Метод средней точки

Численное решение дифференциальных уравнений

Иллюстрация метода средней точки, предполагающая, что равно точному значению. Метод средней точки вычисляет так, что красная хорда приблизительно параллельна касательной в средней точке (зеленая линия). ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n}).}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$

В численном анализе , разделе прикладной математики , метод средней точки представляет собой одношаговый метод численного решения дифференциального уравнения ,

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Явный метод средней точки задается формулой

неявный метод средней точки

для Здесь — размер шага — небольшое положительное число, а — вычисленное приближенное значение Явный метод средней точки иногда также называют модифицированным методом Эйлера , ^[1] неявный метод — наиболее простой метод коллокации , и, применительно к гамильтоновой динамике, симплектический интегратор . Обратите внимание, что модифицированный метод Эйлера может ссылаться на метод Хойна , ^[2] для большей ясности см. Список методов Рунге–Кутты . ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n}).}$

Название метода происходит от того факта, что в приведенной выше формуле функция, задающая наклон решения, оценивается в средней точке между той, в которой известно значение , и той, в которой необходимо найти значение . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Геометрическая интерпретация может дать лучшее интуитивное понимание метода (см. рисунок справа). В базовом методе Эйлера касательная кривой в точке вычисляется с помощью . Следующее значение находится там, где касательная пересекает вертикальную линию . Однако, если вторая производная положительна только между и или только отрицательна (как на диаграмме), кривая будет все больше отклоняться от касательной, что приведет к большим ошибкам по мере увеличения. Диаграмма иллюстрирует, что касательная в средней точке (верхний, зеленый сегмент линии), скорее всего, даст более точное приближение кривой в этом интервале. Однако эта касательная в средней точке не может быть точно вычислена, поскольку мы не знаем кривую (именно ее нужно вычислить). Вместо этого эта касательная оценивается с помощью исходного метода Эйлера для оценки значения в средней точке, а затем вычисления наклона касательной с помощью . Наконец, улучшенная касательная используется для вычисления значения из . Этот последний шаг представлен красной хордой на диаграмме. Обратите внимание, что красная хорда не совсем параллельна зеленому отрезку (истинной касательной) из-за ошибки в оценке значения в средней точке. ${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle t=t_{n+1}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle f()}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Локальная ошибка на каждом шаге метода средней точки имеет порядок , что дает глобальную ошибку порядка . Таким образом, хотя и более интенсивна в вычислительном плане, чем метод Эйлера, ошибка метода средней точки обычно уменьшается быстрее, как . ${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$ ${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Эти методы являются примерами класса методов высшего порядка, известных как методы Рунге–Кутты .

Вывод метода средней точки

Иллюстрация численного интегрирования для уравнения Синий: метод Эйлера , зеленый: метод средней точки, красный: точное решение, Размер шага равен ${\displaystyle y'=y,y(0)=1.}$ ${\displaystyle y=e^{t}.}$ ${\displaystyle h=1.0.}$

Та же иллюстрация для Видно, что метод средней точки сходится быстрее, чем метод Эйлера. ${\displaystyle h=0.25.}$

Метод средней точки является усовершенствованием метода Эйлера.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

и выводится аналогичным образом. Ключом к выводу метода Эйлера является приближенное равенство

который получается из формулы наклона

и имея в виду, что ${\displaystyle y'=f(t,y).}$

Для методов средней точки (3) заменяют на более точный

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

когда вместо (2) мы находим

Нельзя использовать это уравнение для нахождения, поскольку неизвестно при . Решение состоит в том, чтобы использовать разложение в ряд Тейлора точно так же, как если бы использовался метод Эйлера для решения для : ${\displaystyle y(t+h)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t+h/2}$ ${\displaystyle y(t+h/2)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

что при подключении к (4) дает нам

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

и явный метод средней точки (1e).

Неявный метод (1i) получается путем аппроксимации значения на полушаге средней точкой отрезка от до ${\displaystyle t+h/2}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y(t+h)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

и таким образом

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

Вставка аппроксимации для результатов в неявный метод Рунге-Кутты ${\displaystyle y_{n}+h\,k}$ ${\displaystyle y(t_{n}+h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

который содержит неявный метод Эйлера с размером шага в качестве своей первой части. ${\displaystyle h/2}$

Из-за симметрии времени неявного метода все члены четной степени локальной ошибки сокращаются, так что локальная ошибка автоматически имеет порядок . Замена неявного метода Эйлера явным при определении результатов снова приводит к явному методу средней точки. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Метод прямоугольника
• Метод Хёна
• Интеграция Leapfrog и интеграция Verlet

Примечания

1. Süli & Mayers 2003, стр. 328
2. Бремя и ярмарки 2010, с. 286

Ссылки

• Гриффитс, Д.В.; Смит, И.М. (1991). Численные методы для инженеров: программный подход . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 218. ISBN 0-8493-8610-1.
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
• Берден, Ричард; Фейрес, Джон (2010). Численный анализ . Ричард Страттон. стр. 286. ISBN 978-0-538-73351-9.