В анализе численное интегрирование включает в себя широкое семейство алгоритмов вычисления численного значения определенного интеграла . Термин «числовая квадратура» (часто сокращенно « квадратура ») является более или менее синонимом «численного интегрирования», особенно применительно к одномерным интегралам. Некоторые авторы называют численное интегрирование по более чем одному измерению кубатурой ; [1] другие используют термин «квадратура» для включения многомерной интеграции.
Основная проблема численного интегрирования состоит в вычислении приближенного решения определенного интеграла.
с заданной степенью точности. Если f ( x ) — гладкая функция, интегрированная по небольшому числу измерений, и область интегрирования ограничена, существует множество методов аппроксимации интеграла с желаемой точностью.
Численное интегрирование имеет корни в геометрической задаче нахождения квадрата той же площади, что и заданная плоская фигура ( квадратура или возведение в квадрат ), как и в квадратуре круга . Этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений .
Существует несколько причин для проведения численного интегрирования, в отличие от аналитического интегрирования путем нахождения первообразной :
Термин «численное интегрирование» впервые появляется в 1915 году в публикации Дэвида Гибба «Курс интерполяции и числового интегрирования для математической лаборатории» . [2]
«Квадратура» — исторический математический термин, означающий вычисление площади. Квадратурные задачи послужили одним из основных источников математического анализа . Математики Древней Греции , согласно учению Пифагора , понимали под вычислением площади процесс построения геометрически квадрата , имеющего такую же площадь ( возведение в квадрат ). Именно поэтому процесс получил название «квадратура». Например, квадратура круга , Луна Гиппократа , Квадратура Параболы . Это построение необходимо производить только с помощью циркуля и линейки .
Древние вавилоняне использовали правило трапеций для интегрирования движения Юпитера по эклиптике . [3]
Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной ( средним геометрическим a и b ). Для этого можно воспользоваться следующим фактом: если нарисовать окружность, диаметр которой равен сумме a и b , то высота BH (от точки их соединения до пересечения с окружностью) равна их среднему геометрическому. Подобная геометрическая конструкция решает задачу квадратуры для параллелограмма и треугольника.
Гораздо сложнее задачи квадратуры для криволинейных фигур. В XIX веке было доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Тем не менее, для некоторых фигур (например, Луны Гиппократа ) квадратуру можно выполнить. Квадратуры поверхности сферы и отрезок параболы, выполненные Архимедом, стали высшим достижением античного анализа.
Для доказательства результатов Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса .
В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади любым методом. Чаще использовался метод неделимых ; он был менее строгим, но более простым и мощным. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь циклоидной арки, Грегуар де Сен-Винсент исследовал площадь под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), а Альфонс Антонио де Сараса , ученик и комментатор де Сен-Винсента, отметил отношение этой площади к логарифмам .
Джон Уоллис алгебраизировал этот метод: в своей серии «Arithmetica Infinitorum» (1656 г.) он написал то, что мы теперь называем определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру некоторых тел вращения .
Квадратура гиперболы Сент-Винсента и де Сарасы предоставила новую функцию — натуральный логарифм , имеющую решающее значение.
С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод расчета площади. В ответ термин «квадратура» стал традиционным, и вместо него более распространена современная фраза « вычисление одномерного определенного интеграла ».
Правило квадратур — это аппроксимация определенного интеграла функции , обычно выражаемого как взвешенная сумма значений функции в определенных точках области интегрирования.
Методы численного интегрирования обычно можно описать как объединение оценок подынтегральной функции для получения приближения к интегралу. Подынтегральная функция оценивается в конечном наборе точек, называемых точками интегрирования , и взвешенная сумма этих значений используется для аппроксимации интеграла. Точки интегрирования и веса зависят от конкретного используемого метода и точности, требуемой от аппроксимации.
Важной частью анализа любого метода численного интегрирования является изучение поведения ошибки аппроксимации в зависимости от количества оценок подынтегральной функции. Метод, который дает небольшую ошибку при небольшом количестве оценок, обычно считается лучшим. Уменьшение количества вычислений подынтегрального выражения уменьшает количество задействованных арифметических операций и, следовательно, уменьшает общую ошибку округления . Кроме того, каждая оценка требует времени, а подынтегральная функция может быть сколь угодно сложной.
Численное интегрирование «грубой силы» может быть выполнено, если подынтегральное выражение достаточно хорошо ведет себя (т.е. кусочно- непрерывно и имеет ограниченную вариацию ), вычисляя подынтегральное выражение с очень небольшими приращениями.
Этот простейший метод аппроксимирует функцию ступенчатой функцией (кусочно-постоянной функцией или сегментированным полиномом нулевой степени), проходящей через точку . Это называется правилом средней точки или правилом прямоугольника.
Большой класс квадратурных правил можно получить путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать. Обычно эти интерполирующие функции являются полиномами . На практике, поскольку полиномы очень высокой степени имеют тенденцию к резким колебаниям , используются только полиномы низкой степени, обычно линейные и квадратичные.
Интерполирующая функция может быть прямой линией ( аффинной функцией , т.е. многочленом степени 1), проходящей через точки и . Это называется правилом трапеций
Для любого из этих правил мы можем сделать более точную аппроксимацию, разбив интервал на некоторое количество подинтервалов, вычислив аппроксимацию для каждого подинтервала, а затем сложив все результаты. Это называется составным правилом , расширенным правилом или повторяющимся правилом . Например, составное правило трапеций можно сформулировать как
где подинтервалы имеют вид с и Здесь мы использовали подинтервалы одинаковой длины , но можно также использовать интервалы различной длины .
Интерполяция с полиномами, вычисляемыми в равноотстоящих друг от друга точках, дает формулы Ньютона-Котеса , примерами которых являются правило прямоугольников и правило трапеций. Правило Симпсона , основанное на полиноме 2-го порядка, также является формулой Ньютона-Котеса.
Правила квадратур с одинаково расположенными точками обладают очень удобным свойством вложенности . Соответствующее правило с каждым разделенным интервалом включает все текущие точки, поэтому эти значения подынтегральной функции можно использовать повторно.
Если мы позволим интервалам между точками интерполяции варьироваться, мы обнаружим другую группу квадратурных формул, таких как квадратурные формулы Гаусса . Правило квадратуры Гаусса обычно более точное, чем правило Ньютона-Котеса, которое использует то же количество оценок функции, если подынтегральная функция гладкая (т. е. если она достаточно дифференцируема). Другие квадратурные методы с различными интервалами включают квадратурные методы Кленшоу – Кертиса (также называемые квадратурами Фейера), которые имеют гнездо.
Квадратурные правила Гаусса не являются вложенными, в отличие от связанных с ними квадратурных формул Гаусса – Кронрода .
Точность квадратурного правила типа Ньютона-Котеса обычно зависит от количества оценочных точек. Результат обычно становится более точным по мере увеличения количества оценочных точек или, что то же самое, по мере уменьшения ширины шага между точками. Естественно задаться вопросом, каким был бы результат, если бы размер шага приблизился к нулю. На этот вопрос можно ответить, экстраполируя результат на основе двух или более ненулевых размеров шага, используя методы последовательного ускорения , такие как экстраполяция Ричардсона . Функция экстраполяции может быть полиномиальной или рациональной функцией . Методы экстраполяции более подробно описаны Стоером и Булиршем (раздел 3.4) и реализованы во многих процедурах библиотеки QUADPACK .
Пусть первая производная ограничена по т.е. Теорема о среднем значении для где дает
Если мы проинтегрируем от до с обеих сторон и возьмем абсолютные значения, получим
Мы можем дополнительно аппроксимировать интеграл в правой части, введя абсолютное значение в подынтегральную функцию и заменив член in верхней границей.
где супремум использовался для аппроксимации.
Следовательно, если мы аппроксимируем интеграл правилом квадратур, наша ошибка не превышает правую часть 1 . Мы можем преобразовать это в анализ ошибок суммы Римана , дав верхнюю границу
Этот метод интегрирования можно комбинировать с интервальной арифметикой для получения компьютерных доказательств и проверенных вычислений.
Существует несколько методов приближенного интегрирования по неограниченным интервалам. Стандартный метод включает в себя специально выведенные квадратурные правила, такие как квадратура Гаусса-Эрмита для интегралов на всей действительной прямой и квадратура Гаусса-Лагерра для интегралов на положительных действительных числах. [4] Также можно использовать методы Монте-Карло или замену переменных на конечный интервал; например, для всей строки можно использовать
Все правила квадратур, обсуждавшиеся до сих пор, предназначены для вычисления одномерных интегралов. Чтобы вычислить интегралы в нескольких измерениях, один из подходов состоит в том, чтобы сформулировать кратный интеграл как повторяющиеся одномерные интегралы, применив теорему Фубини (правило тензорного произведения). Этот подход требует, чтобы оценки функции росли экспоненциально по мере увеличения числа измерений. Известны три метода преодоления этого так называемого проклятия размерности .
Множество дополнительных приемов формирования многомерных кубатурных правил интегрирования для различных весовых функций приведены в монографии Страуда. [5] Интеграция в этой сфере была рассмотрена Гессе и др. (2015). [6]
Методы Монте-Карло и квазиметоды Монте-Карло легко применимы к многомерным интегралам. Они могут дать большую точность при том же количестве оценок функции, чем повторное интегрирование с использованием одномерных методов. [ нужна цитата ]
Большим классом полезных методов Монте-Карло являются так называемые алгоритмы Монте-Карло на основе цепей Маркова , к которым относятся алгоритм Метрополиса-Гастингса и выборка Гиббса .
Разреженные сетки первоначально были разработаны Смоляком для квадратуры многомерных функций. Этот метод всегда основан на одномерном правиле квадратур, но выполняет более сложную комбинацию одномерных результатов. Однако в то время как правило тензорного произведения гарантирует, что веса всех кубатурных точек будут положительными, если веса квадратурных точек были положительными, правило Смоляка не гарантирует, что все веса будут положительными.
Байесовская квадратура представляет собой статистический подход к числовой задаче вычисления интегралов и относится к области вероятностных чисел . Он может обеспечить полную обработку неопределенности решения интеграла, выраженного как апостериорная дисперсия гауссовского процесса .
Задача о вычислении определенного интеграла
может быть сведена к начальной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения путем применения первой части основной теоремы исчисления . Дифференцируя обе части вышеизложенного по аргументу x , видно, что функция F удовлетворяет условию
Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , такие как методы Рунге-Кутты , могут быть применены к переформулированной задаче и, таким образом, использоваться для вычисления интеграла. Например, стандартный метод Рунге-Кутты четвертого порядка, примененный к дифференциальному уравнению, дает правило Симпсона сверху.
Дифференциальное уравнение имеет особый вид: в правой части содержится только независимая переменная (здесь ), а не зависимая переменная (здесь ). Это значительно упрощает теорию и алгоритмы. Таким образом, проблему вычисления интегралов лучше всего изучать отдельно.
И наоборот, термин «квадратура» может также использоваться для решения дифференциальных уравнений: « решение в квадратуре » или « приведение к квадратуре » означает выражение его решения через интегралы .