Исчисление

Отделение математики

Исчисление — это математическое исследование непрерывных изменений, точно так же, как геометрия — это изучение формы, а алгебра — это изучение обобщений арифметических операций .

Первоначально называемое исчислением бесконечно малых или «исчислением бесконечно малых », оно имеет два основных направления: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление . Первое касается мгновенных скоростей изменений и наклонов кривых , тогда как второе касается накопления величин и площадей под кривыми или между ними. Эти две ветви связаны друг с другом фундаментальной теоремой исчисления и используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к четко определенному пределу . ^[1]

Исчисление бесконечно малых было независимо разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем . ^{[2] [3]} Более поздние работы, включая кодификацию идеи ограничений , поставили эти разработки на более прочную концептуальную основу. Сегодня исчисление широко используется в науке , технике и социальных науках . ^[4]

Этимология

В математическом образовании исчислением обозначаются курсы элементарного математического анализа , которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово «исчисление» на латыни означает «маленький камешек» ( уменьшительное от « calx», что означает «камень»), и это значение до сих пор сохраняется в медицине . Поскольку такие камешки использовались для подсчета расстояний, ^[5] подсчета голосов и выполнения арифметических операций на счетах , это слово стало означать метод вычислений. В этом смысле оно использовалось в английском языке по крайней мере еще в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона. ^[6]

Помимо дифференциального исчисления и интегрального исчисления, этот термин также используется для обозначения конкретных методов вычислений и связанных с ними теорий, которые стремятся смоделировать определенную концепцию с точки зрения математики. Примеры этого соглашения включают исчисление высказываний , исчисление Риччи , вариационное исчисление , лямбда-исчисление , секвенциальное исчисление и исчисление процессов . Более того, термин «исчисление» по-разному применялся в этике и философии для таких систем, как исчисление счастья Бентама и этическое исчисление .

История

Современное исчисление было разработано в Европе 17-го века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (независимо друг от друга, первые публикации примерно в одно и то же время), но его элементы сначала появились в Древнем Египте, а затем в Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке. и еще позже в средневековой Европе и Индии.

Древние предшественники

Египет

Вычисления объема и площади , одна из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском московском папирусе ( ок.  1820  г. до н.э.), но формулы представляют собой простые инструкции без указания того, как они были получены. ^{[7] [8]}

Греция

Архимед использовал метод истощения для вычисления площади под параболой в своей работе « Квадратура параболы» .

Заложив основы интегрального исчисления и предвосхитив концепцию предела, древнегреческий математик Евдокс Книдский ( ок.  390 – 337 до н.э.) разработал метод исчерпывания для доказательства формул для объемов конуса и пирамиды.

В эллинистический период этот метод был далее развит Архимедом ( ок.  287 – ок.  212 до н. э .), который объединил его с концепцией неделимых — предшественником бесконечно малых — что позволило ему решить несколько задач, которые сейчас решаются с помощью интегрального исчисления. В «Методе механических теорем» он описывает, например, вычисление центра тяжести твердого полушария , центра тяжести усеченного конуса круглого параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из ее секущих линий. . ^[9]

Китай

Метод истощения был позже независимо открыт в Китае Лю Хуэем в III веке нашей эры для определения площади круга. ^{[10] [11]} В 5 веке нашей эры Цзу Гэнчжи , сын Цзу Чунчжи , разработал метод ^{[12] [13]} , который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы .

Средневековый

Средний Восток

Ибн аль-Хайсам, арабский математик и физик XI века.

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайсам , латинизированный как Альхазен ( ок.  965  – ок.  1040   г. н.э.), вывел формулу суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что сейчас будет называться интегрированием этой функции, где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . ^[14]

Индия

Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. ^[15] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент обращается в нуль при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». ^[16] В его работе есть свидетельства ранней формы теоремы Ролля . Современная формулировка теоремы Ролля гласит, что если , то для некоторых с . В этой астрономической работе он предложил одну процедуру, которая выглядела как предшественник бесконечно малых методов. С точки зрения этого, если тогда это производная синуса, хотя он не развивал понятие производной. ^[17] В 14 веке индийские математики предложили нестрогий метод, напоминающий дифференцирование, применимый к некоторым тригонометрическим функциям. Таким образом , Мадхава из Сангамаграмы и Школа астрономии и математики Кералы сформулировали компоненты исчисления. Полная теория, охватывающая эти компоненты, теперь хорошо известна в западном мире как аппроксимация ряда Тейлора или бесконечного ряда . ^{[18] [19]} По словам Виктора Дж. Каца, они не смогли «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великое средство решения проблем». инструмент, который у нас есть сегодня». ^[14] ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ a<x<b}$ ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$

Современный

Работа Иоганна Кеплера Stereometrica Doliorum легла в основу интегрального исчисления. ^[20] Кеплер разработал метод расчета площади эллипса путем сложения длин многих радиусов, взятых из фокуса эллипса. ^[21]

Значительной работой стал трактат, истоком которого послужили методы Кеплера ^[21] , написанный Бонавентурой Кавальери , который утверждал, что объемы и площади следует вычислять как суммы объемов и площадей бесконечно тонких поперечных сечений. Идеи были похожи на идеи Архимеда в «Методе» , но этот трактат, как полагают, был утерян в 13 веке и был заново открыт только в начале 20 века, поэтому Кавальери был неизвестен. Работа Кавальери не пользовалась большим уважением, поскольку его методы могли привести к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу вызывали дурную репутацию.

Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей , разработанным в Европе примерно в то же время. Пьер де Ферма , утверждая, что он заимствовал у Диофанта , ввёл понятие адекватности , которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малого члена ошибки. ^[22] Комбинация была достигнута Джоном Уоллисом , Исааком Барроу и Джеймсом Грегори , двое последних доказали предшественников второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года . ^{[23] [24]}

Правило произведения и цепное правило , ^[25] понятия высших производных и рядов Тейлора , ^[26] и аналитических функций ^[27] использовались Исааком Ньютоном в своеобразных обозначениях, которые он применял для решения задач математической физики . В своих работах Ньютон перефразировал свои идеи в соответствии с математической идиомой того времени, заменив вычисления бесконечно малых эквивалентными геометрическими аргументами, которые считались безупречными. Он использовал методы исчисления для решения проблемы движения планет, формы поверхности вращающейся жидкости, сжатия Земли, движения груза, скользящего по циклоиде , и многих других проблем, рассмотренных в его Principia Mathematica (Principia Mathematica ). 1687). В другой работе он разработал разложение в ряды функций, включая дробные и иррациональные степени, и было ясно, что он понимает принципы ряда Тейлора . Он не опубликовал все эти открытия, и в то время бесконечно малые методы все еще считались порочными. ^[28]

Эти идеи были преобразованы в настоящее исчисление бесконечно малых Готфридом Вильгельмом Лейбницем , которого Ньютон первоначально обвинил в плагиате . ^[29] Сейчас он считается независимым изобретателем и участником исчисления. Его вклад заключался в том, чтобы предоставить четкий набор правил для работы с бесконечно малыми величинами, позволяющий вычислять вторые и более высокие производные, а также обеспечивать правило произведения и правило цепочки в их дифференциальной и интегральной формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц приложил кропотливые усилия к выбору обозначений. ^[30]

Сегодня Лейбницу и Ньютону обычно приписывают независимое изобретение и развитие исчисления. Ньютон был первым, кто применил математический анализ к общей физике . Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых сегодня в исчислении. ^{[31] : 51–52} Основными идеями, которые предоставили Ньютон и Лейбниц, были законы дифференцирования и интегрирования, подчеркивающие, что дифференцирование и интегрирование являются обратными процессами, вторыми и высшими производными, а также понятие аппроксимирующего полиномиального ряда.

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, возник большой спор по поводу того, какой математик (и, следовательно, какая страна) заслуживает похвалы. Ньютон первым получил свои результаты (позже они были опубликованы в его « Методе флюксий »), но Лейбниц первым опубликовал свой « Новый метод про максимы и минимисы ». Ньютон утверждал, что Лейбниц украл идеи из его неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества . Этот спор на протяжении многих лет отделял англоязычных математиков от математиков континентальной Европы в ущерб английской математике. ^[32] Тщательное изучение работ Лейбница и Ньютона показывает, что они пришли к своим результатам независимо: Лейбниц начал сначала с интегрирования, а Ньютон — с дифференцирования. Однако именно Лейбниц дал название новой дисциплине. Ньютон назвал свое исчисление « наукой о флюксиях » — этот термин сохранился в английских школах до 19 века. ^{[33] : 100} Первый полный трактат по исчислению, написанный на английском языке и использующий обозначения Лейбница, не был опубликован до 1815 года. ^[34]

Мария Гаэтана Аньези

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в дальнейшее развитие исчисления. Одна из первых и наиболее полных работ по исчислению бесконечно малых и интегралов была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези . ^{[35] [36]}

Фонды

В исчислении под «основами» подразумевается тщательное развитие предмета на основе аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось нестрогим и подвергалось резкой критике со стороны нескольких авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и епископа Беркли . Беркли знаменито описал бесконечно малые величины как призраки ушедших величин в своей книге «Аналитик» в 1734 году. Разработка строгих основ исчисления занимала математиков на протяжении большей части столетия после Ньютона и Лейбница и до сих пор в некоторой степени является активной областью исследований. ^[37]

Несколько математиков, в том числе Маклорен , пытались доказать правильность использования бесконечно малых величин, но только 150 лет спустя благодаря работам Коши и Вейерштрасса был наконец найден способ избежать простых «представлений» о бесконечно малых величинах. . ^[38] Были заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. В « Курсе анализа» Коши мы находим широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования. ^[39] В своей работе Вейерштрасс формализовал концепцию предела и исключил бесконечно малые числа (хотя его определение может подтвердить существование бесконечно малых величин nilsquare ). После работ Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых количествах, хотя этот предмет до сих пор иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. ^[40] Именно в этот период идеи исчисления были обобщены на комплексную плоскость с развитием комплексного анализа . ^[41]

В современной математике основы исчисления входят в область реального анализа , содержащую полные определения и доказательства теорем исчисления. Область применения исчисления также значительно расширилась. Анри Лебег изобрел теорию меры , основанную на более ранних разработках Эмиля Бореля , и использовал ее для определения интегралов всех функций, кроме наиболее патологических . ^[42] Лоран Шварц представил распределения , которые можно использовать для получения производной любой функции. ^[43]

Пределы — не единственный строгий подход к основам исчисления. Другой способ – использовать нестандартный анализ Абрахама Робинсона . Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует технические механизмы математической логики для дополнения системы действительных чисел бесконечно малыми и бесконечными числами, как в исходной концепции Ньютона-Лейбница. Полученные числа называются гипердействительными числами , и их можно использовать для развития обычных правил исчисления в духе Лейбница. ^[44] Существует также гладкий анализ бесконечно малых величин , который отличается от нестандартного анализа тем, что требует пренебрежения бесконечно малыми значениями более высокой степени во время вывода. ^[37] Основываясь на идеях Ф. В. Лоувера и используя методы теории категорий , гладкий бесконечно малый анализ рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными через дискретные сущности. Одним из аспектов этой формулировки является то, что закон исключенного третьего не выполняется. ^[37] Закон исключенного третьего также отвергается в конструктивной математике , разделе математики, который настаивает на том, что доказательства существования числа, функции или другого математического объекта должны давать конструкцию объекта. Переформулировки исчисления в конструктивных рамках обычно являются частью предмета конструктивного анализа . ^[37]

Значение

Хотя многие идеи исчисления были развиты ранее в Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , использование исчисления началось в Европе, в 17 веке, когда Ньютон и Лейбниц опирались на работы более ранних математиков, чтобы представить ее основные принципы. ^{[11] [28] [45]} Венгерский эрудит Джон фон Нейман писал об этой работе:

Исчисление было первым достижением современной математики, и его значение трудно переоценить. Я думаю, что оно более однозначно, чем что-либо другое, определяет зарождение современной математики, а система математического анализа, являющаяся ее логическим развитием, до сих пор представляет собой величайший технический прогресс в точном мышлении. ^[46]

Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение , наклон кривой и оптимизацию . ^{[47] : 341–453} Приложения интегрального исчисления включают вычисления, включающие площадь, объем , длину дуги , центр масс , работу и давление . ^{[47] : 685–700} Более сложные приложения включают степенные ряды и ряды Фурье .

Исчисление также используется для более точного понимания природы пространства, времени и движения. На протяжении веков математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или суммой бесконечного числа чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и площади. Древнегреческий философ Зенон Элейский привел несколько знаменитых примеров подобных парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты, особенно предел и бесконечный ряд , которые разрешают парадоксы. ^[48]

Принципы

Пределы и бесконечно малые

Исчисление обычно разрабатывается при работе с очень малыми величинами. Исторически первым способом сделать это было использование бесконечно малых величин . Это объекты, с которыми можно обращаться как с действительными числами, но которые в некотором смысле «бесконечно малы». Например, бесконечно малое число может быть больше 0, но меньше любого числа в последовательности 1, 1/2, 1/3... и, следовательно, меньше любого положительного действительного числа . С этой точки зрения исчисление представляет собой набор методов манипулирования бесконечно малыми числами. Символы и считались бесконечно малыми, а производная — их отношением. ^[37] ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dy/dx}$

Подход бесконечно малых вышел из моды в 19 веке, потому что было трудно сделать понятие бесконечно малого точным. В конце 19-го века бесконечно малые были заменены в академических кругах эпсилон -дельта- подходом к пределам . Пределы описывают поведение функции на определенном входе с точки зрения ее значений на соседних входах. Они фиксируют мелкомасштабное поведение, используя внутреннюю структуру системы действительных чисел (как метрическое пространство со свойством наименьшей верхней границы ). В этом подходе исчисление представляет собой набор методов манипулирования определенными пределами. Бесконечно малые заменяются последовательностями все меньших и меньших чисел, а бесконечно малое поведение функции находится путем принятия предельного поведения для этих последовательностей. Считалось, что пределы обеспечивают более строгую основу для исчисления, и по этой причине они стали стандартным подходом в 20 веке. Однако концепция бесконечно малых была возрождена в 20 веке с введением нестандартного анализа и гладкого анализа бесконечно малых , которые обеспечили прочную основу для манипулирования бесконечно малыми. ^[37]

Дифференциальное исчисление

Касательная линия в точке ( x ₀ , f ( x ₀ ) ) . Производная f' ( x ) кривой в точке — это наклон (подъём по длине) линии, касательной к этой кривой в этой точке.

Дифференциальное исчисление — это изучение определения, свойств и применения производной функции . Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Учитывая функцию и точку в области определения, производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке ее области определения, можно создать новую функцию, называемую производной функцией или просто производной исходной функции. Формально производная — это линейный оператор , который принимает на вход функцию и производит вторую функцию на выходе. Это более абстрактно, чем многие процессы, изучаемые в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функция удвоения получает входные данные три, то она выводит шесть, а если функция возведения в квадрат получает входные данные три, то она выводит девять. Однако производная может принимать в качестве входных данных функцию возведения в квадрат. Это означает, что производная берет всю информацию функции возведения в квадрат (например, двойка передается четырем, тройка передается девяти, четыре передается шестнадцати и т. д.) и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, полученная в результате дифференцирования функции возведения в квадрат, оказывается функцией удвоения. ^{[31] : 32}

В более явных терминах «функция удвоения» может быть обозначена как g ( x ) = 2 x и «функция возведения в квадрат» через f ( x ) = x ² . «Производная» теперь принимает функцию f ( x ) , определенную выражением « x ² », в качестве входных данных, то есть всю информацию — например, два отправляются четырем, три отправляются девяти, четыре отправляются. до шестнадцати и так далее — и использует эту информацию для вывода другой функции, функции g ( x ) = 2 x , как потом окажется.

В обозначениях Лагранжа символом производной является знак, похожий на апостроф , называемый штрихом . Таким образом, производная функции под названием f обозначается f′ , произносится как «f prime» или «f тире». Например, если f ( x ) = x ² — функция возведения в квадрат, то f′ ( x ) = 2 x — ее производная (функция удвоения g сверху).

Если входные данные функции представляют время, то производная представляет изменение относительно времени. Например, если f — это функция, которая принимает время в качестве входных данных и выдает положение шара в этот момент в качестве выходных данных, то производная от f — это то, как положение меняется во времени, то есть это скорость мяча . . ^{[31] : 18–20}

Если функция линейна (то есть если график функции представляет собой прямую линию), то функцию можно записать как y = mx + b , где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, b — y. -перехват, и:

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Это дает точное значение наклона прямой линии. ^{[49] : 6} Однако если график функции не является прямой линией, то изменение y , деленное на изменение x , меняется. Производные придают точное значение понятию изменения выпуска относительно изменения затрат. Чтобы быть более конкретным, пусть f — функция и зафиксируем точку a в области определения f . ( a , f ( a )) — точка на графике функции. Если h — число, близкое к нулю, то a + h — число, близкое к a . Следовательно, ( a + h , f ( a + h )) близко к ( a , f ( a )) . Наклон между этими двумя точками равен

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Это выражение называется разностным коэффициентом . Линия, проходящая через две точки кривой, называется секущей линией , поэтому m — это наклон секущей линии между ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) . Вторая строка является лишь приближением к поведению функции в точке a , поскольку она не учитывает то, что происходит между a и a + h . Невозможно обнаружить поведение a, установив h равным нулю, поскольку это потребует деления на ноль , который не определен. Производная определяется путем достижения предела , когда h стремится к нулю, что означает, что она учитывает поведение f для всех малых значений h и извлекает согласованное значение для случая, когда h равно нулю:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Геометрически производная — это наклон касательной к графику f в точке a . Касательная линия является пределом секущих, так же как производная является пределом разностных отношений. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f . ^{[49] : 61–63}

Вот конкретный пример: производная функции возведения в квадрат на входе 3. Пусть f ( x ) = x ² будет функцией возведения в квадрат.

Производная f' ( x ) кривой в точке — это наклон линии, касательной к этой кривой в этой точке. Этот наклон определяется с учетом предельного значения наклонов вторых линий. Здесь задействованная функция (отмечена красным) равна f ( x ) = x ³ − x . Касательная линия (зеленого цвета), проходящая через точку (-3/2, -15/8), имеет наклон 23/4. Вертикальный и горизонтальный масштабы на этом изображении различны.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

Наклон касательной к функции возведения в квадрат в точке (3, 9) равен 6, то есть она движется вверх в шесть раз быстрее, чем вправо. Только что описанный предельный процесс может быть выполнен для любой точки области определения функции возведения в квадрат. Это определяет производную функцию возведения в квадрат или просто производную функции возведения в квадрат для краткости. Вычисление, подобное приведенному выше, показывает, что производная функции возведения в квадрат является функцией удвоения. ^{[49] : 63}

Обозначения Лейбница

Общепринятое обозначение производной в приведенном выше примере, введенное Лейбницем:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

В подходе, основанном на ограничениях, символумри/дхследует интерпретировать не как частное двух чисел, а как сокращение предела, вычисленного выше. ^{[49] :74} Лейбниц, однако, намеревался представить частное двух бесконечно малых чисел, причем dy — это бесконечно малое изменение y , вызванное бесконечно малым изменением dx, приложенным к x . Мы также можем подумать од/дхкак оператор дифференцирования, который принимает на вход функцию и дает на выходе другую функцию, производную. Например:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

В этом случае dx в знаменателе читается как «по отношению к x ». ^{[49] : 79} Другим примером правильных обозначений может быть:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}}$

Даже когда исчисление разрабатывается с использованием пределов, а не бесконечно малых, обычно манипулируют такими символами, как dx и dy , как если бы они были действительными числами; хотя таких манипуляций можно избежать, они иногда удобны для выражения таких операций, как полная производная .

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление — это изучение определений, свойств и приложений двух связанных понятий: неопределенного интеграла и определенного интеграла . Процесс нахождения значения интеграла называется интегрированием . ^{[47] : 508} Неопределенный интеграл, также известный как первообразная , представляет собой операцию, обратную производной. ^{[49] : 163–165} F — неопределенный интеграл от f , когда f — производная от F. (Такое использование строчных и прописных букв для обозначения функции и ее неопределенного интеграла распространено в исчислении.) Определенный интеграл вводит функцию и выводит число, которое дает алгебраическую сумму площадей между графиком входных данных и графиком входных данных. ось х . Техническое определение определенного интеграла включает предел суммы площадей прямоугольников, называемый суммой Римана . ^{[50] : 282}

Мотивирующим примером является расстояние, пройденное за заданное время. ^{[49] : 153} Если скорость постоянна, необходимо только умножение:

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

Но если скорость меняется, необходим более мощный метод определения расстояния. Один из таких методов состоит в том, чтобы приблизительно оценить пройденное расстояние, разбив время на множество коротких интервалов времени, затем умножив время, прошедшее в каждом интервале, на одну из скоростей в этом интервале, а затем взяв сумму (сумму Римана ) приблизительное расстояние, пройденное в каждом интервале. Основная идея заключается в том, что если пройдет совсем немного времени, то скорость останется более или менее той же самой. Однако сумма Римана дает лишь приблизительное представление о пройденном расстоянии. Мы должны взять предел всех таких сумм Римана, чтобы найти точное пройденное расстояние.

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное за данный интервал времени, можно вычислить путем умножения скорости и времени. Например, при движении со скоростью 50 миль в час в течение 3 часов общее расстояние составит 150 миль. Построение графика зависимости скорости от времени дает прямоугольник с высотой, равной скорости, и шириной, равной прошедшему времени. Следовательно, произведение скорости и времени также рассчитывает прямоугольную площадь под кривой (постоянной) скорости. ^{[47] : 535} Эту связь между площадью под кривой и пройденным расстоянием можно распространить на любую область неправильной формы, демонстрирующую колеблющуюся скорость в течение заданного периода. Если f ( x ) представляет скорость, изменяющуюся во времени, расстояние, пройденное между моментами времени, представленными a и b , представляет собой площадь области между f ( x ) и осью x , между x = a и x = b .

Чтобы аппроксимировать эту область, интуитивным методом было бы разделить расстояние между a и b на несколько равных сегментов, длина каждого сегмента обозначается символом Δ x . Для каждого небольшого отрезка мы можем выбрать одно значение функции f ( x ) . Назовите это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой h дает расстояние (время Δx , умноженное на скорость h ) , пройденное на этом отрезке. С каждым сегментом связано среднее значение функции над ним f ( x ) = h . Сумма всех таких прямоугольников дает аппроксимацию площади между осью и кривой, которая является аппроксимацией общего пройденного расстояния. Меньшее значение Δ x даст больше прямоугольников и в большинстве случаев лучшее приближение, но для точного ответа нам нужно взять предел, когда Δ x приближается к нулю. ^{[47] : 512–522.}

Символом интегрирования является удлиненная буква S , выбранная для обозначения суммирования. ^{[47] : 529} Определенный интеграл записывается как: ${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

и читается как «интеграл от a до b от f -of- x по x ». Обозначение Лейбница dx призвано предложить разделить область под кривой на бесконечное число прямоугольников так, чтобы их ширина Δx стала бесконечно малой dx . ^{[31] : 44}

Неопределенный интеграл, или первообразная, записывается:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Функции, различающиеся только константой, имеют одну и ту же производную, и можно показать, что первообразная данной функции представляет собой семейство функций, различающихся только константой. ^{[50] : 326} Поскольку производная функции y = x ² + C , где C – любая константа, равна y′ = 2 x , первообразная последней определяется выражением:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

Неуказанная константа C , присутствующая в неопределенном интеграле или первообразной, известна как константа интегрирования . ^{[51] : 135}

Основная теорема

Основная теорема исчисления гласит, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. ^{[50] : 290} Точнее, он связывает значения первообразных с определенными интегралами. Поскольку обычно легче вычислить первообразную, чем применить определение определенного интеграла, фундаментальная теорема исчисления обеспечивает практический способ вычисления определенных интегралов. Это также можно интерпретировать как точное утверждение того факта, что дифференциация является обратной интеграцией.

Основная теорема исчисления гласит: если функция f непрерывна на интервале [ a , b ] и если F — функция, производная которой равна f на интервале ( a , b ) , то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Кроме того , для каждого x в интервале ( a , b )

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Это осознание, сделанное как Ньютоном , так и Лейбницем , стало ключом к распространению аналитических результатов после того, как их работа стала известна. (Степень, в которой Ньютон и Лейбниц находились под влиянием непосредственных предшественников, и особенно то, что Лейбниц мог почерпнуть из работ Исаака Барроу , трудно определить из-за спора о приоритете между ними. ^[52] ). метод вычисления многих определенных интегралов — без выполнения предельных процессов — путем нахождения формул для первообразных . Это также прототип решения дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с ее производными и широко распространены в науке. ^{[53] : 351–352.}

Приложения

Логарифмическая спираль раковины Наутилуса — это классический образ, используемый для изображения роста и изменений, связанных с исчислением.

Исчисление используется во всех отраслях физических наук, ^{[54] : 1} актуарная наука , информатика , статистика , инженерное дело , экономика , бизнес , медицина , демография и в других областях, где проблема может быть математически смоделирована и найдено оптимальное решение. желанный. ^[55] Это позволяет перейти от (непостоянных) скоростей изменений к общему изменению или наоборот, и часто при изучении проблемы мы знаем одно и пытаемся найти другое. ^[56] Исчисление можно использовать в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй для поиска «наилучшего» линейного приближения для набора точек в области. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения математического ожидания непрерывной случайной величины с учетом функции плотности вероятности . ^{[57] : 37} В аналитической геометрии , изучении графиков функций, исчисление используется для нахождения высоких и низких точек (максимумов и минимумов), наклона, вогнутости и точек перегиба . Исчисление также используется для поиска приближенных решений уравнений; на практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и поиска корней в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона , итерация с фиксированной точкой и линейная аппроксимация . Например, космические корабли используют вариант метода Эйлера для аппроксимации изогнутых курсов в условиях невесомости.

Физика особенно использует исчисление; все понятия классической механики и электромагнетизма связаны посредством исчисления. Массу объекта известной плотности , момент инерции объектов и потенциальную энергию гравитационных и электромагнитных сил можно найти с помощью математических вычислений . Примером использования исчисления в механике является второй закон движения Ньютона , который гласит, что производная импульса объекта по времени равна результирующей силе, действующей на него. В качестве альтернативы второй закон Ньютона можно выразить, сказав, что результирующая сила равна произведению массы объекта на его ускорение , которое является производной скорости по времени и, следовательно, второй производной по времени пространственного положения. Зная, как объект ускоряется, мы используем математические вычисления, чтобы определить его путь. ^[58]

Теория электромагнетизма Максвелла и общая теория относительности Эйнштейна также выражены на языке дифференциального исчисления. ^{[59] [60] : 52–55} Химия также использует математический анализ для определения скорости реакций ^{[61] : 599} и при изучении радиоактивного распада. ^{[61] : 814} В биологии динамика популяций начинается с показателей воспроизводства и смертности для моделирования изменений численности населения. ^{[62] [63] : 631}

Теорема Грина , которая дает связь между линейным интегралом вокруг простой замкнутой кривой C и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной C, применяется в приборе, известном как планиметр , который используется для расчета площади квартиры. поверхность на рисунке. ^[64] Например, его можно использовать для расчета площади, занимаемой клумбой неправильной формы или бассейном при проектировании планировки объекта недвижимости.

В сфере медицины математический анализ можно использовать для определения оптимального угла разветвления кровеносного сосуда для максимизации кровотока. ^[65] С помощью математических расчетов можно понять, насколько быстро лекарство выводится из организма или как быстро растет раковая опухоль. ^[66]

В экономике исчисление позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легко рассчитать как предельные издержки , так и предельный доход . ^{[67] : 387}

Смотрите также

• Глоссарий исчисления
• Список тем по исчислению
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Список идентичностей дифференциации
• Публикации по исчислению
• Таблица интегралов

Рекомендации

1. ДеБаггис, Генри Ф.; Миллер, Кеннет С. (1966). Основы исчисления . Филадельфия: Сондерс. ОСЛК  527896.
2. Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Нью-Йорк: Дувр. ОСЛК  643872.
3. Барди, Джейсон Сократ (2006). Войны исчисления: Ньютон, Лейбниц и величайшее математическое столкновение всех времен . Нью-Йорк: Thunder's Mouth Press. ISBN 1-56025-706-7.
4. Хоффманн, Лоуренс Д.; Брэдли, Джеральд Л. (2004). Исчисление для бизнеса, экономики, социальных наук и наук о жизни (8-е изд.). Бостон: МакГроу Хилл. ISBN 0-07-242432-Х.
5. См., например:
   • «История - Были ли такси со счетчиками заняты, бродя по Императорскому Риму?». Обмен скептиками . 17 июня 2020 года. Архивировано из оригинала 25 мая 2012 года . Проверено 13 февраля 2022 г.
   • Кузино, Фил (2010). «Ловец слов: Одиссея в мир странных и чудесных слов». Саймон и Шустер. п. 58. ИСБН 978-1-57344-550-4. OCLC  811492876. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 15 февраля 2022 г.
6. "Исчисление" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
7. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древности до современности: Том 1. Издательство Оксфордского университета. стр. 15–21. ISBN 978-0-19-506135-2. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 20 февраля 2022 г.
8. Имхаузен, Аннет (2016). Математика в Древнем Египте: контекстуальная история . Издательство Принстонского университета. п. 112. ИСБН 978-1-4008-7430-9. ОКЛК  934433864.
9. См., например:
   • Пауэрс, Дж. (2020). «Занимался ли Архимед исчислением?» (PDF) . Математическая ассоциация Америки . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
   • Жюльен, Винсент (2015). «Архимед и неделимые». Еще раз о неделимом семнадцатом веке . Научные сети. Исторические исследования. Том. 49. Чам: Международное издательство Springer. стр. 451–457. дои : 10.1007/978-3-319-00131-9_18. ISBN 978-3-319-00130-2.
   • Пламмер, Брэд (9 августа 2006 г.). «Современная рентгеновская технология раскрывает математическую теорию Архимеда под поддельной картиной». Стэндфордский Университет . Архивировано из оригинала 20 января 2022 года . Проверено 28 февраля 2022 г.
   • Архимед (2004). Работы Архимеда, том 1: Две книги о сфере и цилиндре . Перевод Нетца, Ревель. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66160-7.
   • Грей, Ширли; Уолдман, Сай Х. (20 октября 2018 г.). «Архимед Редукс: Центр массовых приложений метода». Математический журнал колледжа . 49 (5): 346–352. дои : 10.1080/07468342.2018.1524647. ISSN  0746-8342. S2CID  125411353.
10. Дун, Лю; Фан, Дайниан; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований кругов Архимдом и Лю Хуэем. Китайские исследования в истории и философии науки и техники. Том. 130. Спрингер. п. 279. ИСБН 978-0-7923-3463-7. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 15 ноября 2015 г., стр. 279ff. Архивировано 1 марта 2023 г. в Wayback Machine.
11. Дайниан Фан; Р. С. Коэн (1996). Китайские исследования в истории и философии науки и техники . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3463-9. ОСЛК  32272485.
12. Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 203. ИСБН 978-0-321-38700-4.
13. Зилл, Деннис Г.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: ранние трансценденталисты (3-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 15 ноября 2015 г.Отрывок страницы 27. Архивировано 1 марта 2023 г. в Wayback Machine.
14. Кац, Виктор Дж. (июнь 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 68 (3): 163–174. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691411.
15. 50 вневременных ученых автора К.Кришна Мурти
16. Шукла, Крипа Шанкар (1984). «Использование исчисления в индуистской математике». Индийский журнал истории науки . 19 : 95–104.
17. Кук, Роджер (1997). «Математика индусов». История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. стр. 213–215. ISBN 0-471-18082-3.
18. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Обзор индийской математики», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
19. Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-3407-5. ОСЛК  650305544.
20. «Иоганнес Кеплер: его жизнь, его законы и времена». НАСА. 24 сентября 2016 г. Архивировано из оригинала 24 июня 2021 г. Проверено 10 июня 2021 г.
21. Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Исчисление бесконечно малых § История»  . Британская энциклопедия . Том. 14 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 537.
22. Вейль, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра . Бостон: Биркхаузер Бостон. п. 28. ISBN 0-8176-4565-9.
23. Холлингдейл, Стюарт (1991). «Обзор книги «До Ньютона: жизнь и времена Исаака Барроу». Заметки и отчеты Лондонского королевского общества . 45 (2): 277–279. дои : 10.1098/rsnr.1991.0027. ISSN  0035-9149. JSTOR  531707. S2CID  165043307. Наиболее интересны для нас лекции X – XII, в которых Барроу приближается к геометрической демонстрации основной теоремы исчисления... Однако он не осознавал всей значимости своих результатов. и его отказ от алгебры означает, что его работа должна оставаться частью геометрического анализа середины 17 века, представляющего главным образом исторический интерес.
24. Брессуд, Дэвид М. (2011). «Исторические размышления о преподавании основной теоремы интегрального исчисления». Американский математический ежемесячник . 118 (2): 99. doi :10.4169/amer.math.monthly.118.02.099. S2CID  21473035.
25. Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (2006). Исчисление: одна переменная, Том 1 (Иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 248. ИСБН 978-1-931914-59-8. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 31 августа 2017 г.
26. Ферраро, Джованни (2007). Возникновение и развитие теории рядов до начала 1820-х годов (Иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 87. ИСБН 978-0-387-73468-2. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 31 августа 2017 г.
27. Гвиччардини, Никколо (2005). «Исаак Ньютон, Philosophiae naturalis principia mathematica, первое издание (1687 г.)». Знаковые сочинения по западной математике 1640–1940 гг . Эльзевир. стр. 59–87. дои : 10.1016/b978-044450871-3/50086-3. ISBN 978-0-444-50871-3. [Ньютон] сразу понял, что квадратурные задачи (обратные задачи) можно решать с помощью бесконечных рядов: как мы сказали бы сейчас, путем разложения подынтегрального выражения в степенной ряд и интегрирования по членам.
28. Grattan-Guinness, I. , изд. (2005). Знаковые сочинения в западной математике 1640–1940 гг . Амстердам: Эльзевир. ISBN 0-444-50871-6. ОСЛК  60416766.
29. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2008). Ранние математические рукописи Лейбница. Козимо, Inc. с. 228. ИСБН 978-1-605-20533-5. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 5 июня 2022 г.
30. Мазур, Джозеф (2014). Просветляющие символы / Краткая история математической записи и ее скрытых возможностей . Издательство Принстонского университета. п. 166. ИСБН 978-0-691-17337-5. Лейбниц понимал символы, их концептуальную силу, а также их ограничения. Он проводил годы, экспериментируя с некоторыми, корректируя, отвергая и переписываясь со всеми, кого знал, советуясь со многими ведущими математиками того времени, которые симпатизировали его привередливости.
31. Frautschi, Стивен С .; Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М .; Гудштейн, Дэвид Л. (2007). Механическая вселенная: механика и тепло (дополнительное издание). Кембридж [Кембриджшир]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-71590-4. ОСЛК  227002144.
32. Шрейдер, Дороти В. (1962). «Спор Ньютона-Лейбница относительно открытия исчисления». Учитель математики . 55 (5): 385–396. дои : 10.5951/MT.55.5.0385. ISSN  0025-5769. JSTOR  27956626.
33. Стедалл, Жаклин (2012). История математики: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-191-63396-6.
34. Стенхаус, Бриджит (май 2020 г.). «Ранний вклад Мэри Сомервилл в распространение дифференциального исчисления» (PDF) . История Математики . 51 : 1–25. дои : 10.1016/j.hm.2019.12.001. S2CID  214472568.
35. Аллер, Патрисия Р. (2007). Предисловие. Биография Марии Гаэтаны Аньези, женщины-математика восемнадцатого века . Купильяри , Антонелла . Льюистон, Нью-Йорк : Эдвин Меллен Пресс . п. iii. ISBN 978-0-7734-5226-8.
36. Унлу, Элиф (апрель 1995 г.). «Мария Гаэтана Аньези». Колледж Агнес Скотт . Архивировано из оригинала 3 декабря 1998 года . Проверено 7 декабря 2010 г.
37. Белл, Джон Л. (6 сентября 2013 г.). «Непрерывность и бесконечно малые». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 марта 2022 года . Проверено 20 февраля 2022 г.
38. Рассел, Бертран (1946). История западной философии . Лондон: Джордж Аллен и Анвин Лтд . п. 857. Великие математики XVII века были оптимистичны и жаждали быстрых результатов; следовательно, они оставили основы аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых ненадежными. Лейбниц верил в существование бесконечно малых величин, но, хотя эта вера соответствовала его метафизике, она не имела прочного основания в математике. Вейерштрасс вскоре после середины девятнадцатого века показал, как построить исчисление без бесконечно малых и тем самым, наконец, сделал его логически безопасным. Следующим был Георг Кантор, разработавший теорию непрерывности и бесконечного числа. «Непрерывность» была, пока он не дал ей определения, расплывчатым словом, удобным для таких философов, как Гегель, которые хотели внести метафизическую путаницу в математику. Кантор придал этому слову точное значение и показал, что непрерывность, как он ее определил, является понятием, необходимым математикам и физикам. Таким образом, значительная часть мистицизма, такого как бергсоновский, оказалась устаревшей.
39. Грабинер, Джудит В. (1981). Истоки строгого исчисления Коши . Кембридж: MIT Press. ISBN 978-0-387-90527-3.
40. Арчибальд, Том (2008). «Развитие строгости в математическом анализе». В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 117–129. ISBN 978-0-691-11880-2. ОСЛК  682200048.
41. Райс, Адриан (2008). «Хронология математических событий». В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 1010–1014. ISBN 978-0-691-11880-2. ОСЛК  682200048.
42. Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2008). «Анри Лебег». В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 796–797. ISBN 978-0-691-11880-2. ОСЛК  682200048.
43. Барани, Майкл Дж.; Помье, Анн-Сандрин; Лютцен, Йеспер (ноябрь 2017 г.). «От Нэнси до Копенгагена и мира: интернационализация Лорана Шварца и его теории распределений». История Математики . 44 (4): 367–394. дои : 10.1016/j.hm.2017.04.002 .
44. Добен, Джозеф В. (2008). «Авраам Робинсон». В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 822–823. ISBN 978-0-691-11880-2. ОСЛК  682200048.
45. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древности до современности . Том. 3. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-977048-9. OCLC  726764443.
46. фон Нейман, Дж. (1947). «Математик». В Хейвуде, РБ (ред.). Работы разума . Издательство Чикагского университета. стр. 180–196. Перепечатано в Броды, Ф.; Вамос Т., ред. (1995). Компендиум Неймана . World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, стр. 618–626. ISBN 981-02-2201-7.
47. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и другие. (2017). Исчисление. Том. 1. Хьюстон, Техас: OpenStax. ISBN 978-1-938168-02-4. OCLC  1022848630. Архивировано из оригинала 23 сентября 2022 года . Проверено 26 июля 2022 г.
48. Ченг, Евгения (2017). За пределами бесконечности: Экспедиция к внешним пределам математики . Основные книги. стр. 206–210. ISBN 978-1-541-64413-7. ОСЛК  1003309980.
49. Салас, Сатурнино Л.; Хилле, Эйнар (1971). Исчисление; одна и несколько переменных . Уолтем, Массачусетс: Паб Xerox College. ОСЛК  135567.
50. Хьюз-Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г .; Глисон, Эндрю М .; и другие. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-88861-2. ОСЛК  794034942.
51. Моебс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Санни, Джефф; и другие. (2022). Университетская физика, Том 1 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-20-3. ОКЛК  961352944.
52. См., например:
    • Махони, Майкл С. (1990). «Математика Барроу: между древними и современными». В Фейнгольде, М. (ред.). До Ньютона . Издательство Кембриджского университета. стр. 179–249. ISBN 978-0-521-06385-2.
    • Фейнгольд, М. (июнь 1993 г.). «Ньютон, Лейбниц и Барроу тоже: попытка реинтерпретации». Исида . 84 (2): 310–338. Бибкод : 1993Isis...84..310F. дои : 10.1086/356464. ISSN  0021-1753. S2CID  144019197.
    • Пробст, Зигмунд (2015). «Лейбниц как читатель и второй изобретатель: случаи Барроу и Менголи». У Гете Норма Б.; Били, Филип; Рабуэн, Дэвид (ред.). Г.В. Лейбниц, Взаимосвязь математики и философии . Архимед: Новые исследования по истории и философии науки и техники. Том. 41. Спрингер. стр. 111–134. ISBN 978-9-401-79663-7.
53. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт; и другие. (2017). Исчисление. Том 2. Хьюстон: OpenStax. ISBN 978-1-5066-9807-6. OCLC  1127050110. Архивировано из оригинала 26 июля 2022 года . Проверено 26 июля 2022 г.
54. Барон, Маргарет Э. (1969). Истоки исчисления бесконечно малых . Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN 978-1-483-28092-9. ОСЛК  892067655.
55. Каяспор, Али (28 августа 2022 г.). «Прекрасные применения исчисления в реальной жизни». Середина . Архивировано из оригинала 26 сентября 2022 года . Проверено 26 сентября 2022 г.
56. Ху, Чжиин (14 апреля 2021 г.). «Применение и ценность исчисления в повседневной жизни». 2021 2-я Азиатско-Тихоокеанская конференция по обработке изображений, электронике и компьютерам . Ипек2021. Далянь, Китай: ACM. стр. 562–564. дои : 10.1145/3452446.3452583. ISBN 978-1-4503-8981-5. S2CID  233384462.
57. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87342-0. ОСЛК  860391091.
58. Гарбер, Элизабет (2001). Язык физики: исчисление и развитие теоретической физики в Европе, 1750–1914 гг . Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4612-7272-4. ОСЛК  921230825.
59. Холл, Грэм (2008). «Электромагнитная теория Максвелла и специальная теория относительности». Философские труды: математические, физические и технические науки . 366 (1871): 1849–1860. Бибкод : 2008RSPTA.366.1849H. дои : 10.1098/rsta.2007.2192. ISSN  1364-503X. JSTOR  25190792. PMID  18218598. S2CID  502776.
60. Гбур, Грег (2011). Математические методы оптической физики и техники . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-511-91510-9. ОСЛК  704518582.
61. Аткинс, Питер В.; Джонс, Лоретта (2010). Химические принципы: поиски понимания (5-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-1-4292-1955-6. ОСЛК  501943698.
62. Мюррей, JD (2002). Математическая биология. Я, Введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-22437-8. OCLC  53165394.
63. Нойхаузер, Клаудия (2011). Исчисление для биологии и медицины (3-е изд.). Бостон: Прентис Холл. ISBN 978-0-321-64468-8. ОСЛК  426065941.
64. Гаттердам, RW (1981). «Планиметр как пример теоремы Грина». Американский математический ежемесячник . 88 (9): 701–704. дои : 10.2307/2320679. JSTOR  2320679.
65. Адам, Джон А. (июнь 2011 г.). «Ветвление кровеносных сосудов: за пределами стандартной проблемы исчисления». Журнал «Математика» . 84 (3): 196–207. дои : 10.4169/math.mag.84.3.196. ISSN  0025-570X. S2CID  8259705.
66. Маккензи, Дана (2004). «Математическое моделирование и рак» (PDF) . СИАМ Новости . 37 (1). Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
67. Перлофф, Джеффри М. (2018). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением (4-е глобальное изд.). Харлоу: Пирсон. ISBN 978-1-292-15446-6. ОСЛК  1064041906.

дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (1999). Исчисление: Полный курс . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-39607-2.
• Альберс, Дональд Дж.; Андерсон, Ричард Д.; Лофтсгаарден, Дон О., ред. (1986). Программы бакалавриата по математике и информатике: обзор 1985–1986 годов . Математическая ассоциация Америки.
• Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2002). Исчисление . Джон Уайли и сыновья Pte. ООО ISBN 978-81-265-1259-1.
• Апостол, Том М. (1967). Исчисление, том 1, Исчисление с одной переменной и введение в линейную алгебру . Уайли. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Апостол, Том М. (1969). Исчисление, Том 2, Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями . Уайли. ISBN 978-0-471-00007-5.
• Белл, Джон Лейн (1998). Букварь бесконечно малого анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62401-5.Использует синтетическую дифференциальную геометрию и нильпотентные бесконечно малые.
• Боелкинс, М. (2012). Active Calculus: бесплатный открытый текст (PDF) . Архивировано из оригинала 30 мая 2013 года . Проверено 1 февраля 2013 г.
• Бойер, Карл Бенджамин (1959) [1949]. История исчисления и его концептуальное развитие (изд. Дувра). Хафнер. ISBN 0-486-60509-4.
• Каджори, Флориан (сентябрь 1923 г.). «История обозначений исчисления». Анналы математики . 2-я серия. 25 (1): 1–46. дои : 10.2307/1967725. hdl : 2027/mdp.39015017345896 . JSTOR  1967725.
• Курант, Ричард (3 декабря 1998 г.). Введение в исчисление и анализ 1 . ISBN 978-3-540-65058-4.
• Гоник, Ларри (2012). Мультяшное руководство по исчислению . Уильям Морроу. ISBN 978-0-061-68909-3. ОКЛК  932781617.
• Кейслер, HJ (2000). Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых . Получено 29 августа 2010 г. с http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html. Архивировано 1 мая 2011 г. в Wayback Machine.
• Ландау, Эдмунд (2001). Дифференциальное и интегральное исчисление . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2830-4.
• Лебедев Леонид П.; Клауд, Майкл Дж. (2004). «Инструменты исчисления». Приближение к совершенству: путешествие математика в мир механики . Издательство Принстонского университета. Бибкод : 2004apmj.book.....L.
• Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление (9-е изд.). Брукс Коул Сенгедж Обучение. ISBN 978-0-547-16702-2.
• МакКуорри, Дональд А. (2003). Математические методы для ученых и инженеров . Университетские научные книги. ISBN 978-1-891389-24-5.
• Пиковер, Клифф (2003). Исчисление и пицца: кулинарная книга по математике для голодного ума . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-26987-8.
• Салас, Сатурнино Л.; Хилле, Эйнар ; Этген, Гаррет Дж. (2007). Исчисление: одна и несколько переменных (10-е изд.). Уайли . ISBN 978-0-471-69804-3.
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994 г.). Исчисление . Публикация или гибель. ISBN 978-0-914098-89-8.
• Стин, Линн Артур , изд. (1988). Исчисление для нового века; Насос, а не фильтр . Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-058-3.
• Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: ранние трансценденталисты (7-е изд.). Брукс Коул Сенгедж Обучение. ISBN 978-0-538-49790-9.
• Томас, Джордж Бринтон ; Финни, Росс Л.; Вейр, Морис Д. (1996). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1 . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-53174-9.
• Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл ; Джордано, Фрэнк Р. (2008). Исчисление (11-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-48987-6.
• Томпсон, Сильванус П .; Гарднер, Мартин (1998). Исчисление стало проще . ISBN 978-0-312-18548-0.

Внешние ссылки

• «Исчисление», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Исчисление». Математический мир .
• Темы по исчислению на PlanetMath .
• Исчисление стало проще (1914), Сильванус П. Томпсон. Полный текст в PDF
• Исчисление в программе «В наше время» на BBC
• Calculus.org: страница исчисления в Калифорнийском университете в Дэвисе - содержит ресурсы и ссылки на другие сайты.
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Роль исчисления в математике колледжа от ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus от Массачусетского технологического института.
• Исчисление бесконечно малых - статья о его историческом развитии в Математической энциклопедии под ред. Мишель Хазевинкель .
• Дэниел Клейтман, Массачусетский технологический институт. «Исчисление для начинающих и художников».
• Учебные материалы по математическому анализу на imomath.com
• (на английском и арабском языках) Экскурсия по исчислению, 1772 г.