Симплектический интегратор

Схема численного интегрирования для гамильтоновых систем

В математике симплектический интегратор ( СИ ) — это численная схема интегрирования для гамильтоновых систем . Симплектические интеграторы образуют подкласс геометрических интеграторов , которые по определению являются каноническими преобразованиями . Они широко используются в нелинейной динамике , молекулярной динамике , методах дискретных элементов , физике ускорителей , физике плазмы , квантовой физике и небесной механике .

Введение

Симплектические интеграторы предназначены для численного решения уравнений Гамильтона , которые имеют вид

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

где обозначает координаты положения, координаты импульса, а — гамильтониан. Набор координат положения и импульса называется каноническими координатами . (См. Гамильтонову механику для получения дополнительной информации.) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (q,p)}$

Эволюция во времени уравнений Гамильтона является симплектоморфизмом , что означает, что она сохраняет симплектическую 2-форму . Численная схема является симплектическим интегратором, если она также сохраняет эту 2-форму. ${\displaystyle dp\wedge dq}$

Симплектические интеграторы обладают, как сохраняющейся величиной, гамильтонианом, который слегка возмущен по сравнению с исходным. ^[1] Благодаря этим преимуществам схема SI широко применяется для расчетов долгосрочной эволюции хаотических гамильтоновых систем, начиная от задачи Кеплера и заканчивая классическим и полуклассическим моделированием в молекулярной динамике .

Большинство обычных численных методов, таких как примитивная схема Эйлера и классическая схема Рунге–Кутты , не являются симплектическими интеграторами.

Методы построения симплектических алгоритмов

Методы расщепления для разделимых гамильтонианов

Широко используемый класс симплектических интеграторов образован методами расщепления.

Предположим, что гамильтониан разделим, то есть его можно записать в виде

Это часто происходит в гамильтоновой механике, где T — кинетическая энергия , а V — потенциальная энергия .

Для простоты обозначений введем символ для обозначения канонических координат, включающих как координаты положения, так и координаты импульса. Тогда набор уравнений Гамильтона, приведенный во введении, можно выразить одним выражением: ${\displaystyle z=(q,p)}$

где — скобка Пуассона . Кроме того, вводя оператор , который возвращает скобку Пуассона операнда с гамильтонианом , выражение уравнения Гамильтона можно еще больше упростить до ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=D_{H}z.}$

Формальное решение этой системы уравнений дается в виде матричной экспоненты :

Обратите внимание на положительность в матричной экспоненте. ${\displaystyle \tau D_{H}}$

Когда гамильтониан имеет форму уравнения ( 1 ), решение ( 3 ) эквивалентно

Схема SI аппроксимирует оператор эволюции во времени в формальном решении ( 4 ) произведением операторов как ${\displaystyle \exp[\tau (D_{T}+D_{V})]}$

где и — действительные числа, — целое число, которое называется порядком интегратора, и где . Обратите внимание, что каждый из операторов и обеспечивает симплектическое отображение , поэтому их произведение, появляющееся в правой части ( 5 ), также представляет собой симплектическое отображение. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}$ ${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$ ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

Так как для всех , то можно заключить, что ${\displaystyle D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)}$ ${\displaystyle z}$

Используя ряд Тейлора , можно выразить как ${\displaystyle \exp(aD_{T})}$

где - произвольное действительное число. Объединяя ( 6 ) и ( 7 ), и используя те же рассуждения для , которые мы использовали для , мы получаем ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{V}}$ ${\displaystyle D_{T}}$

Конкретно говоря, дает отображение ${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},}$

и дает ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.}$

Обратите внимание, что обе эти карты практически вычислимы.

Примеры

Упрощенная форма уравнений (в порядке выполнения):

${\displaystyle q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t}$

${\displaystyle p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t}$

Обратите внимание, что в силу принятых выше определений (в операторной версии объяснения) индекс обходит по убыванию при прохождении шагов ( для схемы четвертого порядка). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=4,3,2,1}$

После преобразования в лагранжевы координаты:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t}$

Где — вектор силы при , — вектор ускорения при , — скалярная величина массы. ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$

Ниже приведены несколько симплектических интеграторов. Иллюстративный способ их использования — рассмотреть частицу с положением и импульсом . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Чтобы применить временной шаг со значениями к частице, выполните следующие шаги (опять же, как отмечено выше, с индексом в порядке убывания): ${\displaystyle c_{1,2,3},d_{1,2,3}}$ ${\displaystyle i=3,2,1}$

Итеративно:

• Обновите положение частицы, добавив к нему ее (ранее обновленную) скорость, умноженную на ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{i}}$
• Обновите скорость частицы, добавив к ней ее ускорение (в обновленном положении), умноженное на ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Пример первого порядка

Симплектический метод Эйлера — это интегратор первого порядка с коэффициентами и ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle c_{1}=d_{1}=1.}$

Обратите внимание, что алгоритм выше не работает, если требуется обратимость времени. Алгоритм должен быть реализован в двух частях: одна для положительных временных шагов, другая для отрицательных временных шагов.

Пример второго порядка

Метод Верле — это интегратор второго порядка с коэффициентами и ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

Поскольку , алгоритм выше симметричен по времени. В алгоритме 3 шага, и шаги 1 и 3 абсолютно одинаковы, поэтому версию с положительным временем можно использовать для отрицательного времени. ${\displaystyle c_{1}=0}$

Пример третьего порядка

Симплектический интегратор третьего порядка (с ) был открыт Рональдом Рутом в 1983 году. ^[2] Одно из многих решений дается формулой ${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}}$

Пример четвертого порядка

Интегратор четвертого порядка (с ) был также открыт Рут в 1983 году и распространен в частном порядке среди сообщества ускорителей частиц в то время. Это было описано в оживленной обзорной статье Фореста. ^[3] Этот интегратор четвертого порядка был опубликован в 1990 году Форестом и Рут, а также независимо открыт двумя другими группами примерно в то же время. ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle k=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}}$

Для определения этих коэффициентов можно использовать формулу Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа . Йошида, в частности, дает элегантный вывод коэффициентов для интеграторов более высокого порядка. Позднее Бланес и Моан ^[7] дополнительно разработали методы секционирования Рунге–Кутты для интегрирования систем с разделяемыми гамильтонианами с очень малыми константами ошибок.

Методы расщепления для общих неразделимых гамильтонианов

Общие неразделимые гамильтонианы также могут быть явно и симплектически интегрированы.

Для этого Тао ввел ограничение, которое связывает две копии фазового пространства вместе, чтобы обеспечить явное разделение таких систем. ^[8] Идея заключается в том, что вместо , моделируется , решение которого согласуется с решением в том смысле, что . ${\displaystyle H(Q,P)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$ ${\displaystyle H(Q,P)}$ ${\displaystyle q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)}$

Новый гамильтониан выгоден для явного симплектического интегрирования, поскольку его можно разбить на сумму трех субгамильтонианов, , и . Точные решения всех трех субгамильтонианов могут быть получены явно: оба решения соответствуют сдвигам несовпадающих положения и импульса и соответствуют линейному преобразованию. Для симплектического моделирования системы просто составляются эти карты решений. ${\displaystyle H_{A}=H(q,y)}$ ${\displaystyle H_{B}=H(x,p)}$ ${\displaystyle H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$ ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$ ${\displaystyle H_{C}}$

Приложения

В физике плазмы

В последние десятилетия симплектический интегратор в физике плазмы стал активной темой исследований ^[9], поскольку простые приложения стандартных симплектических методов не удовлетворяют потребности в крупномасштабном моделировании плазмы, поддерживаемом вычислительным оборудованием пета-экза-масштаба. Специальные симплектические алгоритмы должны быть специально разработаны, используя специальные структуры исследуемой физической проблемы. Одним из таких примеров является динамика заряженных частиц в электромагнитном поле. При канонической симплектической структуре гамильтониан динамики имеет вид , α-зависимость и α-зависимость неразделимы, и стандартные явные симплектические методы неприменимы. Однако для крупномасштабного моделирования на массивно-параллельных кластерах предпочтительны явные методы. Чтобы преодолеть эту трудность, мы можем исследовать конкретный способ, которым α -зависимость и α-зависимость запутываются в этом гамильтониане, и попытаться разработать симплектический алгоритм только для этого или этого типа проблемы. Во-первых, отметим, что -зависимость квадратичная, поэтому симплектический метод Эйлера первого порядка, неявный в , на самом деле явный. Это то, что используется в каноническом симплектическом алгоритме частиц в ячейках (PIC). ^[10] Для построения явных методов высокого порядка отметим далее, что -зависимость и -зависимость в этом являются разделяемыми произведениями, явные симплектические алгоритмы 2-го и 3-го порядков могут быть построены с использованием производящих функций, ^[11] и произвольно явные симплектические интеграторы высокого порядка для зависящих от времени электромагнитных полей также могут быть построены с использованием методов Рунге-Кутты. ^[12] $${\displaystyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}$

Более элегантная и универсальная альтернатива — рассмотреть следующую неканоническую симплектическую структуру задачи. Вот непостоянная неканоническая симплектическая форма. Общего симплектического интегратора для непостоянной неканонической симплектической структуры, явного или неявного, не существует. Однако для этой конкретной задачи можно построить семейство явных неканонических симплектических интеграторов высокого порядка с использованием метода расщепления He. ^[13] Разделив на 4 части, мы по счастливой случайности обнаруживаем, что для каждой подсистемы, например, и карту решений можно записать явно и вычислить точно. Тогда явные неканонические симплектические алгоритмы высокого порядка можно построить с использованием различных композиций. Пусть и обозначают точные карты решений для 4 подсистем. Симплектическая схема 1-го порядка — это Симметричная симплектическая схема 2-го порядка — это , которая является обычно модифицированным расщеплением Стрэнга. Схема -го порядка может быть построена из схемы -го порядка с использованием метода тройного прыжка. Метод расщепления He является одним из ключевых методов, используемых в алгоритмах геометрических частиц в ячейках (PIC), сохраняющих структуру. ^{[14] [15] [16] [17]} $${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .}$$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle H}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}}$$ $${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },}$$ ${\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}$ ${\textstyle \Theta _{\phi }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}}$$ ${\textstyle 2(l+1)}$ ${\textstyle 2l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Энергетический дрейф
• Мультисимплектический интегратор
• Вариационный интегратор
• Интеграция Верле

Ссылки

1. Такерман, Марк Э. (2010). Статистическая механика: теория и молекулярное моделирование (1-е изд.). Oxford University Press. С. 121–124. ISBN 9780198525264.
2. Рут, Рональд Д. (август 1983 г.). «Канонический метод интеграции». Труды IEEE по ядерной науке . NS-30 (4): 2669–2671. Bibcode : 1983ITNS...30.2669R. doi : 10.1109/TNS.1983.4332919. S2CID  5911358.
3. Форест, Этьен (2006). «Геометрическое интегрирование для ускорителей частиц». J. Phys. A: Math. Gen. 39 ( 19): 5321–5377. Bibcode : 2006JPhA...39.5321F. doi : 10.1088/0305-4470/39/19/S03.
4. Форест, Э.; Рут, Рональд Д. (1990). «Симплектическое интегрирование четвертого порядка» (PDF) . Physica D. 43 : 105–117. Bibcode : 1990PhyD...43..105F. doi : 10.1016/0167-2789(90)90019-L.
5. Yoshida, H. (1990). «Построение симплектических интеграторов высшего порядка». Phys. Lett. A. 150 ( 5–7): 262–268. Bibcode :1990PhLA..150..262Y. doi :10.1016/0375-9601(90)90092-3.
6. Кэнди, Дж.; Розмус, В. (1991). «Симплектический алгоритм интегрирования для разделяемых гамильтоновых функций». J. Comput. Phys . 92 (1): 230–256. Bibcode :1991JCoPh..92..230C. doi :10.1016/0021-9991(91)90299-Z.
7. Бланес, С.; Моан, ПК (май 2002 г.). «Практические симплектические методы секционирования Рунге–Кутты и Рунге–Кутты–Нистрёма». Журнал вычислительной и прикладной математики . 142 (2): 313–330. Bibcode : 2002JCoAM.142..313B. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00492-7 .
8. Тао, Молей (2016). «Явная симплектическая аппроксимация неразделимых гамильтонианов: алгоритм и долговременная производительность». Phys. Rev. E. 94 ( 4): 043303. arXiv : 1609.02212 . Bibcode : 2016PhRvE..94d3303T. doi : 10.1103/PhysRevE.94.043303. PMID  27841574. S2CID  41468935.
9. Qin, H.; Guan, X. (2008). "Вариационный симплектический интегратор для движения ведущего центра заряженных частиц для долговременного моделирования в общих магнитных полях" (PDF) . Physical Review Letters . 100 (3): 035006. doi :10.1103/PhysRevLett.100.035006. PMID  18232993.
10. Qin, H.; Liu, J.; Xiao, J. (2016). «Канонический симплектический метод частиц в ячейках для долгосрочного крупномасштабного моделирования уравнений Власова–Максвелла». Nuclear Fusion . 56 (1): 014001. arXiv : 1503.08334 . Bibcode :2016NucFu..56a4001Q. doi :10.1088/0029-5515/56/1/014001. S2CID  29190330.
11. Чжан, Р.; Цинь, Х.; Тан, И. (2016). «Явные симплектические алгоритмы на основе производящих функций для динамики заряженных частиц». Physical Review E. 94 ( 1): 013205. arXiv : 1604.02787 . Bibcode : 2016PhRvE..94a3205Z. doi : 10.1103/PhysRevE.94.013205. PMID  27575228. S2CID  2166879.
12. Тао, М. (2016). «Явные симплектические интеграторы высокого порядка для заряженных частиц в общих электромагнитных полях». Журнал вычислительной физики . 327 : 245. arXiv : 1605.01458 . Bibcode : 2016JCoPh.327..245T. doi : 10.1016/j.jcp.2016.09.047. S2CID  31262651.
13. He, Y.; Qin, H.; Sun, Y. (2015). "Гамильтоновы методы интегрирования для уравнений Власова-Максвелла". Physics of Plasmas . 22 : 124503. arXiv : 1505.06076 . doi : 10.1063/1.4938034. S2CID  118560512.
14. Сяо, Дж.; Цинь, Х.; Лю, Дж. (2015). «Явные неканонические симплектические алгоритмы частиц в ячейках высокого порядка для систем Власова-Максвелла». Физика плазмы . 22 (11): 112504. arXiv : 1510.06972 . Bibcode : 2015PhPl...22k2504X. doi : 10.1063/1.4935904. S2CID  12893515.
15. Краус, М.; Корманн, К.; Моррисон, П.; Зоннендрукер, Э. (2017). «GEMPIC: геометрические электромагнитные методы частиц в ячейках». Журнал физики плазмы . 83 (4): 905830401. arXiv : 1609.03053 . Bibcode : 2017JPlPh..83d9001K. doi : 10.1017/S002237781700040X. S2CID  8207132.
16. Сяо, Дж.; Цинь, Х.; Лю, Дж. (2018). «Сохраняющие структуру геометрические методы частиц в ячейках для систем Власова-Максвелла». Plasma Science and Technology . 20 (11): 110501. arXiv : 1804.08823 . Bibcode : 2018PlST...20k0501X. doi : 10.1088/2058-6272/aac3d1. S2CID  250801157.
17. Glasser, A.; Qin, H. (2022). «Алгоритм расщепления гамильтониана, совместимый с калибровкой, для моделирования частиц в ячейках с использованием внешнего конечно-элементного исчисления». Журнал физики плазмы . 88 (2): 835880202. arXiv : 2110.10346 . Bibcode : 2022JPlPh..88b8302G. doi : 10.1017/S0022377822000290. S2CID  239049433.

• Леймкулер, Бен; Райх, Себастьян (2005). Моделирование гамильтоновой динамики . Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7.
• Хайрер, Эрнст; Любич, Кристиан; Ваннер, Герхард (2006). Геометрическое численное интегрирование: алгоритмы сохранения структуры для обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-30663-4.
• Кан, Фэн; Цинь, Мэнчжао (2010). Симплектические геометрические алгоритмы для гамильтоновых систем . Springer.