сумма Римана

Метод аппроксимации в интегральном исчислении

Четыре метода аппроксимации площади под кривыми. Левый и правый методы делают аппроксимацию, используя правую и левую конечные точки каждого подынтервала соответственно. Верхний и нижний методы делают аппроксимацию, используя наибольшее и наименьшее значение конечной точки каждого подынтервала соответственно. Значения сумм сходятся, когда подынтервалы делятся пополам сверху слева вниз справа.

В математике сумма Римана — это определенный вид аппроксимации интеграла конечной суммой. Она названа в честь немецкого математика девятнадцатого века Бернхарда Римана . Одним из самых распространенных применений является численное интегрирование , т. е. аппроксимация площади функций или линий на графике, где она также известна как правило прямоугольника . Ее также можно применять для аппроксимации длины кривых и других аппроксимаций.

Сумма вычисляется путем разбиения области на фигуры ( прямоугольники , трапеции , параболы или кубы — иногда бесконечно малые), которые вместе образуют область, похожую на измеряемую область, затем вычисляется площадь для каждой из этих фигур, и, наконец, складывается все эти малые площади вместе. Этот подход может быть использован для нахождения численного приближения для определенного интеграла, даже если фундаментальная теорема исчисления не позволяет легко найти решение в замкнутой форме .

Поскольку область малых форм обычно не совсем такая же, как измеряемая область, сумма Римана будет отличаться от измеряемой области. Эту ошибку можно уменьшить, разделив область более мелко, используя все меньшие и меньшие формы. По мере того, как формы становятся все меньше и меньше, сумма приближается к интегралу Римана .

Определение

Пусть будет функцией, определенной на замкнутом интервале действительных чисел, , и как разбиение , то есть Риманова сумма по с разбиением определяется как где и . ^[1] Можно получить различные суммы Римана в зависимости от того, какие выбраны . В конце концов, это не будет иметь значения, если функция интегрируема по Риману , когда разность или ширина слагаемых приближается к нулю. ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

Типы сумм Римана

Конкретные варианты дают различные типы сумм Римана: ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

• Если для всех i , то метод представляет собой левое правило ^{[2] [3]} и дает левую сумму Римана . ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$
• Если для всех i , метод является правильным правилом ^{[2] [3]} и дает правильную сумму Римана . ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$
• Если для всех i , то метод представляет собой правило средней точки ^{[2] [3]} и дает среднюю сумму Римана . ${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$
• Если ( то есть супремум по ), то метод является верхним правилом и дает верхнюю сумму Римана или верхнюю сумму Дарбу . ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$
• Если (то есть инфимум f по ), то метод является нижним правилом и дает нижнюю сумму Римана или нижнюю сумму Дарбу . ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$

Все эти методы суммирования Римана являются одними из самых основных способов выполнения численного интегрирования . Грубо говоря, функция интегрируема по Риману , если все суммы Римана сходятся, когда разбиение «становится все тоньше и тоньше».

Хотя это и не выводится как сумма Римана, взятие среднего значения левой и правой сумм Римана является правилом трапеций и дает трапециевидную сумму . Это один из самых простых из самых общих способов аппроксимации интегралов с использованием взвешенных средних. За ним по сложности следуют правило Симпсона и формулы Ньютона–Котеса .

Любая сумма Римана на данном разбиении (то есть для любого выбора между и ) содержится между нижней и верхней суммами Дарбу. Это формирует основу интеграла Дарбу , который в конечном итоге эквивалентен интегралу Римана. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Методы суммирования Римана

Четыре метода суммирования Римана обычно лучше всего подходят для подынтервалов одинакового размера. Поэтому интервал [ a , b ] делится на подынтервалы, каждый из которых имеет длину ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}$$

Точки в разделе будут тогда $${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

Левое правило

Левая сумма Римана x ↦ x ³ на [0, 2] с использованием 4 подынтервалов

Для левого правила функция аппроксимируется ее значениями в левых конечных точках подынтервалов. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ) . Проделав это для i = 0, 1, ..., n − 1 , и суммируя полученные площади, получаем $${\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}$$

Левая сумма Римана дает переоценку, если f монотонно убывает на этом интервале, и недооценку, если она монотонно возрастает . Погрешность этой формулы будет равна где — максимальное значение абсолютной величины на интервале. $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Правило правое

Правая сумма Римана x ↦ x ³ на [0, 2] с использованием 4 подынтервалов

Для правильного правила функция аппроксимируется ее значениями в правых конечных точках подынтервалов. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ) . Проделав это для i = 1, ..., n , и суммируя полученные площади, получаем $${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

Правильная сумма Римана приводит к недооценке, если f монотонно убывает , и к переоценке, если она монотонно возрастает . Погрешность этой формулы будет равна где — максимальное значение абсолютной величины на интервале. $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Правило средней точки

Средняя сумма Римана x ↦ x ³ на [0, 2] с использованием 4 подынтервалов

Для правила средней точки функция аппроксимируется ее значениями в средних точках подынтервалов. Это дает f ( a + Δ x /2) для первого подынтервала, f ( a + 3Δ x /2) для следующего и так далее до f ( b − Δ x /2) . Суммирование полученных площадей дает $${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

Погрешность этой формулы будет равна , где — максимальное значение абсолютной величины на интервале. Эта погрешность составляет половину погрешности трапециевидной суммы; таким образом, средняя сумма Римана является наиболее точным приближением к сумме Римана. $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$

Обобщенное правило средней точки

Обобщенная формула правила средней точки, также известная как расширенная интеграция средней точки, задается выражением , где обозначает четную производную. $${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=2\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{{\left(2M\right)^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}}{{\left.f^{(2n)}(x)\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}\,\,,}$$ ${\displaystyle f^{(2n)}}$

Для функции, определенной на интервале , ее интеграл равен Следовательно, мы можем применить эту обобщенную формулу интегрирования средней точки, предположив, что . Эта формула особенно эффективна для численного интегрирования, когда подынтегральное выражение является сильно осциллирующей функцией. ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\int _{0}^{b-a}g(\tau +a)\,d\tau =(b-a)\int _{0}^{1}g((b-a)x+a)\,dx.}$$ ${\displaystyle f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Правило трапеции

Трапециевидная сумма x ↦ x ³ на [0, 2] с использованием 4 подынтервалов

Для формулы трапеций функция аппроксимируется средним значением ее значений в левых и правых конечных точках подынтервалов. Используя формулу площади для трапеции с параллельными сторонами b ₁ и b ₂ и высотой h , и суммируя полученные площади, получаем ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$ $${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

Погрешность этой формулы будет равна где — максимальное значение абсолютной величины . $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f''(x)}$

Приближение, полученное с помощью трапециевидной суммы для функции, равно среднему значению левой и правой сумм этой функции.

Связь с интеграцией

Для одномерной суммы Римана по области , когда максимальный размер подынтервала уменьшается до нуля (то есть предел нормы подынтервалов стремится к нулю), некоторые функции будут иметь все суммы Римана, сходящиеся к одному и тому же значению. Это предельное значение, если оно существует, определяется как определенный интеграл Римана функции по области, ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

Для конечного размера домена, если максимальный размер подынтервала уменьшается до нуля, это означает, что число подынтервалов стремится к бесконечности. Для конечных разбиений суммы Римана всегда являются приближениями к предельному значению, и это приближение улучшается по мере того, как разбиение становится тоньше. Следующие анимации помогают продемонстрировать, как увеличение числа подынтервалов (при одновременном уменьшении максимального размера подынтервала) лучше приближает «площадь» под кривой:

• 
  Левая сумма Римана
• 
  Правая сумма Римана
• 
  Средняя сумма Римана

Поскольку здесь предполагается, что красная функция является гладкой функцией , все три суммы Римана будут сходиться к одному и тому же значению, когда число подынтервалов стремится к бесконечности.

Пример

Сравнение правой суммы Римана с интегралом от x ↦ x ² по . ${\textstyle [0,2]}$

Например, площадь под кривой y = x ² на отрезке [0, 2] можно вычислить процедурно, используя метод Римана.

Интервал [0, 2] сначала делится на n подынтервалов, каждому из которых задается ширина ; это ширина прямоугольников Римана (далее «ящиков»). Поскольку должна использоваться правая сумма Римана, последовательность координат x для ящиков будет . Следовательно, последовательность высот ящиков будет . Важным фактом является то, что , и . ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$ ${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}=2}$

Площадь каждого ящика будет равна , и, следовательно, n- я правая сумма Римана будет равна: ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Если предел рассматривать как n → ∞, то можно сделать вывод, что приближение приближается к фактическому значению площади под кривой по мере увеличения числа ящиков. Следовательно: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

Этот метод согласуется с определенным интегралом, вычисленным более механическими способами: $${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

Поскольку функция непрерывна и монотонно возрастает на интервале, правая сумма Римана переоценивает интеграл на наибольшую величину (тогда как левая сумма Римана недооценивает интеграл на наибольшую величину). Этот факт, который интуитивно понятен из диаграмм, показывает, как природа функции определяет точность оценки интеграла. Хотя простые, правая и левая суммы Римана часто менее точны, чем более продвинутые методы оценки интеграла, такие как правило трапеций или правило Симпсона .

У функции-примера есть легко находимая первообразная, поэтому оценка интеграла с помощью сумм Римана — это, по большей части, академическое упражнение; однако следует помнить, что не все функции имеют первообразные, поэтому оценка их интегралов с помощью суммирования имеет практическое значение.

Более высокие измерения

Основная идея суммы Римана заключается в том, чтобы "разбить" домен посредством разбиения на части, умножить "размер" каждого куска на некоторое значение, которое функция принимает на этом куске, и суммировать все эти произведения. Это можно обобщить, чтобы разрешить суммы Римана для функций в областях более чем одного измерения.

Хотя интуитивно процесс разбиения домена прост для понимания, технические детали того, как домен может быть разделен, становятся намного сложнее, чем в одномерном случае, и включают аспекты геометрической формы домена. ^[4]

Два измерения

В двух измерениях домен может быть разделен на ряд двумерных ячеек, таких что . Каждую ячейку можно интерпретировать как имеющую «площадь», обозначенную . ^[5] Двумерная сумма Римана равна , где . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\textstyle A=\bigcup _{i}A_{i}}$ ${\displaystyle \Delta A_{i}}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},}$$ ${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}}$

Три измерения

В трех измерениях домен разбивается на ряд трехмерных ячеек таким образом, что . Каждую ячейку можно интерпретировать как имеющую «объем», обозначенный . Трехмерная сумма Римана равна ^[6] , где . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle V=\bigcup _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$ ${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}}$

Произвольное количество измерений

Более многомерные суммы Римана следуют аналогичному шаблону. N -мерная сумма Римана есть где , то есть это точка в n -мерной ячейке с n -мерным объемом . $${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$ ${\displaystyle P_{i}^{*}\in V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$

Обобщение

В высокой общности суммы Римана можно записать , где обозначает любую произвольную точку, содержащуюся в наборе , а является мерой на базовом наборе. Грубо говоря, мера — это функция, которая дает «размер» набора, в данном случае размер набора ; в одном измерении это часто можно интерпретировать как длину, в двух измерениях — как площадь, в трех измерениях — как объем и т. д. $${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i}),}$$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{i}}$

Смотрите также

• Первообразный
• Метод Эйлера и метод средней точки , родственные методы решения дифференциальных уравнений
• Интеграция Лебега
• Интеграл Римана , предел сумм Римана, когда разбиение становится бесконечно мелким
• Правило Симпсона — мощный численный метод, более мощный, чем базовые суммы Римана или даже правило трапеций.
• Правило трапеций , численный метод, основанный на среднем значении левой и правой суммы Римана.

Ссылки

1. Хьюз-Халлетт, Дебора; МакКаллум, Уильям Г.; и др. (2005). Исчисление (4-е изд.). Wiley. стр. 252.(Среди многих эквивалентных вариантов определения эта ссылка очень похожа на приведенную здесь.)
2. Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (4-е изд.). Wiley. стр. 340. До сих пор у нас было три способа оценки интеграла с использованием суммы Римана: 1. Левое правило использует левую конечную точку каждого подынтервала. 2. Правое правило использует правую конечную точку каждого подынтервала. 3. Правило средней точки использует среднюю точку каждого подынтервала.
3. Остеби, Арнольд; Зорн, Пол (2002). Исчисление с графической, числовой и символической точек зрения (Второе изд.). стр. M-33. Аппроксимирующие суммы по правилу левой, правой и средней точки соответствуют этому определению.
4. Своковски, Эрл В. (1979). Исчисление с аналитической геометрией (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Prindle, Weber & Schmidt. стр. 821–822. ISBN 0-87150-268-2.
5. Остеби, Арнольд; Зорн, Пол (2002). Исчисление с графической, числовой и символической точек зрения (Второе изд.). стр. M-34. Мы разбиваем плоскую область R на m меньших областей R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _m , возможно, разных размеров и форм. «Размер» подобласти R _i теперь принимается равным ее площади , обозначаемой Δ A _i .
6. Своковски, Эрл В. (1979). Исчисление с аналитической геометрией (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Prindle, Weber & Schmidt. стр. 857–858. ISBN 0-87150-268-2.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Римана». Математический мир .
• Моделирование, показывающее сходимость сумм Римана