Метод стрельбы

Метод решения краевых задач

В численном анализе метод стрельбы — это метод решения краевой задачи путем сведения ее к начальному заданию . Он включает в себя поиск решений начальной задачи для различных начальных условий до тех пор, пока не будет найдено решение, которое также удовлетворяет граничным условиям краевой задачи. Говоря простым языком, человек «выстреливает» траектории в разных направлениях от одной границы до тех пор, пока не найдет траекторию, которая «попадет» в другое граничное условие.

Математическое описание

Предположим, что требуется решить краевую задачу Давайте решим начально-краевую задачу Если , то также является решением краевой задачи. $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.}$$ ${\displaystyle y(t;a)}$ $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.}$$ ${\displaystyle y(t_{1};a)=y_{1}}$ ${\displaystyle y(t;a)}$

Метод стрельбы — это процесс решения задачи начального значения для многих различных значений до тех пор, пока не будет найдено решение , удовлетворяющее желаемым граничным условиям. Обычно это делается численно . Решение(я) соответствует корню(ям) Чтобы систематически изменять параметр стрельбы и находить корень, можно использовать стандартные алгоритмы поиска корня, такие как метод бисекции или метод Ньютона . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ $${\displaystyle F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.}$$ ${\displaystyle a}$

Корни и решения краевой задачи эквивалентны. Если является корнем , то является решением краевой задачи. Наоборот, если краевая задача имеет решение , оно также является единственным решением начальной задачи, где , поэтому является корнем . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ ${\displaystyle a=y'(t_{0})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$

Этимология и интуиция

Термин «метод стрельбы» берет свое начало в артиллерии. Аналогом метода стрельбы является

• поместите пушку на позицию , затем ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$
• изменить угол наклона пушки, затем ${\displaystyle a=y'(t_{0})}$
• стреляйте из пушки до тех пор, пока она не достигнет граничного значения . ${\displaystyle y(t_{1})=y_{1}}$

Между каждым выстрелом направление пушки корректируется на основе предыдущего выстрела, поэтому каждый выстрел попадает ближе, чем предыдущий. Траектория, которая «попадает» в желаемое граничное значение, является решением граничной задачи — отсюда и название «метод стрельбы».

Метод линейной стрельбы

Краевая задача является линейной, если f имеет вид В этом случае решение краевой задачи обычно определяется по формуле: где — решение начальной задачи: и — решение начальной задачи: Точное условие, при котором выполняется этот результат, см. в доказательстве. ^[1] $${\displaystyle f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).}$$ $${\displaystyle y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)}$$ ${\displaystyle y_{(1)}(t)}$ $${\displaystyle y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,}$$ ${\displaystyle y_{(2)}(t)}$ $${\displaystyle y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.}$$

Примеры

Стандартная краевая задача

Рисунок 1. Траектории w ( t ; s ) для s = w '(0), равных −7, −8, −10, −36 и −40. Точка (1,1) отмечена кружком.

Рисунок 2. Функция F ( s ) = w (1; s ) − 1.

Краевая задача сформулирована следующим образом Штером и Булиршем ^[2] (раздел 7.3.1).

$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$$

Задача начального значения была решена для s = −1, −2, −3, ..., −100, и F ( s ) = w (1; s ) − 1 изображена на рисунке 2. Рассматривая график F , мы видим, что есть корни вблизи −8 и −36. Некоторые траектории w ( t ; s ) показаны на рисунке 1. $${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$$

Штёер и Булирш ^[2] утверждают, что существует два решения, которые можно найти алгебраическими методами.

Они соответствуют начальным условиям w ′(0) = −8 и w ′(0) = −35,9 (приблизительно).

Задача на собственные значения

При поиске основного состояния гармонического осциллятора с энергией метод стрельбы дает волновые функции, которые расходятся к бесконечности. Здесь правильная волновая функция должна иметь нулевые корни и стремиться к нулю на бесконечности, поэтому она лежит где-то между оранжевой и зеленой линиями. Следовательно, энергия находится между и (с числовой точностью). ${\displaystyle E_{0}=1/2}$ ${\displaystyle 0.495}$ ${\displaystyle 0.500}$

Метод стрельбы также может быть использован для решения задач на собственные значения. Рассмотрим не зависящее от времени уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора В квантовой механике ищутся нормируемые волновые функции и соответствующие им энергии, подчиняющиеся граничным условиям Задача может быть решена аналитически, чтобы найти энергии для , но также служит прекрасной иллюстрацией метода стрельбы. Чтобы применить его, сначала отметим некоторые общие свойства уравнения Шредингера: $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).}$$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.}$$ ${\displaystyle E_{n}=n+1/2}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

• Если — собственная функция, то таковой является и любая ненулевая константа . ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle C\psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle C}$
• -е возбужденное состояние имеет корни, где . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=0}$
• Для четного -е возбужденное состояние симметрично и отлично от нуля в начале координат. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)}$
• Для нечетных -е возбужденное состояние антисимметрично и, следовательно, равно нулю в начале координат. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)}$

Чтобы найти -ое возбужденное состояние и его энергию , метод стрельбы заключается в следующем: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

1. Угадайте немного энергии . ${\displaystyle E_{n}}$
2. Интегрируем уравнение Шредингера. Например, используем центральную конечную разность $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.}$$
   • Если четно, установите некоторое произвольное число (скажем , волновую функцию в любом случае можно нормализовать после интегрирования) и используйте симметричное свойство, чтобы найти все оставшиеся . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{0}=1}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
   • Если нечетно, приравняйте и к некоторому произвольному числу (скажем , волновую функцию в любом случае можно нормализовать после интегрирования) и найдите все оставшиеся . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{1}=1}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
3. Подсчитайте корни и уточните оценку энергии . ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$
   • Если корней больше или меньше, предполагаемая энергия слишком мала, поэтому увеличьте ее и повторите процесс. ${\displaystyle n}$
   • Если корней больше , то предполагаемая энергия слишком высока, поэтому уменьшите ее и повторите процесс. ${\displaystyle n}$

Угадывание энергии можно сделать методом деления пополам , и процесс можно прекратить, когда разница энергий станет достаточно малой. Тогда можно взять любую энергию в интервале в качестве правильной энергии.

Смотрите также

• Метод прямой многократной стрельбы
• Расчет затухания радиоволн в атмосфере

Примечания

1. Мэтьюз, Джон Х.; Финк, Куртис К. (2004). "9.8 Задачи с граничными значениями". Численные методы с использованием MATLAB (PDF) (4-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 0-13-065248-2. Архивировано из оригинала (PDF) 9 декабря 2006 г.
2. Stoer, J. и Bulirsch, R. Введение в численный анализ . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980.

Ссылки

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 18.1. Метод стрельбы". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Внешние ссылки

• Краткое описание ODEPACK (в Netlib ; содержит LSODE)
• Метод стрельбы для решения краевых задач – Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica в Институте целостных численных методов [1]