Коэффициент разности

Выражение в исчислении

В исчислении с одной переменной разностное отношение обычно является названием выражения

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

которое, будучи взято в пределе , когда h стремится к 0, дает производную функции f . ^{[1] [2] [3] [4]} Название выражения происходит от того факта, что оно является частным от деления разности значений функции на разность соответствующих значений ее аргумента (последнее в данном случае равно ( x + h ) - x = h ). ^{[5] [6]} Частное от деления является мерой средней скорости изменения функции на интервале (в данном случае, интервале длиной h ). ^{[7] [8] : 237  [9]} Предел частного от деления (т. е. производной) является, таким образом, мгновенной скоростью изменения. ^[9]

При небольшом изменении обозначений (и точки зрения) для интервала [ a , b ] разностное отношение

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

называется ^[5] средним (или усредненным) значением производной функции f на интервале [ a , b ]. Это название оправдано теоремой о среднем значении , которая гласит, что для дифференцируемой функции f ее производная f ′ достигает своего среднего значения в некоторой точке интервала. ^[5] Геометрически это разностное отношение измеряет наклон секущей линии, проходящей через точки с координатами ( a , f ( a )) и ( b , f ( b )). ^[10]

Коэффициенты разности используются в качестве приближений при численном дифференцировании ^[8] , но они также подвергались критике в этом приложении. ^[11]

Коэффициенты разности также могут оказаться полезными в приложениях, включающих дискретизацию по времени , где ширина временного шага используется для значения h.

Разностное отношение иногда также называют отношением Ньютона ^{[10] [12] [13] [14]} (в честь Исаака Ньютона ) или разностным отношением Ферма (в честь Пьера де Ферма ). ^[15]

Обзор

Типичное понятие разностного коэффициента, обсуждаемое выше, является частным случаем более общей концепции. Первичным средством исчисления и другой высшей математики является функция . Ее «входное значение» — это ее аргумент , обычно точка («P»), выражаемая на графике. Разница между двумя точками, сама по себе, известна как их дельта (Δ P ), как и разница в результате их функции, причем конкретная нотация определяется направлением формирования:

• Прямая разница: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) − F ( P );
• Центральное различие: δF(P) = F(P + ⁠1/2⁠ ΔP) − F(P − ⁠1/2⁠ ΔP);
• Обратная разность: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP).

Общим предпочтением является прямая ориентация, поскольку F(P) является базой, к которой добавляются разности (т. е. «ΔP»). Кроме того,

• Если |ΔP| конечна (т. е. измерима), то ΔF(P) известна как конечная разность , с конкретными обозначениями DP и DF(P);
• Если |ΔP| бесконечно мала (бесконечно малая величина — обычно выражаемая в стандартном анализе как предел: ), то ΔF(P) известна как бесконечно малая разность , с конкретными обозначениями dP и dF(P) (в графическом исчислении точка почти всегда идентифицируется как «x», а F(x) — как «y»). ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!}$

Разность функций, деленная на разность точек, называется «коэффициентом разности»:

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!}$

Если ΔP бесконечно мало, то разностное отношение является производной , в противном случае это разделенная разность :

${\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!}$

${\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!}$

Определение диапазона точек

Независимо от того, является ли ΔP бесконечно малым или конечным, существует (по крайней мере — в случае производной — теоретически) точечный диапазон, где границы равны P ± (0,5) ΔP (в зависимости от ориентации — ΔF(P), δF(P) или ∇F(P)):

LB = Нижняя граница; UB = Верхняя граница;

Производные можно рассматривать как функции, сами по себе содержащие свои собственные производные. Таким образом, каждая функция является домом для последовательных степеней («более высоких порядков») деривации или дифференциации . Это свойство можно обобщить на все коэффициенты разности.
Поскольку эта последовательность требует соответствующего граничного расщепления, практично разбить диапазон точек на меньшие, равновеликие секции, причем каждая секция отмечена промежуточной точкой ( P _i ), где LB = P ₀ и UB = P _ń , n -я точка, равная степени/порядку:

 LB = P0 = P0 + 0Δ1P = Pń − (Ń-0) Δ1P ; P1 = P0 + 1Δ1 P = Pń − (Ń- 1 )Δ1 P ; P2 = P0 + 2Δ1P = Pń − (Ń- 2 ) Δ1P ; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń − (Ń-3)Δ 1 P; ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3)Δ 1 P = P ń − 3Δ 1 P; P ń-2 = P 0 + (Ń-2)Δ ​​1 P = P ń − 2Δ 1 P; P ń-1 = P 0 + (Ń-1)Δ 1 P = P ń − 1Δ 1 P; UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0)Δ 1 P = P ń − 0Δ 1 P = P ń ;

 ΔP знак равно Δ 1 P знак равно п 1 - п 0 знак равно п 2 - п 1 знак равно п 3 - п 2 знак равно ... = п ń - п ń-1 ;

 ΔB = UB − LB = P ń − P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P.

Первичный коэффициент разности (С= 1)

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!}$

Как производное

Разностное отношение как производная не нуждается в объяснении, за исключением указания на то, что поскольку P ₀ по сути равно P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (поскольку разности бесконечно малы), то обозначения Лейбница и производные выражения не различают P и P ₀ или P _ń :

${\displaystyle {\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!}$

Существуют и другие производные обозначения , но эти являются наиболее признанными и стандартными обозначениями.

Как разделенная разница

Однако разделенная разность требует дальнейшего пояснения, поскольку она равна средней производной между LB и UB включительно:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}}$

В этой интерпретации P _ã представляет собой извлеченную функцию, среднее значение P (середина диапазона, но обычно не точно середина), конкретная оценка в зависимости от функции, из которой она извлечена. Более формально P _ã находится в теореме о среднем значении исчисления, которая гласит:

Для любой функции, непрерывной на [LB,UB] и дифференцируемой на (LB,UB), существует некоторая точка P _ã в интервале (LB,UB) такая, что секущая, соединяющая концы интервала [LB,UB], параллельна касательной в точке P _ã .

По сути, P _ã обозначает некоторое значение P между LB и UB — следовательно,

${\displaystyle P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!}$

который связывает результат среднего значения с разделенной разностью:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}}$

Поскольку по самому определению существует ощутимая разница между LB/P 0 _и UB/P _ń , выражения Лейбница и производные требуют разделения аргумента функции.

Коэффициенты разности более высокого порядка

Второго порядка

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}$

Третий порядок

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}}$

Нй порядок

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}}$

Применение разделенной разницы

Наиболее существенным применением разделенной разности является представление определенного интеграла, который представляет собой не что иное, как конечную разность:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}}$

Учитывая, что форма выражения среднего значения, производной предоставляет всю ту же информацию, что и классическая интегральная нотация, форма среднего значения может быть предпочтительным выражением, например, в письменных местах, которые поддерживают/принимают только стандартный текст ASCII , или в случаях, когда требуется только средняя производная (например, при нахождении среднего радиуса в эллиптическом интеграле). Это особенно верно для определенных интегралов, которые технически имеют (например) 0 и либо или в качестве границ, с той же разделенной разностью, что и с границами 0 и (таким образом, требуя меньших усилий по усреднению): ${\displaystyle \pi \,\!}$ ${\displaystyle 2\pi \,\!}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}}$

Это также становится особенно полезным при работе с итерированными и многократными интегралами ( ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!}$

и

${\displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!}$

Смотрите также

• Разделенные различия
• Теория Ферма
• Полином Ньютона
• Метод прямоугольника
• Правило частного
• Симметричное разностное отношение

Ссылки

1. Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Springer. стр. 119. ISBN 978-1-4614-7946-8.
2. Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Barron's how to Prepare for the AP Calculus . Образовательная серия Barron's. стр. 44. ISBN 978-0-7641-2382-5.
3. Марк Райан (2010). Основы исчисления для чайников . John Wiley & Sons. стр. 41–47. ISBN 978-0-470-64269-6.
4. Карла Нил; Р. Густафсон; Джефф Хьюз (2012). Precalculus . Cengage Learning. стр. 133. ISBN 978-0-495-82662-0.
5. Майкл Коменец (2002). Исчисление: Элементы . World Scientific. стр. 71–76 и 151–161. ISBN 978-981-02-4904-5.
6. Мориц Паш (2010). Очерки по основам математики Морица Паша . Springer. стр. 157. ISBN 978-90-481-9416-2.
7. Фрэнк С. Уилсон; Скотт Адамсон (2008). Прикладное исчисление . Cengage Learning. стр. 177. ISBN 978-0-618-61104-1.
8. Тамара Лефкурт Руби; Джеймс Селлерс; Лиза Корф; Джереми Ван Хорн; Майк Манн (2014). Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. стр. 299. ISBN 978-1-61865-686-5.
9. Томас Хангерфорд; Дуглас Шоу (2008). Contemporary Precalculus: A Graphing Approach . Cengage Learning. стр. 211–212. ISBN 978-0-495-10833-7.
10. Стивен Г. Кранц (2014). Основы анализа . CRC Press. стр. 127. ISBN 978-1-4822-2075-9.
11. Андреас Гриванк; Андреа Вальтер (2008). Оценка производных: принципы и методы алгоритмического дифференцирования, второе издание. SIAM. стр. 2–. ISBN 978-0-89871-659-7.
12. Серж Ланг (1968). Анализ 1. Addison-Wesley Publishing Company. стр. 56.
13. Брайан Д. Хан (1994). Fortran 90 для ученых и инженеров . Elsevier. стр. 276. ISBN 978-0-340-60034-4.
14. Кристофер Клэпхэм; Джеймс Николсон (2009). Краткий Оксфордский словарь математики . Oxford University Press. стр. 313. ISBN 978-0-19-157976-9.
15. Дональд К. Бенсон, «Более гладкий камешек: математические исследования» , Oxford University Press, 2003, стр. 176.

Внешние ссылки

• Колледж Сент-Винсент: Брат Дэвид Карлсон, OSB—MA109 Коэффициент разницы Архивировано 12 сентября 2005 г. на Wayback Machine
• Университет Бирмингема: Дирк Херманс — Разделенные различия
• Математический мир:
  • Разделенная разница
  • Теорема о среднем значении
• Университет Висконсина: Томас У. Репс и Луис Б. Ралл — Вычислительная арифметика разделенных разностей и разделенных разностей
• Интерактивный симулятор по разностному коэффициенту для объяснения производной