В математике гипербола ( / h aɪ ˈ p ɜːr b ə l ə / _ⓘ ; пл. гиперболыилигиперболы /- l iː /ⓘ ; прил. гиперболический / ˌ h aɪ p ər ˈ b ɒ l ɪ k /ⓘ ) — это типгладкойкривой, лежащей в плоскости, определяемый ее геометрическими свойствами илиуравнениями, для которых она является множеством решений. Гипербола состоит из двух частей, называемыхсвязными компонентамиили ветвями, которые являются зеркальными отражениями друг друга и напоминают два бесконечныхлука. Гипербола — один из трёх видовконического сечения, образованный пересечением плоскостиидвойногоконуса. (Другие конические сечения —параболаиэллипс.Окружность— частный случай эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершину конусов, то коника — это гипербола. .
Помимо того, что гипербола является коническим сечением, она может возникать как геометрическое место точек, разница расстояний до двух фиксированных фокусов которых постоянна, как кривая, для каждой точки которой лучи, ведущие к двум фиксированным фокусам, отражаются через касательную линию в этой точке. или как решение некоторых двумерных квадратных уравнений , таких как соотношение взаимности [1] В практических приложениях гипербола может возникать как путь, по которому следует тень кончика гномона солнечных часов , форма открытой орбиты, такая как скорость небесного объекта, превышающая, среди прочего, скорость убегания ближайшего гравитационного тела или траекторию рассеяния субатомной частицы .
Каждая ветвь гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (меньшая кривизна) по мере удаления от центра гиперболы. Диагонально противоположные рукава, по одному от каждой ветви, в пределе стремятся к общей линии, называемой асимптотой этих двух плеч. Итак, существуют две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрии гиперболы, которую можно рассматривать как зеркальную точку, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой асимптотами являются две оси координат . [2]
Слово «гипербола» происходит от греческого ὑπερβολή , что означает «свергнутый» или «чрезмерный», от которого также происходит английский термин « гипербола» . Гиперболы были открыты Менехмом при исследовании проблемы удвоения куба , но назывались тогда сечениями тупых конусов. [3] Считается, что термин «гипербола» был придуман Аполлонием Пергским (ок. 262–ок. 190 до н. э.) в его окончательной работе о конических сечениях , « Кониках» . [4]
Названия двух других общих конических сечений, эллипса и параболы , происходят от соответствующих греческих слов, означающих «недостаточный» и «примененный»; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению стороны прямоугольников фиксированной площади с заданным отрезком. Прямоугольник может быть «приложен» к сегменту (то есть иметь равную длину), быть короче сегмента или превышать его. [5]
Определения
Как место точек
Гиперболу можно определить геометрически как набор точек ( место точек ) на евклидовой плоскости:
Гипербола — это набор точек, такой, что для любой точки набора абсолютная разность расстояний до двух фиксированных точек ( фокусов ) постоянна, обычно обозначается : [6]
Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром гиперболы . [7] Линия, проходящая через фокусы, называется большой осью . Он содержит вершины , имеющие расстояние до центра. Расстояние фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентриситетом . Фактором является эксцентриситет .
Уравнение можно посмотреть и по-другому (см. схему):
Если – окружность со серединой и радиусом , то расстояние точки правой ветви до окружности равно расстоянию до фокуса :
круговой директрисой[8] [9]
Гипербола с уравнением y = A / x
Если система координат xy повернута вокруг начала координат на угол и заданы новые координаты , то .
Прямоугольная гипербола (полуоси которой равны) имеет новое уравнение . Решение проблемы доходности
Таким образом, в системе координат xy график функции с уравнением
полурасширенная прямая кишка и радиус кривизны в вершинах
линейный эксцентриситет и эксцентриситет
касательная в точке
Вращение исходной гиперболы приводит к прямоугольной гиперболе полностью во втором и четвертом квадрантах с теми же асимптотами, центром, полуширотной прямой кишкой, радиусом кривизны в вершинах, линейным эксцентриситетом и эксцентриситетом, что и в случае вращения . , с уравнением
полуоси _
линия как главная ось,
вершины _
Сдвиг гиперболы с уравнением так, чтобы новый центр был , дает новое уравнение
По свойству Directrix
Две прямые, находящиеся на расстоянии от центра и параллельные малой оси, называются директрисами гиперболы (см. Рисунок).
Для произвольной точки гиперболы частное расстояния до одного фокуса и соответствующей направляющей (см. схему) равно эксцентриситету:
Обратное утверждение также верно и может использоваться для определения гиперболы (аналогично определению параболы):
Для любой точки (фокуса), любой несквозной прямой (директрисы) и любого действительного числа с набором точек (местом точек), для которого частное расстояний до точки и до прямой равно
Пусть и предположим, что это точка на кривой. Директриса имеет уравнение . При , соотношение дает уравнения
и
Замена дает
(параболыгиперболы
Если , ввести новые параметры так, чтобы , и тогда приведенное выше уравнение принимает вид
X
Построение директрисы
Поскольку точка директрисы (см. схему) и фокус обратны относительно окружности, инверсия у окружности (на схеме зеленая). Следовательно, точку можно построить, используя теорему Фалеса (на схеме не показана). Директриса — это перпендикуляр к линии, проходящей через точку .
Альтернативное построение : Расчет показывает, что точка является пересечением асимптоты с ее перпендикуляром через (см. схему).
Как плоское сечение конуса
Пересечение вертикального двойного конуса плоскостью, не проходящей через вершину, с наклоном, большим, чем наклон прямых на конусе, является гиперболой (см. рисунок: красная кривая). Чтобы доказать определяющее свойство гиперболы (см. выше), используются две сферы Одуванчика , которые представляют собой сферы, которые касаются конуса по окружностям , и пересекающую (гиперболу) плоскость в точках и . Выходит: являются фокусами гиперболы.
Пусть – произвольная точка кривой пересечения.
Образующая конуса , содержащего окружность в точке , пересекает окружность в точке .
Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину.
Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину.
Результат: не зависит от точки гиперболы , поскольку независимо от того, где находится точка, она должна находиться на окружностях , , а отрезок прямой должен пересекать вершину. Поэтому при движении точки по красной кривой (гиперболе) отрезок просто вращается вокруг вершины, не меняя своей длины.
Конструкция штифта и струны
Определение гиперболы по ее фокусам и круговым направляющим (см. выше) можно использовать для построения ее дуги с помощью булавок, веревки и линейки: [10]
Выберите фокусы , вершины и одну из круговых направляющих , например (круг с радиусом )
Линейка закреплена в точке, которая может вращаться вокруг . Точка отмечена на расстоянии .
Строка с длиной подготовлена.
Один конец веревки закреплен в точке линейки, другой конец — в точке .
Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к краю линейки.
Вращение линейки заставляет перо нарисовать дугу правой ветви гиперболы из-за (см. определение гиперболы по круговым направляющим ).
Учитывая два пучка прямых в двух точках (все строки содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.
Для создания точек гиперболы используются карандаши в вершинах . Пусть – точка гиперболы и . Отрезок разделен на n равноотстоящих друг от друга сегментов, и это деление проецируется параллельно диагонали как направление на отрезок (см. Диаграмму). Параллельная проекция является частью проективного отображения между карандашами в точках и необходимо. Точки пересечения любых двух связанных прямых и являются точками однозначно определенной гиперболы.
Примечания:
Подразделение можно было бы расширить за пределы точек и получить больше очков, но определение точек пересечения стало бы более неточным. Лучшая идея — расширить уже построенные точки с помощью симметрии (см. анимацию).
Поколение Штейнера существует также для эллипсов и парабол.
Генерацию Штейнера иногда называют методом параллелограмма, потому что вместо вершин можно использовать другие точки, которые начинаются с параллелограмма вместо прямоугольника.
Вписанные углы для гипербол y = a /( x − b ) + c и 3-точечная форма
Гипербола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x и y . Простой способ определения параметров формы использует теорему о вписанном угле для гипербол:
Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений, в этом контексте используется частное
Теорема о вписанном угле для гипербол [11] [12] — Для четырех точек (см. диаграмму) верно следующее утверждение:
Четыре точки находятся на гиперболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и равны в смысле приведенного выше измерения. Это означает, что если
Доказательство можно получить прямым расчетом. Если точки находятся на гиперболе, можно предположить, что уравнение гиперболы равно .
Следствием теоремы о вписанном угле для гипербол является
Трехточечная форма уравнения гиперболы . Уравнение гиперболы, определяемое тремя точками, является решением уравнения.
для .
Как аффинный образ единичной гиперболы x 2 − y 2 = 1
Любая гипербола является аффинным образом единичной гиперболы с уравнением .
Параметрическое представление
Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где – регулярная матрица (ее определитель не равен 0), а – произвольный вектор. Если – векторы-столбцы матрицы , единичная гипербола отображается на гиперболу
— центр, точка гиперболы и касательный вектор в этой точке.
Вершины
В общем случае векторы не перпендикулярны. Это означает, что вообще они не являются вершинами гиперболы. Но укажите направления асимптот. Касательный вектор в точке равен
Использовались формулы , , и .
Две вершины гиперболы
Неявное представление
Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление
Гипербола в космосе
Определение гиперболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной гиперболы даже в пространстве, если разрешено быть векторами в пространстве.
Как аффинный образ гиперболы y = 1/ x
Поскольку единичная гипербола аффинно эквивалентна гиперболе , произвольную гиперболу можно рассматривать как аффинный образ (см. предыдущий раздел) гиперболы :
является центром гиперболы, векторы имеют направления асимптот и является точкой гиперболы. Касательный вектор
эквивалентно и являются вершинами гиперболы.
Следующие свойства гиперболы легко доказываются с использованием представления гиперболы, введенного в этом разделе.
Касательная конструкция
Касательный вектор можно переписать путем факторизации:
диагональ параллелограмма параллельна касательной в точке гиперболы (см. схему).
Это свойство позволяет построить касательную в точке гиперболы.
Это свойство гиперболы является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля . [13]
Площадь серого параллелограмма
Площадь серого параллелограмма на диаграмме выше равна
Точечная конструкция
Для гиперболы с параметрическим представлением (для простоты центр является началом координат) справедливо следующее:
Для любых двух точек точки
коллинеарны центру гиперболы (см. схему).
Простое доказательство является следствием уравнения .
Это свойство дает возможность построить точки гиперболы, если заданы асимптоты и одна точка.
Это свойство гиперболы является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля . [14]
Треугольник касательная – асимптоты
Для простоты центр гиперболы может быть началом координат, а векторы иметь одинаковую длину. Если последнее предположение не выполняется, можно сначала применить преобразование параметров (см. Выше), чтобы сделать предположение верным. Следовательно , вершины охватывают малую ось, и получается и .
Для точек пересечения касательной в точке с асимптотами получаются точки
Площадь треугольника не зависит от точки гиперболы :
Возвратное движение круга
Возвратно -поступательное движение круга B по кругу C всегда дает коническое сечение , такое как гипербола. Процесс «возвратно-поступательного движения по кругу С » состоит в замене каждой линии и точки геометрической фигуры соответствующими полюсом и полярой соответственно. Полюс линии — это инверсия ее ближайшей точки к окружности C , тогда как поляра точки — наоборот, а именно линия, ближайшая точка которой к C является инверсией точки.
Эксцентриситет конического сечения, полученного возвратно-поступательным движением, представляет собой отношение расстояний между центрами двух окружностей к радиусу r круга возвратно-поступательного движения C. Если B и C представляют собой точки в центрах соответствующих окружностей, то
Поскольку эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы, центр B должен лежать вне возвратно-поступательной окружности C.
Из этого определения следует, что гипербола является одновременно местом расположения полюсов касательных линий к окружности B , а также огибающей полярных линий точек на B. И наоборот, окружность B является огибающей поляр точек гиперболы и местом расположения полюсов касательных к гиперболе. Две касательные линии к B не имеют (конечных) полюсов, поскольку они проходят через центр C круга возвратно-поступательного движения C ; поляры соответствующих точек касания на B являются асимптотами гиперболы. Две ветви гиперболы соответствуют двум частям окружности B , разделенным этими точками касания.
Квадратное уравнение
Гиперболу также можно определить как уравнение второй степени в декартовых координатах на плоскости ,
при условии, что константы и удовлетворяют определяющему условию
Этот определитель условно называют дискриминантом конического сечения. [15]
Особый случай гиперболы — вырожденная гипербола , состоящая из двух пересекающихся прямых — возникает, когда другой определитель равен нулю:
Этот определитель иногда называют дискриминантом конического сечения. [16]
Коэффициенты общего уравнения можно получить из известных координат центра малой полуоси большой полуоси и угла поворота (угол от положительной горизонтальной оси к большой оси гиперболы) по формулам:
Эти выражения можно вывести из канонического уравнения
Для сравнения соответствующее уравнение вырожденной гиперболы (состоящей из двух пересекающихся прямых) имеет вид
Касательная линия к данной точке гиперболы определяется уравнением
где и определяются
Нормаль к гиперболе в той же точке задается уравнением
Нормальная линия перпендикулярна касательной, и обе проходят через одну и ту же точку.
Из уравнения
левый фокус - это , а правый фокус - это эксцентриситет. Обозначим расстояния от точки до левого и правого фокусов как и Для точки на правой ветви
и для точки на левой ветви,
Это можно доказать следующим образом:
Если - точка на гиперболе, расстояние до левой фокальной точки равно
До правого фокуса расстояние равно
Если – точка на правой ветви гиперболы, то и
Вычитая эти уравнения, получаем
Если – точка на левой ветви гиперболы, то и
Вычитая эти уравнения, получаем
В декартовых координатах
Уравнение
Если вводятся декартовы координаты так, что начало координат является центром гиперболы, а ось x является большой осью, то гипербола называется открывающейся с востока на запад , а
фокусы – это точки , [17]
вершины есть . _ [18]
Для произвольной точки расстояние до фокуса равно и до второго фокуса . Следовательно, точка находится на гиперболе, если выполнено следующее условие
Это уравнение называется канонической формой гиперболы, поскольку любую гиперболу, независимо от ее ориентации относительно декартовых осей и независимо от расположения ее центра, можно путем замены переменных привести к этой форме, дав гиперболу, соответствует оригиналу (см. ниже).
Осями симметрии или главными осями являются поперечная ось (содержащая отрезок длиной 2 a с концами в вершинах) и сопряженная ось (содержащая отрезок длиной 2 b , перпендикулярный поперечной оси и со средней точкой в центре гиперболы). . [19] В отличие от эллипса, гипербола имеет только две вершины: . Две точки на сопряженных осях не принадлежат гиперболе.
Из уравнения следует, что гипербола симметрична относительно обеих координатных осей и, следовательно, симметрична относительно начала координат.
Эксцентриситет
Для гиперболы в указанной выше канонической форме эксцентриситет определяется выражением
Произведение расстояний от точки гиперболы до обеих асимптот является константой , которую также можно записать через эксцентриситет e как
Из уравнения гиперболы (см. выше) можно вывести:
Произведение наклонов линий от точки P до двух вершин есть константа
Кроме того, из (2) выше можно показать, что [21]
Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот вдоль прямых, параллельных асимптотам, есть константа
Полурасширенная прямая кишка
Длина хорды через один из фокусов, перпендикулярную большой оси гиперболы, называется широкой прямой кишкой . Половина ее — полурасширенная прямая кишка . Расчет показывает
Самый простой способ определить уравнение касательной в точке — это неявно продифференцировать уравнение гиперболы. Обозначая dy/dx как y′ , это дает
Особая касательная отличает гиперболу от других конических сечений. [22] Пусть f будет расстоянием от вершины V (как на гиперболе, так и на ее оси, проходящей через два фокуса) до ближайшего фокуса. Тогда расстояние по линии, перпендикулярной этой оси, от этого фокуса до точки P на гиперболе больше 2 f . Касательная к гиперболе в точке P пересекает эту ось в точке Q под углом ∠PQV более 45°.
Прямоугольная гипербола
В случае гипербола называется прямоугольной (или равносторонней ), поскольку ее асимптоты пересекаются под прямым углом. В этом случае линейный эксцентриситет равен , эксцентриситет и полурасширенная прямая кишка . График уравнения представляет собой прямоугольную гиперболу.
Параметрическое представление с гиперболическим синусом/косинусом
Дополнительные параметрические представления приведены в разделе «Параметрические уравнения» ниже.
Сопряженная гипербола
Поменяем местами и получим уравнение сопряженной гиперболы (см. схему):
Гипербола и ее сопряженная форма могут иметь сопряженные диаметры . В специальной теории относительности такие диаметры могут представлять собой оси времени и пространства, где одна гипербола представляет события на заданном пространственном расстоянии от центра , а другая представляет события на соответствующем временном расстоянии от центра.
В полярных координатах
Происхождение в центре внимания
Полярные координаты, используемые чаще всего для гиперболы, определяются относительно декартовой системы координат, начало которой находится в фокусе , а ось X указывает на начало «канонической системы координат», как показано на первой диаграмме.
В этом случае угол называется истинной аномалией .
Относительно этой системы координат имеем
и
Начало в центре
В полярных координатах относительно «канонической системы координат» (см. вторую диаграмму) получается следующее:
Для правой ветви гиперболы диапазон значений равен
Параметрические уравнения
Гипербола с уравнением может быть описана несколькими параметрическими уравнениями:
Через гиперболические тригонометрические функции
Как рациональное представление
Через круговые тригонометрические функции
С наклоном касательной в качестве параметра:Параметрическое представление, использующее наклон касательной в точке гиперболы, можно получить аналогично случаю эллипса: заменить в случае эллипса на и использовать формулы для гиперболических функций . Получаешь
Здесь — верхняя и нижняя половины гиперболы. Точки с вертикальными касательными (вершины ) не покрываются представлением.Уравнение касательной в точке имеет вид
Это описание тангенсов гиперболы является важным инструментом для определения ортоптики гиперболы .
Гиперболические функции
Точно так же, как тригонометрические функции определяются в терминах единичной окружности , так и гиперболические функции определяются в терминах единичной гиперболы , как показано на этой диаграмме. В единичном круге угол (в радианах) равен удвоенной площади кругового сектора , на который опирается этот угол. Аналогичный гиперболический угол также определяется как удвоенная площадь гиперболического сектора .
Пусть будет удвоенная площадь между осью и лучом, проходящим через начало координат, пересекающим единичную гиперболу, и определим как координаты точки пересечения. Тогда площадь гиперболического сектора равна площади треугольника минус изогнутая область за вершиной в точке :
Касательная в точке делит угол между линиями пополам. Это называется оптическим свойством или свойством отражения гиперболы. [23]
Доказательство
Пусть – точка на линии с расстоянием до фокуса (см. схему, – большая полуось гиперболы). Линия — это биссектриса угла между линиями . Чтобы доказать, что это касательная линия в точке , нужно проверить, что любая точка на прямой , отличная от, не может находиться на гиперболе. Следовательно, имеет только общую точку с гиперболой и, следовательно, является касательной в точке .
Из диаграммы и неравенства треугольника видно, что оно выполнено, что означает: . Но если – точка гиперболы, то разница должна составлять .
Середины параллельных хорд
Середины параллельных хорд гиперболы лежат на прямой, проходящей через центр (см. схему).
Точки любой хорды могут лежать на разных ветвях гиперболы.
Доказательство свойства средних точек лучше всего проводить для гиперболы . Поскольку любая гипербола является аффинным образом гиперболы (см. раздел ниже), а аффинное преобразование сохраняет параллельность и средние точки отрезков прямой, это свойство верно для всех гипербол:
для двух точек гиперболы
середина аккорда это
наклон хорды
Для параллельных хорд наклон постоянен, а середины параллельных хорд лежат на прямой
Следствие: для любой пары точек хорды существует косое отражение с осью (набором неподвижных точек), проходящей через центр гиперболы, которое меняет местами точки и оставляет гиперболу (в целом) неподвижной. Косое отражение — это обобщение обычного отражения через линию , где все пары «точка-изображение» находятся на линии, перпендикулярной .
Поскольку косое отражение оставляет гиперболу неподвижной, пара асимптот также остается фиксированной. Следовательно, середина хорды также делит соответствующий отрезок между асимптотами пополам. Это значит, что . Это свойство можно использовать для построения дальнейших точек гиперболы, если заданы точка и асимптоты.
Если хорда вырождается в касательную , то точка касания делит отрезок между асимптотами на две половины.
Ортогональные касательные - ортоптические
Для гиперболы точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности .
Эта окружность называется ортоптикой данной гиперболы.
Касательные могут принадлежать точкам на разных ветвях гиперболы.
В случае отсутствия пар ортогональных касательных.
Полюсно-полярное соотношение для гиперболы
Любую гиперболу можно описать в подходящей системе координат уравнением . Уравнение касательной в точке гиперболы: Если позволить точке быть произвольной точкой, отличной от начала координат, то
точка отображается на линии , а не через центр гиперболы.
Это отношение между точками и линиями является биекцией .
Такое отношение между точками и линиями, порожденное коникой, называется полюсно-полярным отношением или просто полярностью . Полюс – это точка, поляра – линия. См. Полюс и поляр .
Расчетом проверяются следующие свойства полюсно-полярного отношения гиперболы:
Для точки (полюса) на гиперболе полярой является касательная в этой точке (см. схему: ).
Для полюса вне гиперболы точки пересечения его поляры с гиперболой являются точками касания двух проходящих касательных (см. диаграмму: ).
Для точки внутри гиперболы поляра не имеет общей точки с гиперболой. (см. схему: ).
Примечания:
Точка пересечения двух поляр (например: ) — это полюс линии, проходящей через их полюса (здесь: ).
Фокусы и соответственно и директрисы и соответственно принадлежат парам полюса и поляра.
Полюсно-полярные отношения существуют также для эллипсов и парабол.
Другие объекты недвижимости
Следующие элементы являются параллельными : (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы и с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы. [24] [25]
Следующие элементы также являются параллельными: (1) круг с центром в центре гиперболы и проходящий через вершины гиперболы; (2) любая директриса; и (3) любая из асимптот. [25]
Длина дуги
Длина дуги гиперболы не имеет элементарного выражения . Верхняя половина гиперболы может быть параметризована как
Тогда интеграл, дающий длину дуги от до , можно вычислить как:
Путем обращения из гиперболы можно получить еще несколько кривых , так называемые обратные кривые гиперболы. Если центр инверсии выбран в качестве собственного центра гиперболы, обратная кривая является лемнискатой Бернулли ; лемниската также представляет собой оболочку кругов с центром в прямоугольной гиперболе и проходящую через начало координат. Если центр инверсии выбран в фокусе или вершине гиперболы, полученные обратные кривые представляют собой лимасон или строфоид соответственно .
Эллиптические координаты
Семейство софокусных гипербол является основой системы эллиптических координат в двух измерениях. Эти гиперболы описываются уравнением
где фокусы расположены на расстоянии c от начала координат по оси x , и где θ - угол асимптот с осью x . Каждая гипербола в этом семействе ортогональна каждому эллипсу, имеющему одинаковые фокусы. Эту ортогональность можно показать с помощью конформного отображения декартовой системы координат w = z + 1/ z , где z = x + iy — исходные декартовы координаты, а w = u + iv — координаты после преобразования.
Другие ортогональные двумерные системы координат, включающие гиперболы, могут быть получены с помощью других конформных отображений. Например, отображение w = z 2 преобразует декартову систему координат в два семейства ортогональных гипербол.
Анализ конического сечения гиперболического вида кругов
Помимо обеспечения единообразного описания кругов, эллипсов, парабол и гипербол, конические сечения также можно понимать как естественную модель геометрии перспективы в том случае, когда просматриваемая сцена состоит из кругов или, в более общем смысле, эллипса. Зрителем обычно является камера или человеческий глаз, а изображение сцены — это центральная проекция на плоскость изображения, то есть все проекционные лучи проходят через фиксированную точку O , центр. Плоскость линзы — это плоскость, параллельная плоскости изображения линзы O.
Изображение круга c есть
круг , если круг c находится в особом положении, например параллельно плоскости изображения и др. (см. стереографическую проекцию),
эллипс , если c не имеет общей точки с плоскостью линзы,
парабола , если с имеет одну общую точку с плоскостью линзы и
гипербола , если c имеет две общие точки с плоскостью линзы.
(Особые положения, в которых плоскость окружности содержит точку O , опущены.)
Эти результаты можно понять, если признать, что процесс проецирования можно рассматривать в два этапа: 1) круг c и точка O образуют конус, который 2) разрезается плоскостью изображения для создания изображения.
Гиперболу можно увидеть всякий раз, когда замечаешь часть круга, пересекаемую плоскостью линзы. Неспособность видеть большую часть ветвей видимой ветви в сочетании с полным отсутствием второй ветви делает практически невозможным для зрительной системы человека распознавание связи с гиперболами.
Приложения
Солнечные часы
Гиперболы можно увидеть на многих солнечных часах . В любой день солнце вращается по кругу на небесной сфере , и его лучи, попадая в точку солнечных часов, очерчивают конус света. Пересечение этого конуса с горизонтальной плоскостью земли образует коническое сечение. В большинстве населенных широт и в большинстве времен года это коническое сечение представляет собой гиперболу. На практике тень кончика шеста в течение суток очерчивает на земле гиперболу (этот путь называется линией склонения ). Форма этой гиперболы меняется в зависимости от географической широты и времени года, поскольку эти факторы влияют на конус солнечных лучей относительно горизонта. Собрание таких гипербол в течение целого года в заданном месте греки называли пелекинон , так как он напоминает двулезвийный топор.
Мультилатерация
Гипербола — это основа решения задач мультилатерации , задачи определения местоположения точки по разностям ее расстояний до заданных точек — или, что то же самое, по разнице времен прихода синхронизированных сигналов между точкой и заданными точками. Подобные проблемы важны в судоходстве, особенно на воде; корабль может определить свое положение по разнице во времени прибытия сигналов от передатчиков LORAN или GPS . И наоборот, самонаводящийся маяк или любой передатчик можно определить путем сравнения времени прибытия его сигналов на две отдельные приемные станции; такие методы могут использоваться для отслеживания объектов и людей. В частности, множество возможных положений точки, которая имеет разницу расстояний 2 a от двух заданных точек, представляет собой гиперболу с расстоянием между вершинами 2 a , фокусами которой являются две заданные точки.
Путь, по которому движется частица
Путь, по которому движется любая частица в классической задаче Кеплера, представляет собой коническое сечение . В частности, если полная энергия E частицы больше нуля (т. е. если частица несвязана), путь такой частицы представляет собой гиперболу. Это свойство полезно при изучении атомных и субатомных сил путем рассеяния частиц высокой энергии; например, эксперимент Резерфорда продемонстрировал существование атомного ядра , исследуя рассеяние альфа-частиц на атомах золота . Если короткодействующие ядерные взаимодействия игнорируются, атомное ядро и альфа-частица взаимодействуют только посредством отталкивающей кулоновской силы , которая удовлетворяет требованию закона обратных квадратов для задачи Кеплера.
Уравнение Кортевега – де Фриза
Гиперболическая триг-функция появляется как одно из решений уравнения Кортевега – де Фриза , которое описывает движение солитонной волны в канале.
Угловая трисекция
Как впервые показал Аполлоний Пергский , гиперболу можно использовать для разделения любого угла пополам — это хорошо изученная задача геометрии. Учитывая угол, сначала нарисуйте круг с центром в его вершине O , который пересекает стороны угла в точках A и B. Затем нарисуйте отрезок с конечными точками A и B и его серединный перпендикуляр . Постройте гиперболу с эксцентриситетом e = 2 с направляющей и B в качестве фокуса. Пусть P — пересечение (верхнее) гиперболы с окружностью. Угол POB делит угол AOB на три части .
Чтобы доказать это, отразим отрезок OP о прямой , получившей точку P' как образ P . Отрезок AP' имеет ту же длину, что и сегмент BP, из-за отражения, а сегмент PP' имеет ту же длину, что и сегмент BP , из-за эксцентриситета гиперболы. Поскольку OA , OP' , OP и OB являются радиусами одной и той же окружности (и, следовательно, имеют одинаковую длину), треугольники OAP' , OPP' и OPB конгруэнтны. Следовательно, угол был разделен на три части, поскольку 3× POB = AOB . [27]
Граница эффективного портфеля
В теории портфеля местоположение эффективных портфелей средней дисперсии (так называемая эффективная граница) представляет собой верхнюю половину ветви гиперболы, открывающейся на восток, нарисованной со стандартным отклонением доходности портфеля, нанесенным горизонтально, и его ожидаемым значением, нанесенным вертикально; согласно этой теории, все рациональные инвесторы выберут портфель, характеризующийся некоторой точкой в этом локусе.
^ Хит, сэр Томас Литтл (1896), «Глава I. Открытие конических сечений. Менехм», Аполлоний Пергский: Трактат о конических сечениях с введениями, включая эссе по ранней истории на эту тему, Cambridge University Press, стр. xvii –ххх.
^ Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011), История математики, Wiley, стр. 73, ISBN9780470630563Именно Аполлоний (возможно, следуя предложению Архимеда) ввёл в связи с этими кривыми названия «эллипс» и «гипербола».
^ Апостол, Том М.; Мнацаканян, Мамикон А. (2012), Новые горизонты геометрии , Математические экспозиции Дольчиани № 47, Математическая ассоциация Америки, стр. 251, ISBN978-0-88385-354-2
^ Немецкий термин для обозначения этого круга - Leitkreis , что можно перевести как «Директорский круг», но в английской литературе этот термин имеет другое значение (см. « Директорский круг »).
^ Э. Хартманн: Конспект лекции «Геометрия плоского круга», введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, с. 93
^ В. Бенц: Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
^ Конспект лекции «Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского», S. 33, (PDF; 757 КБ)
^ Конспект лекций «Геометрия плоского круга», введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского, S. 32, (PDF; 757 КБ)
^ Фанчи, Джон Р. (2006). Повышение квалификации по математике для ученых и инженеров. Джон Уайли и сыновья. Раздел 3.2, стр. 44–45. ISBN0-471-75715-2.
^ Корн, Гранино А; Корн, Тереза М. (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора (второе изд.). Дувр Пабл. п. 40.
^ Проттер и Морри (1970, стр. 310)
^ Проттер и Морри (1970, стр. 310)
^ Проттер и Морри (1970, стр. 310)
^ Проттер и Морри (1970, стр. APP-29 – APP-30)
^ Аб Митчелл, Дуглас В., «Свойство гипербол и их асимптот», Mathematical Gazette 96, июль 2012 г., 299–301.
^ Дж. В. Даунс, Практические конические сечения , Dover Publ., 2003 (оригинал 1993): стр. 26.
^ Коффман, RT; Огилви, CS (1963), «Свойство коников отражать», Mathematics Magazine , 36 (1): 11–12, doi : 10.2307/2688124 Фландерс, Харли (1968), «Оптические свойства коников», American Mathematical Monthly , 75 (4): 399, doi : 10.2307/2313439
Брозинский, Майкл К. (1984), «Свойство эллипса и гиперболы отражать», College Mathematics Journal , 15 (2): 140–42, doi : 10.2307/2686519
^ "Гипербола". Mathafou.free.fr . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 26 августа 2018 г.
^ ab «Свойства гиперболы». Архивировано из оригинала 02 февраля 2017 г. Проверено 22 июня 2011 г.