проблема Кеплера

Частный случай задачи двух тел

В классической механике задача Кеплера представляет собой частный случай задачи двух тел , в которой два тела взаимодействуют с помощью центральной силы F , сила которой меняется пропорционально обратному квадрату расстояния r между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Проблема состоит в том, чтобы найти положение или скорость двух тел во времени, учитывая их массы , положения и скорости . Используя классическую механику, решение можно выразить в виде орбиты Кеплера с использованием шести орбитальных элементов .

Проблема Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера , который предложил законы движения планет Кеплера (которые являются частью классической механики и решили проблему орбит планет) и исследовал типы сил, которые приводят к тому, что орбиты подчиняются этим законам (так называемые обратная задача Кеплера ). ^[1]

Для обсуждения проблемы Кеплера, характерной для радиальных орбит, см. Радиальную траекторию . Общая теория относительности обеспечивает более точные решения проблемы двух тел, особенно в сильных гравитационных полях .

Приложения

Проблема Кеплера возникает во многих контекстах, некоторые из которых выходят за рамки физики, которую изучал сам Кеплер. Проблема Кеплера важна в небесной механике , поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают спутник, движущийся вокруг планеты, планету вокруг своего Солнца или две двойные звезды друг вокруг друга. Проблема Кеплера важна также и в движении двух заряженных частиц, поскольку закон электростатики Кулона также подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают атом водорода , позитроний и мюоний , которые сыграли важную роль в качестве модельных систем для проверки физических теорий и измерения констант природы. ^{[ нужна цитата ]}

Проблема Кеплера и проблема простого гармонического осциллятора — две наиболее фундаментальные проблемы классической механики . Это единственные две задачи, которые имеют замкнутые орбиты для любого возможного набора начальных условий, т. е. возвращаются в исходную точку с одинаковой скоростью ( теорема Бертрана ). Задача Кеплера часто использовалась для разработки новых методов классической механики, таких как механика Лагранжа , механика Гамильтона , уравнение Гамильтона-Якоби и координаты действие-угол . ^{[ нужна цитация ]} Проблема Кеплера также сохраняет вектор Лапласа-Рунге-Ленца , который с тех пор был обобщен для включения других взаимодействий. Решение проблемы Кеплера позволило ученым показать, что движение планет можно полностью объяснить классической механикой и законом тяготения Ньютона ; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в провозглашении Просвещения .

Математическое определение

Центральная сила F между двумя объектами изменяется по силе как обратная квадрату расстояния r между ними:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

где k — константа и представляет собой единичный вектор вдоль линии между ними. ^[2] Сила может быть либо притягивающей ( k <0), либо отталкивающей ( k >0). Соответствующий скалярный потенциал : ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

Решение проблемы Кеплера

Уравнение движения радиуса частицы массы, движущейся в центральном потенциале , дается уравнениями Лагранжа ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$и угловой момент сохраняется. Для иллюстрации первый член в левой части равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила равна требованию центростремительной силы , как и ожидалось. ${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$ ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ ${\displaystyle mr\omega ^{2}}$

Если L не равно нулю, определение углового момента допускает замену независимой переменной с на ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

дающее новое уравнение движения, независимое от времени

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

Расширение первого члена

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Это уравнение становится квазилинейным после замены переменных и умножения обеих частей на ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

После замены и перестановки:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

Для закона обратных квадратов силы, такого как гравитационный или электростатический потенциал , потенциал можно записать

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

Орбиту можно вывести из общего уравнения ${\displaystyle u(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

решением которого является константа плюс простая синусоида ${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

где ( эксцентриситет ) и ( сдвиг фазы ) — константы интегрирования. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Это общая формула конического сечения с одним фокусом в начале координат; соответствует кругу , соответствует эллипсу, соответствует параболе и соответствует гиперболе . Эксцентриситет связан с полной энергией (ср. вектор Лапласа – Рунге – Ленца ). ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

Сравнение этих формул показывает, что соответствует эллипсу (все решения, имеющие замкнутые орбиты, являются эллипсами), соответствует параболе и соответствует гиперболе . В частности, для идеально круговых орбит (центральная сила точно равна требованию центростремительной силы , которая определяет необходимую угловую скорость для данного кругового радиуса). ${\displaystyle E<0}$ ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

Для силы отталкивания ( k  > 0) применимо только e  > 1.

Смотрите также

• Координаты действия-угла
• Теорема Бертрана
• Уравнение Бине
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• Кеплер орбита
• Проблема Кеплера в общей теории относительности
• Уравнение Кеплера
• Законы движения планет Кеплера

Рекомендации

1. Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли .
2. Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики, 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 38. ISBN 978-0-387-96890-2.