проблема Кеплера

Частный случай задачи двух тел

В классической механике задача Кеплера является частным случаем задачи двух тел , в которой два тела взаимодействуют посредством центральной силы , которая изменяется по величине обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Задача состоит в том, чтобы найти положение или скорость двух тел с течением времени, учитывая их массы , положения и скорости . Используя классическую механику, решение можно выразить как орбиту Кеплера с использованием шести орбитальных элементов .

Задача Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера , который предложил законы Кеплера для движения планет (которые являются частью классической механики и решили задачу для орбит планет) и исследовал типы сил, которые привели бы к тому, что орбиты подчинялись бы этим законам (так называемая обратная задача Кеплера ). ^[1]

Для обсуждения проблемы Кеплера, специфичной для радиальных орбит, см. Радиальная траектория . Общая теория относительности обеспечивает более точные решения для задачи двух тел, особенно в сильных гравитационных полях .

Приложения

Закон обратных квадратов, лежащий в основе задачи Кеплера, является наиболее важным центральным законом силы. ^{[1] : 92} Задача Кеплера важна в небесной механике , поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов . Примерами служат спутник, движущийся вокруг планеты, планета вокруг своего солнца или две двойные звезды друг вокруг друга. Задача Кеплера также важна в движении двух заряженных частиц, поскольку закон электростатики Кулона также подчиняется закону обратных квадратов .

Задача Кеплера и задача простого гармонического осциллятора являются двумя наиболее фундаментальными задачами классической механики . Это единственные две задачи, которые имеют замкнутые орбиты для каждого возможного набора начальных условий, т.е. возвращаются в исходную точку с той же скоростью ( теорема Бертрана ). ^{[1] : 92}

Задача Кеплера также сохраняет вектор Лапласа–Рунге–Ленца , который с тех пор был обобщен для включения других взаимодействий. Решение задачи Кеплера позволило ученым показать, что движение планет может быть полностью объяснено классической механикой и законом тяготения Ньютона ; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в начале эпохи Просвещения .

История

Проблема Кеплера начинается с эмпирических результатов Иоганна Кеплера , с трудом полученных путем анализа астрономических наблюдений Тихо Брахе . После примерно 70 попыток сопоставить данные с круговыми орбитами Кеплер натолкнулся на идею эллиптической орбиты . В конце концов он обобщил свои результаты в виде трех законов движения планет . ^[2]

То, что сейчас называется проблемой Кеплера, впервые было рассмотрено Исааком Ньютоном как основная часть его Principia . Его «Теорема I» начинается с первых двух из трех его аксиом или законов движения и приводит ко второму закону Кеплера о движении планет. Затем Ньютон доказывает свою «Теорему II», которая показывает, что если получается второй закон Кеплера, то задействованная сила должна быть вдоль линии между двумя телами. Другими словами, Ньютон доказывает то, что сегодня можно было бы назвать «обратной проблемой Кеплера»: характеристики орбиты требуют, чтобы сила зависела от обратного квадрата расстояния. ^{[3] : 107}

Математическое определение

Центральная сила F между двумя объектами изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния r между ними:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

где k — константа, представляющая единичный вектор вдоль линии между ними. ^[4] Сила может быть либо притягивающей ( k < 0), либо отталкивающей ( k > 0). Соответствующий скалярный потенциал равен: ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

Решение задачи Кеплера

Уравнение движения для радиуса частицы массы , движущейся в центральном потенциале, задается уравнениями Лагранжа ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$и момент импульса сохраняется. Для иллюстрации, первый член в левой части равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутренняя сила равна требуемой центростремительной силе , как и ожидалось. ${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$ ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ ${\displaystyle mr\omega ^{2}}$

Если L не равно нулю, определение момента импульса допускает замену независимой переменной с на ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

давая новое уравнение движения, которое не зависит от времени

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

Расширение первого члена равно

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Это уравнение становится квазилинейным, если сделать замену переменных и умножить обе части на ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

После замены и перестановки:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

Для закона силы, обратно пропорциональной квадрату, такого как гравитационный или электростатический потенциал , скалярный потенциал можно записать

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

Орбиту можно вывести из общего уравнения ${\displaystyle u(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

решение которого представляет собой константу плюс простую синусоиду ${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

где ( эксцентриситет ) и ( смещение фазы ) являются константами интегрирования. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Это общая формула для конического сечения , которое имеет один фокус в начале координат; соответствует окружности , соответствует эллипсу, соответствует параболе и соответствует гиперболе . Эксцентриситет связан с полной энергией (ср. вектор Лапласа–Рунге–Ленца ). ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

Сравнение этих формул показывает, что соответствует эллипсу (все решения, которые являются замкнутыми орбитами, являются эллипсами), соответствует параболе и соответствует гиперболе . В частности, для идеально круговых орбит (центральная сила в точности равна требуемой центростремительной силе , которая определяет требуемую угловую скорость для заданного радиуса окружности). ${\displaystyle E<0}$ ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

Для силы отталкивания ( k  > 0)  применимо только e > 1.

Смотрите также

• Координаты действие-угол
• Теорема Бертрана
• Уравнение Бине
• Уравнение Гамильтона–Якоби
• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• орбита Кеплера
• Задача Кеплера в общей теории относительности
• Уравнение Кеплера
• Законы движения планет Кеплера

Ссылки

1. Goldstein, Herbert (1980). Классическая механика . Ряды Аддисона-Уэсли в физике (2-е изд.). Reading, Mass.: Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-02969-7.
2. Купер, Леон Н. (1981). Введение в значение и структуру физики. Peleus Press. OCLC  15205048.
3. Шпайзер, Дэвид (август 1996 г.). «Проблема Кеплера от Ньютона до Иоганна Бернулли». Архив истории точных наук . 50 (2): 103–116. doi :10.1007/BF02327155. ISSN  0003-9519.
4. Арнольд, VI (2009). Математические методы классической механики. Graduate texts in Mathematics (2-е изд.). New York, NY: Springer . стр. 38. ISBN 978-0-387-96890-2.