Проблема начального значения

Тип задачи по исчислению

В исчислении с несколькими переменными задача начального значения ^[a] ( IVP ) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальным условием , которое определяет значение неизвестной функции в данной точке области . Моделирование системы в физике или других науках часто сводится к решению задачи начального значения. В этом контексте дифференциальное начальное значение представляет собой уравнение, которое определяет, как система развивается со временем с учетом начальных условий задачи.

Определение

Начальная задача представляет собой дифференциальное уравнение

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ где находится открытый набор , ${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$

вместе с точкой в ​​области ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega ,}$

называется начальным состоянием .

Решением начальной задачи является функция , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет условию ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

В более высоких измерениях дифференциальное уравнение заменяется семейством уравнений и рассматривается как вектор , чаще всего связанный с положением в пространстве. В более общем смысле, неизвестная функция может принимать значения в бесконечномерных пространствах, таких как банаховы пространства или пространства распределений . ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$ ${\displaystyle y}$

Проблемы начального значения расширяются до более высоких порядков, рассматривая производные так же, как независимую функцию, например . ${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

Существование и единственность решений

Теорема Пикара –Линделефа гарантирует единственное решение на некотором интервале, содержащем t _0, если f непрерывна в области, содержащей t ₀ и y ₀ , и удовлетворяет условию Липшица для переменной y . Доказательство этой теоремы продолжается путем переформулировки задачи в виде эквивалентного интегрального уравнения . Интеграл можно рассматривать как оператор, который отображает одну функцию в другую, так что решением является фиксированная точка оператора. Затем используется теорема Банаха о неподвижной точке, чтобы показать, что существует единственная неподвижная точка, которая является решением проблемы начального значения.

Более старое доказательство теоремы Пикара – Линделёфа строит последовательность функций, которые сходятся к решению интегрального уравнения и, следовательно, к решению начальной задачи. Такую конструкцию иногда называют «методом Пикара» или «методом последовательных приближений». Эта версия по сути является частным случаем теоремы Банаха о неподвижной точке.

Хироши Окамура получил необходимое и достаточное условие единственности решения начальной задачи. Это условие связано с существованием у системы функции Ляпунова .

В некоторых ситуациях функция f не принадлежит классу C ¹ или даже липшицевому классу , поэтому обычный результат, гарантирующий локальное существование единственного решения, неприменим. Однако теорема существования Пеано доказывает, что даже для просто непрерывного f решения гарантированно существуют локально во времени; проблема в том, что нет никакой гарантии уникальности. Результат можно найти у Коддингтона и Левинсона (1955, теорема 1.3) или Робинсона (2001, теорема 2.6). Еще более общим результатом является теорема существования Каратеодори , которая доказывает существование некоторых разрывных функций f .

Примеры

Простой пример — решить и . Мы пытаемся найти формулу, удовлетворяющую этим двум уравнениям. ${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$ ${\displaystyle y(0)=19}$ ${\displaystyle y(t)}$

Переставьте уравнение так, чтобы оно оказалось в левой части ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

Теперь проинтегрируем обе части по (это вводит неизвестную константу ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

Устранить логарифм с возведением в степень с обеих сторон

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

Пусть – новая неизвестная константа, , поэтому ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\pm e^{B}}$

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

Теперь нам нужно найти значение . Используйте , как указано в начале, и замените 0 и 19 вместо. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y(0)=19}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

это дает окончательное решение . ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$

Второй пример

Решение

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

можно найти

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

Действительно,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

Третий пример

Решение

${\displaystyle y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt}$

${\displaystyle 3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B}$

Применяя начальные условия получаем , отсюда и решение: ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{3}}{27}}}$.

Однако следующая функция также является решением проблемы начального значения:

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.}$

Функция всюду дифференцируема и непрерывна, удовлетворяя при этом дифференциальному уравнению, а также начальной задаче. Таким образом, это пример такой задачи с бесконечным числом решений.

Примечания

1. Некоторые авторы также называют проблемой Коши ^{. [ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Краевая задача
• Константа интегрирования
• Интегральная кривая

Рекомендации

• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Хирш, Моррис В. и Смейл, Стивен (1974). Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра . Нью-Йорк-Лондон: Академическая пресса.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Окамура, Хироси (1942). «Необходимое и достаточное условие для выполнения обычных уравнений без точек Пеано». Память Колл. наук. унив. Киото сер. А (на французском языке). 24 : 21–28. МР  0031614.
• Агарвал, Рави П.; Лакшмикантам, В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Серия в реальном анализе. Том. 6. Мировая научная. ISBN 978-981-02-1357-2.
• Полянин Андрей Дмитриевич; Зайцев, Валентин Федорович (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-297-2.
• Робинсон, Джеймс К. (2001). Бесконечномерные динамические системы: введение в диссипативные параболические УЧП и теорию глобальных аттракторов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-63204-8.