемента исчисления вариаций» дала науке название. Жозеф Луи Лагранж внес большой вклад в эту теорию, а Адриен-Мари Лежандр (1786) изложил не совсем удовлетворительный метод различения максимумов и минимумов. В эту дискриминацию внесли свой вклад Бруначчи (1810 г.), Карл Фридрих Гаусс (1829 г.), Симеон Дени Пуассон (1831 г.), Михаил Васильевич Остроградский (1834 г.) и Карл Густав Якоб Якоби (1837 г.). Важной общей работой является работа Саррюса (1842 г.), которая была сокращена и улучшена Огюстеном Луи Коши (1844 г.). Другие ценные трактаты и мемуары написали Штраух (1849 г.), Джеллетт (1850 г.), Отто Гессе (1857 г.), Альфред Клебш (1858 г.) и Карлл (1885 г.), но, пожалуй, самая важная работа века - это работа Карла. Вейерштрасс . Можно утверждать, что его курс по теории является первым, в котором исчисление поставлено на прочный и строгий фундамент.

Оперативные методы

Антуан Арбогаст (1800 г.) был первым, кто отделил символ операции от символа количества в дифференциальном уравнении. Франсуа-Жозеф Сервуа (1814 г.), кажется, был первым, кто дал правильные правила по этому вопросу. Чарльз Джеймс Харгрив (1848) применил эти методы в своих мемуарах по дифференциальным уравнениям, а Джордж Буль свободно их использовал. Герман Грассман и Герман Ганкель широко использовали эту теорию: первый при изучении уравнений , второй в своей теории комплексных чисел .

Интегралы

Нильс Хенрик Абель, по-видимому, был первым, кто в общих чертах рассмотрел вопрос о том, какие дифференциальные уравнения можно интегрировать в конечной форме с помощью обычных функций, - исследование, продолженное Лиувиллем . Коши рано разработал общую теорию определения определенных интегралов , и эта тема приобрела известность в 19 веке. Интегралы Фруллани , работа Дэвида Биренса де Хаана по теории и его подробные таблицы, лекции Лежена Дирихле , воплощенные в трактате Мейера, и многочисленные мемуары Лежандра , Пуассона , Планы , Раабе , Зонке , Шлёмильха , Эллиотта , Лейдесдорфа и Кронекера . среди заслуживающих внимания вкладов.

Эйлеровы интегралы были сначала изучены Эйлером , а затем исследованы Лежандром, который классифицировал их как эйлеровы интегралы первого и второго вида, а именно:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^{n-1}\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}\,dx}$

хотя это не были точные формы исследований Эйлера.

Если n — положительное целое число :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=(n-1)!,}$

но интеграл сходится для всех положительных вещественных чисел и определяет аналитическое продолжение факториала на всю комплексную плоскость , за исключением полюсов в нуле и отрицательных целых чисел. Ей Лежандр присвоил символ , и теперь она называется гамма-функцией . Помимо того , что он аналитичен по положительным действительным числам , он также обладает уникальным определяющим свойством выпуклости , что эстетически оправдывает это аналитическое продолжение факториальной функции по любому другому аналитическому продолжению. Лежен Дирихле внес в эту тему важную теорему (Лиувилль, 1839), которую разработали Лиувилль , Каталан , Лесли Эллис и другие. Раабе (1843–44), Бауэр (1859) и Гудерман (1845) писали об оценке и . Большая таблица Лежандра появилась в 1816 году. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \log \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle \log \Gamma (x)}$

Приложения

Применение исчисления бесконечно малых к задачам физики и астрономии было одновременно с зарождением этой науки. На протяжении всего XVIII века эти применения множились, пока в конце Лаплас и Лагранж не перенесли весь спектр изучения сил в область анализа. Лагранжу ( 1773 ) мы обязаны введением теории потенциала в динамику, хотя название « потенциальная функция » и основные мемуары по этому вопросу принадлежат Грину (1827, напечатано в 1828 году). Название « потенциал » принадлежит Гауссу (1840), а различие между потенциалом и потенциальной функцией — Клаузиусу . С ее разработкой связаны имена Лежена Дирихле , Римана , фон Неймана , Гейне , Кронекера , Липшица , Кристоффеля , Кирхгофа , Бельтрами и многих ведущих физиков века.

В этой статье невозможно рассмотреть множество других приложений анализа к физическим проблемам. Среди них исследования Эйлера о колеблющихся аккордах; Софи Жермен на эластичных мембранах; Пуассон, Ламе , Сен-Венан и Клебш об упругости трехмерных тел; Фурье о диффузии тепла ; Френель на свету ; Максвелл , Гельмгольц и Герц об электричестве ; Хансен, Хилл и Гильден по астрономии ; Максвелл о сферических гармониках ; Лорд Рэлей по акустике ; и вклад Лежена Дирихле, Вебера , Кирхгофа , Ф. Неймана , лорда Кельвина , Клаузиуса , Бьеркнеса , МакКуллаха и Фурмана в физику в целом. Особо следует упомянуть труды Гельмгольца, поскольку он внес свой вклад в теории динамики, электричества и т. д. и применил свои огромные аналитические способности к фундаментальным аксиомам механики, а также к аксиомам чистой математики.

Кроме того, исчисление бесконечно малых было введено в социальные науки, начиная с неоклассической экономики . Сегодня это ценный инструмент в основной экономике.

Смотрите также

• Аналитическая геометрия
• История логарифмов
• История математики
• Нестандартное исчисление

Примечания

1. См., например:
   • «история - Были ли такси со счетчиками заняты, бродя по императорскому Риму?». Обмен скептиками . 17.06.2020 . Проверено 13 февраля 2022 г.
   • Кузино, Фил (15 марта 2010 г.). «Ловец слов: Одиссея в мир странных и чудесных слов». Саймон и Шустер. п. 58. ИСБН 978-1-57344-550-4. ОКЛК  811492876.
2. "Исчисление" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
3. Клайн, Моррис (16 августа 1990 г.). Математическая мысль от древности до современности . Том. 1. Издательство Оксфордского университета. стр. 18–21. ISBN 978-0-19-506135-2.
4. Оссендрийвер, Матье (29 января 2016 г.). «Древние вавилонские астрономы рассчитали положение Юпитера по площади под графиком скорости времени». Наука . 351 (6272): 482–484. Бибкод : 2016Sci...351..482O. doi : 10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
5. Чанг, Кеннет (2016). «Признаки современной астрономии в Древнем Вавилоне». Газета "Нью-Йорк Таймс .
6. Архимед, Метод , в трудах Архимеда ISBN 978-0-521-66160-7 
7. MathPages - Архимед о сферах и цилиндрах. Архивировано 3 января 2010 г. в Wayback Machine.
8. Бойер, Карл Б. (1991). «Архимед Сиракузский». История математики (2-е изд.). Уайли. стр. 127. ISBN 978-0-471-54397-8. Греческую математику иногда описывали как по сути статическую, мало учитывающую понятие изменчивости; но Архимед в своем исследовании спирали, по-видимому, нашел касательную к кривой с помощью кинематических соображений, подобных дифференциальному исчислению. Рассматривая точку на спирали 1 = r = aθ как подверженную двойному движению — равномерному радиальному движению от начала координат и круговому движению вокруг начала координат — он, по-видимому, нашел (через параллелограмм скоростей) направление движения (следовательно, касательная к кривой), отмечая результирующую из двух составляющих движений. Похоже, это первый случай, когда была найдена касательная к кривой, отличной от окружности.
   Исследование Архимедом спирали, кривой, которую он приписал своему другу Конону Александрийскому , было частью греческих поисков решения трех знаменитых проблем.
9. Дун, Лю; Фан, Дайниан; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований кругов Архимдом и Лю Хуэем. Китайские исследования в истории и философии науки и техники. Том. 130. Спрингер. п. 279. ИСБН 978-0-7923-3463-7., Глава, с. 279
10. Зилл, Деннис Г.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: ранние трансценденталисты (3-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7.Выдержка со страницы 27
11. Кац, Виктор Дж. (июнь 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 68 (3): 163–174. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691411.
12. Берггрен, JL; Аль-Туси, Шараф ад-Дин; Рашед, Рошди; Аль-Туси, Шараф ад-Дин (апрель 1990 г.). «Инновации и традиции в Мухадалате Шарафа ад-Дина ат-Туси». Журнал Американского восточного общества . 110 (2): 304–309. дои : 10.2307/604533. JSTOR  604533.
13. 50 вневременных ученых автора К. Кришна Мурти
14. Шукла, Крипа Шанкар (1984). «Использование исчисления в индуистской математике». Индийский журнал истории науки . 19 : 95–104.
15. Кук, Роджер (1997). «Математика индусов». История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. стр. 213–215. ISBN 0-471-18082-3.
16. Индийская математика
17. Бойер, Карл Б. (1959). «III. Средневековые вклады». История исчисления и его концептуальное развитие. Дувр. стр. 79–89. ISBN 978-0-486-60509-8.
18. «Иоганнес Кеплер: его жизнь, его законы и времена». НАСА. 24 сентября 2016 г. Проверено 10 июня 2021 г.
19. Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Исчисление бесконечно малых § История»  . Британская энциклопедия . Том. 14 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 537.
20. Паради, Жауме; Пла, Хосеп; Виадер, Пелагри. «Трактат Ферма о квадратуре: новое прочтение» (PDF) . Проверено 24 февраля 2008 г.
21. Вейль, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра . Бостон: Биркхаузер Бостон. п. 28. ISBN 0-8176-4565-9.
22. Пеллегрино, Дана. «Пьер де Ферма» . Проверено 24 февраля 2008 г.
23. Симмонс, Джордж Ф. (2007). Gems исчисления: краткие жизни и памятная математика . Математическая ассоциация Америки. п. 98. ИСБН 978-0-88385-561-4.
24. Холлингдейл, Стюарт (1991). «Обзор книги «До Ньютона: жизнь и времена Исаака Барроу». Примечания и отчеты Лондонского королевского общества . 45 (2): 277–279. дои : 10.1098/rsnr.1991.0027. ISSN  0035-9149. JSTOR  531707. S2CID  165043307. Наиболее интересны для нас Лекции X-XII, в которых Барроу приближается к геометрической демонстрации фундаментальной теоремы исчисления... Однако он не осознавал всей значимости своих результатов. и его отказ от алгебры означает, что его работа должна оставаться частью геометрического анализа середины 17 века, представляющего главным образом исторический интерес.
25. Брессуд, Дэвид М. (2011). «Исторические размышления о преподавании основной теоремы интегрального исчисления». Американский математический ежемесячник . 118 (2): 99. doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.02.099. S2CID  21473035.
26. См., например, Марлоу Андерсон, Виктор Дж. Кац, Робин Дж. Уилсон, Шерлок Холмс в Вавилоне и другие рассказы математической истории , Математическая ассоциация Америки, 2004, стр. 114.
27. Грегори, Джеймс (1668). Геометрия Pars Universalis. Музей Галилея : Патавии: типис Хередум Паули Фрамботти.
28. Геометрические лекции Исаака Барроу в переводе с примечаниями и доказательствами, а также обсуждением достижений, достигнутых в них в отношении работ его предшественников в исчислении бесконечно малых. Чикаго: Открытый суд. 1916.Переводчик: Дж. М. Чайлд (1916).
29. Обзор перевода Дж. М. Чайлда (1916). Геометрические лекции рецензента Исаака Барроу: Арнольд Дрезден (июнь 1918 г.), стр. 454. У Барроу есть фундаментальная теорема исчисления.
30. Джонстон, Уильям; Макаллистер, Алекс (2009). Переход к высшей математике: обзорный курс. Издательство Оксфордского университета, США. п. 333. ИСБН 978-0-19-531076-4., Глава 4, с. 333
31. Рейес 2004, с. 160
32. Такие, как Кеплер, Декарт, Ферма, Паскаль и Уоллис. Калинджер 1999, с. 556
33. Первым среди них был Барроу , создавший формулы для конкретных случаев, и Ферма, создавший аналогичное определение производной. Для дополнительной информации; Бойер 184
34. Калинджер 1999, с. 610
35. Ньютон, Исаак. «Книга мусора» . Проверено 10 января 2012 г.
36. Ивс, Ховард. Введение в историю математики, 6-е издание . п. 400.
37. Principia , Флориан Каджори 8
38. "Готфрид Вильгельм Лейбниц". Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2020.
39. "Готфрид Лейбниц - Биография" .
40. "Готфрид Вильгельм Лейбниц | Биография и факты" .
41. Бойер, Карл (1939). История исчисления и его концептуальное развитие. Курьерская корпорация. ISBN 9780486605098.
42. Делёз, Жиль. "ДЕЛЁЗ/ЛЕЙБНИЦ Венсенская улица - 22.04.1980" . Проверено 30 апреля 2013 г.
43. «Исчисление бесконечно малых».
44. Использование штриха для обозначения производной принадлежит Лагранжу. ${\displaystyle f'\left(x\right),}$
45. Аллер, Патрисия Р. (2007). Предисловие. Биография Марии Гаэтаны Аньези, женщины-математика восемнадцатого века . Купиллари, Антонелла (иллюстрировано под ред.). Эдвин Меллен Пресс. п. iii. ISBN 978-0-7734-5226-8.
46. Унлу, Элиф (апрель 1995 г.). «Мария Гаэтана Аньези». Колледж Агнес Скотт .

дальнейшее чтение

• Роеро, CS (2005). «Готфрид Вильгельм Лейбниц, первые три статьи по исчислению (1684, 1686, 1693)». В Grattan-Guinness, I. (ред.). Знаковые произведения западной математики 1640–1940 гг. Эльзевир. стр. 46–58. ISBN 978-0-444-50871-3. Збл  1090.01002.
• Роеро, CS (1983). «Якоб Бернулли, внимательный исследователь творчества Архимеда: примечания на полях к изданию Барроу». Болл. История науки. Мат . 3 (1): 77–125. ISSN  0392-4432.
• Бойер, Карл (1959) [1949]. История исчисления и его концептуальное развитие . Дувр. ISBN 0-486-60509-4. OCLC  643872. Збл  0095.00302.Переиздание книги 1939 года (2-е издание в 1949 году) с другим названием.
• Калинджер, Рональд (1999). Контекстуальная история математики . Прентис-Холл. ISBN 978-0-02-318285-3. ОСЛК  40479696.
• Рейес, Митчелл (2004). «Риторика в математике: Ньютон, Лейбниц, исчисление и риторическая сила бесконечно малых». Ежеквартальный журнал речи . 90 (2): 159–184. дои : 10.1080/0033563042000227427. S2CID  145802382.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). Радуга математики: история математических наук . WW Нортон. ISBN 978-0-393-32030-5. OCLC  44155819. Збл  0876.01003.
  • Ч. 5 Эпоха тригонометрии: Европа, 1540–1660 гг.
  • Ч. 6 Исчисление и его последствия, 1660–1750 гг.
• Хоффман, Рут Ирен (1937). О развитии и использовании понятий исчисления бесконечно малых до Ньютона и Лейбница (МА). Университет Колорадо. ОСЛК  48160073.

Внешние ссылки

• История исчисления в архиве MacTutor History of Mathematics, 1996.
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Документы Ньютона, Цифровая библиотека Кембриджского университета
• (на английском и арабском языках) Экскурсия по исчислению, 1772 г.