Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы численного поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Иллюстрация численного интегрирования дифференциального уравнения ${\displaystyle y'=y,y(0)=1.}$

  Синий: метод Эйлера

  Зеленый: метод средней точки

  Красный: Точное решение: . ${\textstyle y=e^{t}}$

Размер шага . ${\displaystyle h=1.0}$

Та же иллюстрация для метода средней точки сходится быстрее, чем метода Эйлера, поскольку . ${\displaystyle h=0.25.}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений — это методы, используемые для поиска численных приближений к решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их использование также известно как « числовое интегрирование », хотя этот термин также может относиться к вычислению интегралов .

Многие дифференциальные уравнения не могут быть решены точно. Однако для практических целей, например, в технике, часто бывает достаточно численной аппроксимации решения. Алгоритмы , изученные здесь, могут быть использованы для вычисления такого приближения. Альтернативный метод — использовать методы исчисления для получения разложения решения в ряд .

Обыкновенные дифференциальные уравнения встречаются во многих научных дисциплинах, включая физику , химию , биологию и экономику . ^[1] Кроме того, некоторые методы численного уравнения в частных производных преобразуют уравнение в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое затем необходимо решить.

Проблема

Дифференциальное уравнение первого порядка представляет собой задачу начального значения (IVP) вида, ^[2]

где – функция , а начальное условие – заданный вектор. Первый порядок означает, что в уравнении присутствует только первая производная от y , а более высокие производные отсутствуют. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$

Не ограничивая общности систем высшего порядка, мы ограничимся дифференциальными уравнениями первого порядка , поскольку ОДУ высшего порядка можно преобразовать в более крупную систему уравнений первого порядка введением дополнительных переменных. Например, уравнение второго порядка y " = − y можно переписать в виде двух уравнений первого порядка: y ′ = z и z ′ = − y .

В этом разделе мы описываем численные методы решения IVP и отмечаем, что краевые задачи (BVP) требуют другого набора инструментов. В BVP значения или компоненты решения y определяются более чем в одной точке. По этой причине для решения БВП необходимо использовать разные методы. Например, для этого класса задач подходят метод стрельбы (и его варианты) или глобальные методы, такие как конечные разности , ^[3] методы Галеркина , ^[4] или методы коллокации .

Теорема Пикара –Линделёфа утверждает, что существует единственное решение, если f является липшицево-непрерывным .

Методы

Численные методы решения ИВП первого порядка часто попадают в одну из двух больших категорий: ^[5] линейные многошаговые методы или методы Рунге-Кутты . Дальнейшее деление можно осуществить, разделив методы на явные и неявные. Например, к неявным линейным многошаговым методам относятся методы Адамса-Моултона и методы обратного дифференцирования (BDF), тогда как к неявным методам Рунге-Кутты ^[6] относятся диагонально неявные методы Рунге-Кутты (DIRK), ^{[7] [8]} однократно диагонально неявные методы Рунге –Кутта (SDIRK), ^[9] и Гаусса–Радау ^[10] (на основе квадратуры Гаусса ^[11] ) численные методы. Явные примеры из линейного многошагового семейства включают методы Адамса-Бэшфорта , и любой метод Рунге-Кутты с нижней диагональной таблицей Батчера является явным . Общее эмпирическое правило гласит, что жесткие дифференциальные уравнения требуют использования неявных схем, тогда как нежесткие задачи можно решать более эффективно с помощью явных схем.

Так называемые общие линейные методы (ОМЛМ) являются обобщением двух вышеуказанных больших классов методов. ^[12]

метод Эйлера

Из любой точки кривой можно найти приближение к ближайшей точке кривой, переместившись на небольшое расстояние по касательной к кривой.

Начиная с дифференциального уравнения ( 1 ), заменим производную y ′ конечно- разностной аппроксимацией

которая при перестановке дает следующую формулу

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hy'(t)}$

и использование ( 1 ) дает:

Эта формула обычно применяется следующим образом. Выбираем размер шага h и строим последовательность. Обозначим ее численной оценкой точного решения . Руководствуясь ( 3 ), мы вычисляем эти оценки по следующей рекурсивной схеме ${\displaystyle t_{0},t_{1}=t_{0}+h,t_{2}=t_{0}+2h,...}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n})}$

Это метод Эйлера (или прямой метод Эйлера , в отличие от обратного метода Эйлера , который будет описан ниже). Метод назван в честь Леонарда Эйлера , описавшего его в 1768 году.

Метод Эйлера является примером явного метода. Это означает, что новое значение y _{n +1} определяется с точки зрения уже известных вещей, например y _n .

Обратный метод Эйлера

Если вместо ( 2 ) использовать приближение

мы получаем обратный метод Эйлера :

Обратный метод Эйлера — это неявный метод, означающий, что нам нужно решить уравнение, чтобы найти y _{n +1} . Для этого часто используют итерацию с фиксированной точкой или (некоторую модификацию) метода Ньютона – Рафсона .

Решение этого уравнения требует больше времени, чем явные методы; эту стоимость необходимо учитывать при выборе метода, который будет использоваться. Преимущество неявных методов, таких как ( 6 ), заключается в том, что они обычно более стабильны для решения жесткого уравнения , а это означает, что можно использовать больший размер шага h .

Метод экспоненциального интегратора первого порядка

Экспоненциальные интеграторы описывают большой класс интеграторов, которые в последнее время получили большое развитие. ^[13] Они датируются как минимум 1960-ми годами.

Вместо ( 1 ) мы предполагаем, что дифференциальное уравнение имеет вид

или он был локально линеаризован относительно фонового состояния для получения линейного члена и нелинейного члена . ${\displaystyle -Ay}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$

Экспоненциальные интеграторы строятся путем умножения ( 7 ) на и точного интегрирования результата по интервалу времени : ${\textstyle e^{At}}$ ${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}=t_{n}+h]}$

${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int _{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal {N}}\left(y\left(t_{n}+\tau \right)\right)\,d\tau .}$

Это интегральное уравнение является точным, но оно не определяет интеграл.

Экспоненциальный интегратор первого порядка можно реализовать, сохраняя константу на всем интервале: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y(t_{n}+\tau ))}$

Обобщения

Метод Эйлера зачастую недостаточно точен. Точнее, он имеет только один порядок (понятие порядка объяснено ниже). Это заставило математиков искать методы более высокого порядка.

Одна из возможностей состоит в том, чтобы использовать не только ранее вычисленное значение y _n для определения y _{n +1} , но и сделать решение зависящим от большего количества прошлых значений. Это дает так называемый многошаговый метод . Возможно, самым простым является метод чехарды , который является вторым порядком и (грубо говоря) опирается на два значения времени.

Почти все практические многошаговые методы относятся к семейству линейных многошаговых методов , которые имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}\\&{}\quad =h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].\end{aligned}}}$$

Другая возможность — использовать больше точек в интервале . Это приводит к семейству методов Рунге-Кутты , названному в честь Карла Рунге и Мартина Кутты . Особой популярностью пользуется один из их методов четвертого порядка. ${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}$

Расширенные возможности

Хорошая реализация одного из этих методов решения ОДУ влечет за собой нечто большее, чем просто формулу шага по времени.

Зачастую неэффективно постоянно использовать один и тот же размер шага, поэтому были разработаны методы с переменным размером шага . Обычно размер шага выбирается таким, чтобы (локальная) ошибка на шаг была ниже некоторого уровня допуска. Это означает, что методы также должны вычислять индикатор ошибки — оценку локальной ошибки.

Расширением этой идеи является динамический выбор между различными методами разного порядка (это называется методом переменного порядка ). Методы, основанные на экстраполяции Ричардсона , ^[14] , такие как алгоритм Булирша–Стоера , ^{[15] [16],} часто используются для построения различных методов разного порядка.

Другие желательные функции включают в себя:

• плотный вывод : дешевые численные аппроксимации для всего интервала интегрирования, а не только в точках t ₀ , t ₁ , t ₂ ,...
• Местоположение события : определение моментов, когда, скажем, конкретная функция исчезает. Обычно для этого требуется использование алгоритма поиска корня .
• поддержка параллельных вычислений .
• при использовании для интегрирования по времени обратимость времени

Альтернативные методы

Многие методы не подпадают под обсуждаемые здесь рамки. Некоторые классы альтернативных методов:

• мультипроизводные методы , в которых используется не только функция f , но и ее производные. В этот класс входят методы Эрмита–Обрешкова и методы Фельберга , а также такие методы, как метод Паркера–Сохацкого ^[17] или метод Бычкова–Щербакова, которые рекурсивно вычисляют коэффициенты ряда Тейлора решения y .
• методы для ОДУ второго порядка . Мы говорили, что все ОДУ более высокого порядка можно преобразовать к ОДУ первого порядка вида (1). Хотя это, безусловно, правда, возможно, это не лучший способ действовать. В частности, методы Нистрема работают непосредственно с уравнениями второго порядка.
• методы геометрического интегрирования ^{[18] [19]} специально разработаны для специальных классов ОДУ (например, симплектических интеграторов для решения гамильтоновых уравнений ). Они заботятся о том, чтобы численное решение учитывало базовую структуру или геометрию этих классов.
• Методы квантовых систем состояний представляют собой семейство методов интеграции ОДУ, основанных на идее квантования состояний. Они эффективны при моделировании разреженных систем с частыми разрывами.

Параллельные во времени методы

Некоторые IVP требуют интеграции с таким высоким временным разрешением и/или в течение таких длительных интервалов времени, что классические методы последовательного временного шага становятся вычислительно невозможными для запуска в реальном времени (например, IVP в численном прогнозировании погоды, моделировании плазмы и молекулярной динамике). В ответ на эти проблемы были разработаны методы параллельного выполнения во времени (PinT), чтобы сократить время выполнения моделирования за счет использования параллельных вычислений .

Ранние методы PinT (самые ранние из них были предложены в 1960-х годах) ^[20] изначально не были учтены исследователями из-за того, что требуемые для них архитектуры параллельных вычислений еще не были широко доступны. Благодаря увеличению доступной вычислительной мощности интерес возобновился в начале 2000-х годов с разработкой Parareal , гибкого и простого в использовании алгоритма PinT, который подходит для решения широкого спектра задач IVP. Появление экзафлопсных вычислений привело к тому, что алгоритмы PinT привлекают все большее внимание исследователей и разрабатываются таким образом, чтобы они могли использовать самые мощные в мире суперкомпьютеры . К наиболее популярным методам по состоянию на 2023 год относятся Parareal, PFASST, ParaDiag и MGRIT. ^[21]

Анализ

Численный анализ – это не только разработка численных методов, но и их анализ. Тремя центральными концепциями в этом анализе являются:

• сходимость : приближает ли метод решение,
• порядок : насколько хорошо оно приближает решение, и
• стабильность : устраняются ли ошибки. ^[22]

Конвергенция

Численный метод называется сходящимся , если численное решение приближается к точному решению при стремлении размера шага h к 0. Точнее, мы требуем, чтобы для любого ОДУ (1) с липшицевой функцией f и каждого t ^*  > 0

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\max _{n=0,1,\dots ,\lfloor t^{*}/h\rfloor }\left\|y_{n,h}-y(t_{n})\right\|=0.}$

Все упомянутые выше методы являются конвергентными.

Последовательность и порядок

Предположим, что численный метод

${\displaystyle y_{n+k}=\Psi (t_{n+k};y_{n},y_{n+1},\dots ,y_{n+k-1};h).\,}$

Локальной (усеченной) ошибкой метода является ошибка, допущенная на одном шаге метода. То есть это разница между результатом, полученным методом при условии, что на предыдущих шагах не было допущено ошибок, и точным решением:

${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=\Psi \left(t_{n+k};y(t_{n}),y(t_{n+1}),\dots ,y(t_{n+k-1});h\right)-y(t_{n+k}).}$

Метод называется состоятельным , если

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\delta _{n+k}^{h}}{h}}=0.}$

Метод имеет порядок , если ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=O(h^{p+1})\quad {\mbox{as }}h\to 0.}$

Следовательно, метод является непротиворечивым, если его порядок больше 0. (Прямой) метод Эйлера (4) и обратный метод Эйлера (6), представленные выше, имеют порядок 1, поэтому они непротиворечивы. Большинство методов, используемых на практике, имеют более высокий порядок. ^{Последовательность является необходимым} условием конвергенции ^, но недостаточным ^; Чтобы метод был сходящимся, он должен быть непротиворечивым и устойчивым к нулю.

Связанное с этим понятие — глобальная ошибка (ошибка усечения) , ошибка, возникающая на всех этапах, необходимых для достижения фиксированного времени . Явно глобальная ошибка во времени — это где . Глобальная ошибка одношагового метода го порядка равна ; в частности, такой метод является сходящимся. Это утверждение не обязательно верно для многошаговых методов. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y_{N}-y(t)}$ ${\displaystyle N=(t-t_{0})/h}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p})}$

Стабильность и жесткость

Для некоторых дифференциальных уравнений применение стандартных методов, таких как метод Эйлера, явные методы Рунге-Кутты или многошаговые методы (например, методы Адамса-Башфорта), демонстрирует нестабильность решений, хотя другие методы могут давать устойчивые решения. Это «трудное поведение» в уравнении (которое само по себе не обязательно может быть сложным) описывается как жесткость и часто вызвано наличием различных временных масштабов в основной проблеме. ^[23] Например, столкновение в механической системе, такой как ударный генератор, обычно происходит в гораздо меньшем временном масштабе, чем время движения объектов; это несоответствие приводит к очень «крутым поворотам» кривых параметров состояния.

Жесткие задачи повсеместно встречаются в химической кинетике , теории управления , механике твердого тела , прогнозировании погоды , биологии , физике плазмы и электронике . Одним из способов преодоления жесткости является расширение понятия дифференциального уравнения до понятия дифференциального включения , которое допускает и моделирует негладкость. ^{[24] [25]}

История

Ниже представлен график некоторых важных событий в этой области. ^{[26] [27]}

• 1768 г. – Леонард Эйлер публикует свой метод.
• 1824 г. — Огюстен Луи Коши доказывает сходимость метода Эйлера. В этом доказательстве Коши использует неявный метод Эйлера.
• 1855 — Первое упоминание о многошаговых методах Джона Кауча Адамса в письме Фрэнсиса Башфорта .
• 1895 — Карл Рунге публикует первый метод Рунге-Кутты .
• 1901 — Мартин Кутта описывает популярный метод Рунге–Кутты четвертого порядка .
• 1910 — Льюис Фрай Ричардсон объявляет о своем методе экстраполяции — экстраполяции Ричардсона .
• 1952 – Чарльз Ф. Кертисс и Джозеф Окленд Хиршфельдер вводят термин « жесткие уравнения» .
• 1963 - Гермунд Далквист представляет A-стабильность методов интегрирования.

Численные решения одномерных краевых задач второго порядка

Краевые задачи (БВП) обычно решаются численно путем решения приблизительно эквивалентной матричной задачи, полученной путем дискретизации исходной БВП. ^[28] Наиболее часто используемый метод численного решения BVP в одном измерении называется методом конечных разностей . ^[3] Этот метод использует преимущества линейных комбинаций точечных значений для построения коэффициентов конечной разности , которые описывают производные функции. Например, аппроксимация центральной разностью второго порядка для первой производной определяется следующим образом:

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}}=u'(x_{i})+{\mathcal {O}}(h^{2}),}$

а центральная разность второго порядка для второй производной определяется выражением:

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}=u''(x_{i})+{\mathcal {O}}(h^{2}).}$

В обеих этих формулах — расстояние между соседними значениями x в дискретизированной области. Затем строится линейная система, которую затем можно решить стандартными матричными методами . Например, предположим, что уравнение, которое необходимо решить, имеет следующий вид: ${\displaystyle h=x_{i}-x_{i-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-u=0,\\&{}u(0)=0,\\&{}u(1)=1.\end{aligned}}}$

Следующим шагом будет дискретизация проблемы и использование приближений линейной производной, таких как

${\displaystyle u''_{i}={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}}$

и решить полученную систему линейных уравнений. Это приведет к таким уравнениям, как:

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}-u_{i}=0,\quad \forall i={1,2,3,...,n-1}.}$

На первый взгляд эта система уравнений кажется трудной, связанной с тем, что в уравнении нет членов, которые не умножаются на переменные, но на самом деле это неверно. При i = 1 и n − 1 существует член, включающий граничные значения , и , поскольку эти два значения известны, можно просто подставить их в это уравнение и в результате получить неоднородную систему линейных уравнений , которая имеет неоднородную тривиальные решения. ${\displaystyle u(0)=u_{0}}$ ${\displaystyle u(1)=u_{n}}$

Смотрите также

• Условие Куранта – Фридрихса – Леви.
• Энергетический дрейф
• Общие линейные методы
• Список тем численного анализа#Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений
• Обратимый алгоритм распространения системы отсчета
• Язык Modelica и программное обеспечение OpenModelica

Примечания

1. Чиконе, К. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями (т. 34). Springer Science & Business Media.
2. Брэди (2006, стр. 533–655)
3. ЛеВек, Р.Дж. (2007). Методы конечных разностей для обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных: стационарные и нестационарные задачи (т. 98). СИАМ.
4. Слиман Аджерид и Махбуб Баккуш (2010) Методы Галеркина. Схоларпедия, 5(10):10056.
5. Гриффитс, Д.Ф., и Хайэм, ди-джей (2010). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: начальные задачи. Springer Science & Business Media.
6. Хайрер, Норсетт и Ваннер (1993, стр. 204–215) harvtxt error: no target: CITEREFHairerNørsettWanner1993 (help)
7. Александр, Р. (1977). Диагонально неявные методы Рунге–Кутты для жестких ОДУ. Журнал SIAM по численному анализу, 14 (6), 1006–1021.
8. Кэш, младший (1979). Диагонально неявные формулы Рунге-Кутты с оценками ошибок. Журнал прикладной математики IMA, 24 (3), 293-301.
9. Феррачина, Л., и Спайкер, Миннесота (2008). Сильная устойчивость однодиагонально-неявных методов Рунге–Кутты. Прикладная численная математика, 58 (11), 1675–1686.
10. Эверхарт, Э. (1985). Эффективный интегратор, использующий расстояния Гаусса-Радау. На коллоквиуме Международного астрономического союза (том 83, стр. 185–202). Издательство Кембриджского университета.
11. Вайсштейн, Эрик В. «Гауссова квадратура». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html
12. Мясник, JC (1987). Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Рунге-Кутта и общие линейные методы. Уайли-Интерсайенс.
13. Хохбрук (2010, стр. 209–286) . Это современный и обширный обзорный документ для экспоненциальных интеграторов. harvtxt error: no target: CITEREFHochbruck2010 (help)
14. Брезински, К., и Залья, MR (2013). Методы экстраполяции: теория и практика. Эльзевир.
15. Монро, JL (2002). Экстраполяция и алгоритм Булирша-Стора. Физический обзор Е, 65(6), 066116.
16. Кирпекар, С. (2003). Реализация метода экстраполяции Булирша-Стера. Департамент машиностроения Калифорнийского университета в Беркли/Калифорния.
17. Нурминский Е.А. и Бурый А.А. (2011). Метод Паркера-Сохацкого решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием графических процессоров. Численный анализ и приложения, 4 (3), 223.
18. Хайрер Э., Любич К. и Ваннер Г. (2006). Геометрическое численное интегрирование: алгоритмы, сохраняющие структуру для обыкновенных дифференциальных уравнений (Том 31). Springer Science & Business Media.
19. Хайрер Э., Любич К. и Ваннер Г. (2003). Геометрическое численное интегрирование, проиллюстрированное методом Штермера – Верле. Акта Нумерика, 12, 399–450.
20. Нивергельт, Юрг (1964). «Параллельные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений». Коммуникации АКМ . 7 (12): 731–733. дои : 10.1145/355588.365137 . S2CID  6361754.
21. "Parallel-in-Time.org" . Parallel-in-Time.org . Проверено 15 ноября 2023 г.
22. Хайэм, Нью-Джерси (2002). Точность и устойчивость численных алгоритмов (Том 80). СИАМ.
23. Миранкер, А. (2001). Численные методы решения жестких уравнений и задачи сингулярных возмущений: и задачи сингулярных возмущений (Том 5). Springer Science & Business Media.
24. Маркус Кунце; Тассило Куппер (2001). «Негладкие динамические системы: обзор». У Бернольда Фидлера (ред.). Эргодическая теория, анализ и эффективное моделирование динамических систем . Springer Science & Business Media. п. 431. ИСБН 978-3-540-41290-8.
25. Тао Данг (2011). «Модельное тестирование гибридных систем». В Юстине Зандер, Ине Шифердекер и Питере Дж. Мостермане (ред.). Модельно-ориентированное тестирование встраиваемых систем . ЦРК Пресс. п. 411. ИСБН 978-1-4398-1845-9.
26. Брезински, К., и Вуйтак, Л. (2012). Численный анализ: исторические события в 20 веке. Эльзевир.
27. Мясник, JC (1996). История методов Рунге-Кутты. Прикладная численная математика, 20(3), 247-260.
28. Ашер, UM, Маттей, RM, и Рассел, RD (1995). Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Общество промышленной и прикладной математики.

Рекомендации

• Брэди, Брайан (2006). Дружественное введение в численный анализ . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-013054-9.
• Дж. К. Батчер , Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений , ISBN 0-471-96758-0 
• Эрнст Хайрер, Сиверт Пауль Норсетт и Герхард Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи, второе издание, Springer Verlag, Берлин, 1993. ISBN 3-540-56670-8 . 
• Эрнст Хайрер и Герхард Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, второе издание, Springer Verlag, Берлин, 1996. ISBN 3-540-60452-9 . (Эта двухтомная монография систематически охватывает все аспекты этой области.) 
  
• Хохбрук, Марлис ; Остерманн, Александр (май 2010 г.). «Экспоненциальные интеграторы». Акта Нумерика . 19 : 209–286. Бибкод : 2010AcNum..19..209H. CiteSeerX  10.1.1.187.6794 . дои : 10.1017/S0962492910000048. S2CID  4841957.
• Арье Изерлес, Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (в твердом переплете), ISBN 0-521-55655-4 (мягкая обложка). (Учебник, предназначенный для студентов и аспирантов с углубленным изучением математики, в котором также обсуждаются численные уравнения в частных производных .)  
  
• Джон Денхольм Ламберт, Численные методы для обыкновенных дифференциальных систем, John Wiley & Sons, Чичестер, 1991. ISBN 0-471-92990-5 . (Учебник, несколько более требовательный, чем книга Изерлеса.) 
  

Внешние ссылки

• Джозеф В. Рудмин, Применение метода Паркера-Сочацкого к небесной механике , 1998.
• Доминик Турнес, «L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires» (1671-1914) , докторская степень Парижского университета 7 – Дени Дидро, июнь 1996 г. Réimp. Вильнёв д'Аск: Press universitaires du Septentrion, 1997, 468 стр. (Обширный онлайн-материал по истории численного анализа ОДУ; англоязычные материалы по истории численного анализа ОДУ см., например, в цитируемых им бумажных книгах Чаберта и Голдстайна.)
• Пчелинцев, АН (2020). «Точный численный метод и алгоритм построения решений хаотических систем». Журнал прикладной нелинейной динамики . 9 (2): 207–221. arXiv : 2011.10664 . дои : 10.5890/ЯНВ.2020.06.004. S2CID  225853788.
• kv на GitHub ( библиотека C++ со строгими решателями ОДУ)
• INTLAB (библиотека, созданная MATLAB / GNU Octave , которая включает в себя строгие решатели ОДУ)