Деление на ноль

Класс математического выражения

Обратная функция y =1/Икс. Когда x приближается к нулю справа, y стремится к бесконечности. Когда x приближается к нулю слева, y стремится к отрицательной бесконечности.

В математике деление на ноль , при котором делитель (знаменатель) равен нулю , является уникальным и проблематичным частным случаем. Используя обозначение дроби , общий пример можно записать как , где – делимое (числитель). ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$

Обычное определение частного в элементарной арифметике — это число, которое дает делимое при умножении на делитель. То есть эквивалентно этому определению. По этому определению частное бессмысленно, поскольку произведение всегда представляет собой произведение , а не какое-либо другое число. Следование обычным правилам элементарной алгебры , допуская деление на ноль, может создать математическую ошибку , тонкую ошибку, приводящую к абсурдным результатам. . Чтобы предотвратить это, арифметика действительных чисел и более общие числовые структуры, называемые полями , оставляют деление на ноль неопределенным , и к ситуациям, когда может произойти деление на ноль, следует относиться с осторожностью. Поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю, выражение также не определено. ${\displaystyle c={\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c\cdot b=a.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle q\cdot 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

Исчисление изучает поведение функций в пределе , когда их входные данные стремятся к некоторому значению. Когда реальная функция включает деление на величину, стремящуюся к нулю, результат функции часто становится сколь угодно большим и, как говорят, « стремится к бесконечности », что является разновидностью математической сингулярности . Например, обратная функция стремится к бесконечности, как стремится сверху. Когда функция включает в себя частное двух функций, которые стремятся к нулю на одном и том же входе, это называется неопределенной формой , поскольку результирующее поведение зависит от того, какие функции рассматриваются. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

В качестве альтернативы общепринятому соглашению о работе с такими полями, как действительные числа, и оставлению деления на ноль неопределенным, можно определить результат деления на ноль другими способами, что приведет к созданию других систем счисления. Например, частное можно определить равным нулю; его можно определить как новую явную точку на бесконечности , иногда обозначаемую символом бесконечности ; или его можно определить как бесконечность со знаком, с положительным или отрицательным знаком в зависимости от знака делимого. В этих системах счисления деление на ноль само по себе больше не является особым исключением, но точка или точки, находящиеся на бесконечности, предполагают свои собственные новые типы исключительного поведения. ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle \infty }$

При вычислениях ошибка может возникнуть в результате попытки деления на ноль. В зависимости от контекста и типа используемого числа деление на ноль может вывести положительную или отрицательную бесконечность или специальное значение, не являющееся числом , ^[1] сгенерировать исключение , отобразить сообщение об ошибке , а также привести к сбою или зависанию программы.

Элементарная арифметика

Смысл разделения

Концептуально это разделение можно интерпретировать по-разному. ^[2] ${\displaystyle N/D=Q}$

При частном делении делимое разделяется на части по размеру (делитель), а частное — это количество получившихся частей. Например, представьте, что из десяти ломтиков хлеба нужно сделать бутерброды, на каждый из которых требуется два ломтика хлеба. Всего можно приготовить пять бутербродов ( ). Теперь представьте, что на один бутерброд требуется ноль ломтиков хлеба (например, обертка из салата ). Из десяти ломтиков хлеба можно сделать сколь угодно много таких бутербродов, причем хлеб не имеет значения. ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

Кавычное понятие деления поддается расчетам путем многократного вычитания : деление предполагает подсчет того, сколько раз можно вычесть делитель, прежде чем закончится делимое. Поскольку никакое конечное число вычитаний нуля никогда не приведет к исчерпанию ненулевого делимого, вычисление деления на ноль таким способом никогда не прекращается . ^{[4] Такой бесконечный} алгоритм деления на ноль физически реализован в некоторых механических калькуляторах . ^[5]

При разделительном делении делимое делится на части, а частное — это результирующий размер каждой части. Например, представьте, что десять печенек нужно разделить между двумя друзьями. Каждый друг получит пять печенек ( ). Теперь представьте, что десять печенек нужно разделить между нулем друзей. Сколько файлов cookie получит каждый друг? Поскольку друзей нет, это абсурд. ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

Наклон линии на плоскости представляет собой отношение разностей вертикальных и горизонтальных координат. Для вертикальной линии это 1:0 , своего рода деление на ноль.

В другой интерпретации частное представляет собой соотношение. ^[7] Например, рецепт торта может требовать десяти чашек муки и двух чашек сахара, соотношения или, пропорционально, Чтобы масштабировать этот рецепт на большее или меньшее количество торта, можно поддерживать соотношение муки и сахара, пропорциональное , например, один стакан муки и одна пятая стакана сахара или пятьдесят стаканов муки и десять стаканов сахара. ^[8] Теперь представьте, что рецепт торта без сахара требует десяти чашек муки и ноля чашек сахара. Соотношение или пропорция совершенно разумны: ^[9] это просто означает, что в торте нет сахара. Однако вопрос «Сколько частей муки на каждую часть сахара?» до сих пор не имеет значимого числового ответа. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N:D.}$ ${\displaystyle 10:2}$ ${\displaystyle 5:1.}$ ${\displaystyle 5:1}$ ${\displaystyle 10:0,}$ ${\displaystyle 1:0,}$

Геометрическим проявлением интерпретации деления как отношения является наклон прямой линии в декартовой плоскости . ^[10] Уклон определяется как «подъем» (изменение вертикальной координаты), разделенный на «пробег» (изменение горизонтальной координаты) вдоль линии. Когда это записано с использованием обозначения симметричного отношения, горизонтальная линия имеет наклон , а вертикальная линия имеет наклон. Однако, если наклон принимается за одно действительное число , тогда горизонтальная линия имеет наклон , а вертикальная линия имеет неопределенный наклон, поскольку в арифметике вещественных чисел частное не определено. ^[11] Действительный наклон линии, проходящей через начало координат, представляет собой вертикальную координату пересечения линии и вертикальной линии в горизонтальной координате, отмеченной черным пунктиром на рисунке. Вертикальная красная и пунктирная чёрная линии параллельны , поэтому не имеют пересечения на плоскости. Иногда говорят, что они пересекаются в бесконечной точке , а отношение обозначается новым числом ; ^[12] см. § Проективно расширенная вещественная линия ниже. Иногда говорят, что вертикальные линии имеют «бесконечно крутой» наклон. ${\displaystyle 0:1}$ ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1:0}$ ${\displaystyle \infty }$

Обратное умножение

Деление является обратным действием умножения . Проблему деления можно решить, переписав ее как эквивалентное уравнение, включающее умножение, где представляет ту же неизвестную величину, а затем найдя значение, для которого утверждение верно; в данном случае неизвестная величина потому что так поэтому ^[13] ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$ ${\displaystyle {?}\times 3=6,}$ ${\displaystyle {?}}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2\times 3=6,}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2.}$

Аналогичная задача, связанная с делением на ноль, требует определения неизвестной величины, удовлетворяющей условиям . Однако любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а не шести, поэтому не существует числа, которое могло бы заменить , чтобы сделать истинное утверждение. ^[14] ${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=6.}$ ${\displaystyle {?}}$

Когда проблема меняется на эквивалентное мультипликативное утверждение: ; в этом случае неизвестную величину можно заменить любым значением, чтобы получить истинное утверждение, поэтому не существует единого числа, которое можно было бы присвоить в качестве частного. ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$

Из-за этих сложностей частные, у которых делитель равен нулю, традиционно считаются неопределёнными , а деление на ноль не допускается. ^{[15] [16]}

Заблуждения

Веской причиной запрета деления на ноль является то, что его разрешение приводит к ошибкам .

При работе с числами легко выявить неправильное деление на ноль. Например:

От и получается Отмена 0 с обеих сторон дает ложное утверждение. ${\displaystyle 0\times 1=0}$ ${\displaystyle 0\times 2=0}$ ${\displaystyle 0\times 1=0\times 2.}$ ${\displaystyle 1=2}$

Заблуждение здесь возникает из-за предположения, что 0 можно отменить, как и любое другое число, тогда как на самом деле это является формой деления на 0 .

Используя алгебру , можно замаскировать деление на ноль ^[17] и получить недействительное доказательство . Например: ^[18]

Пусть х = 1 . Умножьте обе части на x , чтобы получить . Вычтите по 1 с каждой стороны, чтобы получить ${\displaystyle x=x^{2}}$

$${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$

Правая часть может быть учтена,

$${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$

Разделив обе части на x - 1 , получим

$${\displaystyle 1=x+1.}$$

Замена x = 1 дает

$${\displaystyle 1=2.}$$

По сути, это такое же ошибочное вычисление, как и предыдущая численная версия, но деление на ноль было запутанным, поскольку мы записали 0 как x − 1 .

Ранние попытки

«Брахмасфутасиддханта » Брахмагупты ( ок. 598–668) является самым ранним текстом, в котором ноль рассматривается как самостоятельное число и определяются операции с нулем. ^[17] Автор не смог объяснить деление на ноль в своих текстах: легко доказать, что его определение приводит к алгебраическим абсурдам. По словам Брахмагупты,

Положительное или отрицательное число, разделенное на ноль, представляет собой дробь, знаменателем которой является нуль. Ноль, разделенный на отрицательное или положительное число, либо равен нулю, либо выражается дробью с нулем в числителе и конечной величиной в знаменателе. Ноль, разделенный на ноль, равен нулю.

В 830 году Махавира безуспешно пытался исправить ошибку, допущенную Брахмагуптой в своей книге « Ганита Сара Самграха »: «Число остаётся неизменным при делении на ноль». ^[17]

Исторически одно из самых ранних зарегистрированных упоминаний о математической невозможности присвоения значения содержится в критике исчисления бесконечно малых англо-ирландским философом Джорджем Беркли в 1734 году в журнале «Аналитик » («призраки ушедших величин»). ^[19] ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$

Исчисление

Исчисление изучает поведение функций, используя концепцию предела — значения, к которому стремятся выходные данные функции, когда ее входные данные стремятся к некоторому определенному значению. Обозначения означают, что значение функции можно сделать сколь угодно близким к , выбрав достаточно близкое к ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c.}$

В случае, когда предел вещественной функции неограниченно возрастает, стремясь к тому, чтобы функция не определялась в виде математической особенности . Вместо этого говорят, что функция « стремится к бесконечности », и ее график имеет линию в виде вертикальной асимптоты . Хотя такая функция формально не определена и символ бесконечности в данном случае не представляет какого-либо конкретного действительного числа , неофициально говорят, что такие пределы «равны бесконечности». Если значение функции уменьшается без ограничений, говорят, что функция «стремится к отрицательной бесконечности». В некоторых случаях функция стремится к двум разным значениям, когда стремится сверху ( ) и снизу ( ) ; такая функция имеет два различных односторонних предела . ^[20] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c,}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\to c^{+}}$ ${\displaystyle x\to c^{-}}$

Основным примером бесконечной сингулярности является обратная функция , которая стремится к положительной или отрицательной бесконечности, как правило : ${\displaystyle f(x)=1/x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$$

В большинстве случаев предел частного функции равен частному пределов каждой функции в отдельности,

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.}$$

Однако, когда функция построена путем деления двух функций, отдельные пределы которых равны пределу, результат не может быть определен из отдельных пределов, поэтому это называется неопределенной формой , неофициально записанной . Такой предел может равняться любому действительному значению, может стремиться к бесконечности или вообще не сходиться, в зависимости от конкретных функций. Например, в ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},}$$

отдельные пределы числителя и знаменателя равны , поэтому мы имеем неопределенную форму , но упрощение частного сначала показывает, что предел существует: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.}$$

Альтернативные системы счисления

Расширенная реальная линия

Аффинно расширенные действительные числа получаются из действительных чисел путем добавления двух новых чисел и читаются как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно и представляют точки на бесконечности . С добавлением концепции «предела на бесконечности» можно заставить работать как конечный предел. При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение обычно остается неопределенным. Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle 1/0=+\infty }$

Проективно расширенная действительная линия

Множество представляет собой проективно расширенную вещественную прямую , которая представляет собой одноточечную компактификацию вещественной прямой. Здесь имеется в виду беззнаковая бесконечность или точка в бесконечности , бесконечная величина, которая не является ни положительной, ни отрицательной. Эта величина удовлетворяет , что необходимо в данном контексте. В этой структуре может быть определено для ненулевого a и когда a не равно . Это естественный способ просмотреть диапазон функций тангенса и котангенса тригонометрии : tan( x ) приближается к единственной точке на бесконечности, когда x приближается либо к + ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty =\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0}$ ${\displaystyle \infty }$π/2или —π/2с любого направления.

Это определение приводит ко многим интересным результатам. Однако результирующая алгебраическая структура не является полем , и не следует ожидать, что она будет вести себя как поле. Например, в этом расширении реальной строки не определено. ${\displaystyle \infty +\infty }$

сфера Римана

Предмет комплексного анализа применяет понятия исчисления в комплексных числах . Большое значение в этом предмете имеют расширенные комплексные числа — набор комплексных чисел с добавленным одним дополнительным числом, обычно обозначаемым символом бесконечности и представляющим точку в бесконечности , которая определяется как содержащаяся в каждой внешней области , что делает их ее топологические окрестности . ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle \infty }$

Интуитивно это можно рассматривать как обертывание бесконечных ребер комплексной плоскости и скрепление их вместе в одной точке ( одноточечная компактификация) , что делает расширенные комплексные числа топологически эквивалентными сфере . Эта эквивалентность может быть расширена до метрической эквивалентности путем сопоставления каждого комплексного числа с точкой на сфере с помощью обратной стереографической проекции , при этом полученное сферическое расстояние применяется как новое определение расстояния между комплексными числами; и вообще геометрию сферы можно изучать с помощью комплексной арифметики, и, наоборот, сложную арифметику можно интерпретировать в терминах сферической геометрии. Как следствие, множество расширенных комплексных чисел часто называют сферой Римана . Набор обычно обозначается символом комплексных чисел, украшенным звездочкой, надчеркиванием, тильдой или циркумфлексом, например ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

В расширенных комплексных числах для любого ненулевого комплексного числа обычная комплексная арифметика расширяется дополнительными правилами. Однако , и остаются неопределенными. ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0,}$ ${\displaystyle \infty +0=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty +z=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty \cdot z=\infty .}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Высшая математика

Четыре основные операции – сложение, вычитание, умножение и деление – применительно к целым числам (положительным целым числам), с некоторыми ограничениями, в элементарной арифметике используются в качестве основы для поддержки расширения области чисел, к которой они применяются. Например, чтобы сделать возможным вычитание любого целого числа из другого, область чисел должна быть расширена до всего набора целых чисел , чтобы включить в него отрицательные целые числа. Аналогично, чтобы поддерживать деление любого целого числа на любое другое, область чисел должна расшириться до рациональных чисел . Во время этого постепенного расширения системы счисления уделяется внимание тому, чтобы «расширенные операции», примененные к старым числам, не давали разных результатов. Грубо говоря, поскольку деление на ноль не имеет смысла ( не определено ) в настройке целого числа, это остается верным, когда настройка расширяется до действительных или даже комплексных чисел . ^[21]

По мере расширения области чисел, к которым могут применяться эти операции, происходят изменения и в том, как эти операции рассматриваются. Например, в области целых чисел вычитание больше не считается основной операцией, поскольку его можно заменить сложением чисел со знаком. ^[22] Точно так же, когда царство чисел расширяется и включает в себя рациональные числа, деление заменяется умножением на определенные рациональные числа. В соответствии с этим изменением точки зрения вопрос «Почему мы не можем делить на ноль?» превращается в «Почему рациональное число не может иметь нулевой знаменатель?». Чтобы точно ответить на этот пересмотренный вопрос, необходимо внимательно изучить определение рациональных чисел.

В современном подходе к построению области действительных чисел рациональные числа выступают как промежуточный этап развития, основанного на теории множеств. Сначала натуральные числа (включая ноль) устанавливаются на аксиоматической основе, такой как система аксиом Пеано , а затем она расширяется до кольца целых чисел . Следующий шаг — определить рациональные числа, помня, что это необходимо делать, используя только те множества и операции, которые уже установлены, а именно сложение, умножение и целые числа. Начиная с набора упорядоченных пар целых чисел {( a , b )} с b ≠ 0 , определите бинарное отношение на этом наборе по формуле ( a , b ) ≃ ( c , d ) тогда и только тогда, когда ad = bc . Показано, что это отношение является отношением эквивалентности , а его классы эквивалентности затем определяются как рациональные числа. Именно в формальном доказательстве того, что это отношение является отношением эквивалентности, необходимо требование, чтобы вторая координата не была нулевой (для проверки транзитивности ). ^{[23] [24] [25]}

Хотя деление на ноль не может быть разумно определено с помощью действительных и целых чисел, его или подобные операции можно последовательно определить в других математических структурах.

Нестандартный анализ

В гипердействительных числах деление на ноль по-прежнему невозможно, но возможно деление на ненулевые бесконечно малые числа . ^[26] То же самое справедливо и в отношении сюрреалистических чисел . ^[27]

Теория распределения

В теории распределения можно расширить функцию до распределения во всем пространстве действительных чисел (фактически, используя главные значения Коши ). Однако не имеет смысла спрашивать о «значении» этого распределения при x  = 0; Сложный ответ относится к единственной поддержке дистрибутива. ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

Линейная алгебра

В матричной алгебре квадратными или прямоугольными блоками чисел манипулируют так, как если бы они сами были числами: матрицы можно складывать и умножать , а в некоторых случаях существует также вариант деления. Деление на матрицу означает, точнее, умножение на обратную матрицу . Не все матрицы имеют обратные. ^[28] Например, матрица, содержащая только нули, не является обратимой.

Можно определить псевдоделение, установив a / b  =  ab ⁺ , где b ⁺ представляет собой псевдообратное значение b . Можно доказать, что если b ⁻¹ существует, то b ⁺ = b ⁻¹ . Если b равно 0, то b ⁺ = 0.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре целые, рациональные, действительные и комплексные числа можно абстрагировать до более общих алгебраических структур, таких как коммутативное кольцо, которое представляет собой математическую структуру, в которой сложение, вычитание и умножение ведут себя так же, как и они. в более привычных системах счисления, но деление может быть не определено. Присоединение мультипликативного, обратного к коммутативному кольцу, называется локализацией . Однако локализацией каждого коммутативного кольца в нуле является тривиальное кольцо , где , поэтому нетривиальные коммутативные кольца не имеют обратных в нуле, и, таким образом, деление на ноль не определено для нетривиальных коммутативных колец. ${\displaystyle 0=1}$

Тем не менее любую систему счисления, образующую коммутативное кольцо, можно расширить до структуры, называемой колесом , в которой всегда возможно деление на ноль. Однако полученная математическая структура больше не является коммутативным кольцом, поскольку умножение больше не распределяется над сложением. Более того, в колесе деление элемента на самого себя больше не приводит к образованию мультипликативного единичного элемента , и если исходная система была областью целостности , умножение в колесе больше не приводит к образованию сокращающейся полугруппы . ${\displaystyle 1}$

Понятия, применяемые к стандартной арифметике, аналогичны концепциям в более общих алгебраических структурах, таких как кольца и поля . В поле каждый ненулевой элемент обратим при умножении; как указано выше, деление создает проблемы только при попытке деления на ноль. Это справедливо и для тела (которое по этой причине называется телом ) . Однако в других кольцах деление на ненулевые элементы также может создавать проблемы. Например, кольцо Z /6 Z целых чисел по модулю 6. Смыслом выражения должно быть решение x уравнения . Но в кольце Z /6 Z 2 — делитель нуля . Это уравнение имеет два различных решения: x = 1 и x = 4 , поэтому выражение не определено . ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ ${\displaystyle 2x=2}$ ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$

В теории поля это выражение является лишь сокращением формального выражения ab ⁻¹ , где b ⁻¹ — мультипликативное обратное выражение b . Поскольку аксиомы поля гарантируют существование таких обратных значений только для ненулевых элементов, это выражение не имеет смысла, когда b равно нулю. Современные тексты, определяющие поля как особый тип колец, включают аксиому 0 ≠ 1 для полей (или ее эквивалент), так что нулевое кольцо исключается из поля. В кольце нулей возможно деление на ноль, что показывает, что других аксиом поля недостаточно, чтобы исключить деление на ноль в поле. ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$

Компьютерная арифметика

Арифметика с плавающей запятой

В вычислительной технике большинство числовых вычислений выполняется с использованием арифметики с плавающей запятой , которая с 1980-х годов стандартизирована спецификацией IEEE 754 . В арифметике с плавающей запятой IEEE числа представляются с использованием знака (положительного или отрицательного), мантиссы фиксированной точности и целочисленного показателя степени . Числа, показатель степени которых слишком велик, чтобы вместо этого представлять «переполнение» до положительной или отрицательной бесконечности (+∞ или -∞), в то время как числа, показатель степени которых слишком мал, чтобы вместо этого представлять « переполнение » до положительного или отрицательного нуля (+0 или -0) . Значение NaN (не число) представляет неопределенные результаты.

В арифметике IEEE деление 0/0 или ∞/∞ приводит к NaN, но в противном случае деление всегда дает четко определенный результат. Деление любого ненулевого числа на положительный ноль (+0) приводит к бесконечности того же знака, что и делимое. Деление любого ненулевого числа на отрицательный ноль (-0) приводит к получению бесконечности противоположного знака в качестве делимого. Это определение сохраняет знак результата в случае арифметического опустошения . ^[29]

Например, используя арифметику IEEE с одинарной точностью, если x = −2 ⁻¹⁴⁹ , то x /2 уменьшается до −0, и деление 1 на этот результат дает 1/( x /2) = −∞. Точный результат -2 ¹⁵⁰ слишком велик, чтобы его можно было представить в виде числа одинарной точности, поэтому вместо этого используется бесконечность того же знака, чтобы указать на переполнение.

Целочисленная арифметика

Ручные калькуляторы, такие как этот TI-86 , обычно останавливаются и отображают сообщение об ошибке после попытки деления на ноль.

Целочисленное деление на ноль обычно обрабатывается иначе, чем деление с плавающей запятой, поскольку для результата нет целочисленного представления. Процессоры различаются по поведению: например, процессоры x86 вызывают аппаратное исключение , а процессоры PowerPC молча генерируют неверный результат деления и продолжают работу. Из-за этого несоответствия между платформами языки программирования C и C++ считают результат деления на ноль неопределённым . ^[30] В типичных языках программирования более высокого уровня , таких как Ada , Python , ^[31] и Java , при попытке деления на ноль возникает исключение , которое можно обработать в другой части программы. В Zig попытка деления на ноль приводит к сбою программы. ^[32] Компьютерные программы часто проверяют, равен ли знаменатель нулю, используя условное выражение (если-то-иначе) перед целочисленным делением.

Языки символьной математики Maple и SageMath возвращают сообщение об ошибке 1/0, а Microsoft Math Solver и Mathematica возвращают ComplexInfinity.

Большинство калькуляторов либо возвращают ошибку, либо сообщают, что 1/0 не определено, но некоторые в особых случаях допускают деление на ноль. Некоторые графические калькуляторы Texas Instruments и Hewlett-Packard оценивают (1/0) от ² до ∞.

В помощниках по доказательству

Многие помощники по доказательству , такие как Coq и Lean , определяют 1/0 = 0. Это связано с требованием, чтобы все функции были полными . Такое определение не создает противоречий, поскольку дальнейшие манипуляции (например, вычитание ) по-прежнему требуют, чтобы делитель был ненулевым. ^{[33] [34]}

Исторические случайности

• 21 сентября 1997 года ошибка деления на ноль в «Удаленном диспетчере базы данных» на борту авианосца « Йорктаун » (CG-48) привела к сбою всех машин в сети, что привело к отказу двигательной установки корабля. ^{[35] [36]}

Смотрите также

• Делитель нуля
• Ноль в степени нуля

Примечания

1. «Документация Perl BigInt», Perl::doc , Perl 5 Porters, заархивировано из оригинала 26 сентября 2019 г. , получено 1 марта 2020 г.
2. Ченг 2023, стр. 75–83.
3. Зазкис и Лильедал 2009, с. 52–53.
4. Зазкис и Лильедал 2009, с. 55–56.
5. Кохенбургер, Ральф Дж.; Турсио, Кэролайн Дж. (1974), Компьютеры в современном обществе, Санта-Барбара: Гамильтон, Некоторые другие операции, включая деление, также можно выполнить с помощью настольного калькулятора (но не пытайтесь делить на ноль; калькулятор никогда не остановится). пытаюсь разделить, пока не остановлюсь вручную).
   Видеодемонстрацию см. в разделе: Что происходит, когда вы делите на ноль на механическом калькуляторе? , получено 6 января 2024 г. - через YouTube.
6. Zazkis & Liljedahl 2009, стр. 53–54, приводят пример того, как наследники короля поровну делят свое наследство из 12 бриллиантов, и задаются вопросом, что произойдет в случае, если все наследники умрут до того, как воля короля сможет быть исполнена.
7. В Китае, Тайване и Японии школьные учебники обычно различают соотношение и значение отношения. Напротив, в учебниках США они обычно рассматриваются как два обозначения одного и того же понятия. ${\displaystyle N:D}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{D}}.}$
   Ло, Джейн-Джейн; Ватанабэ, Тэд; Цай, Джинфа (2004), «Развитие концепций соотношений: азиатская перспектива», Преподавание математики в средней школе , 9 (7): 362–367, doi : 10.5951/MTMS.9.7.0362, JSTOR  41181943
8. Ченгиз, Несрин; Ратуз, Маргарет (2018), «Осмысление эквивалентных соотношений», Преподавание математики в средней школе , 24 (3): 148–155, doi : 10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148, JSTOR  10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148, S2CID  188092067
9. Кларк, Мэтью Р.; Беренсон, Сара Б.; Кэви, Лори О. (2003), «Сравнение отношений и дробей и их роли как инструментов в пропорциональном рассуждении», The Journal of Mathematical Behavior , 22 (3): 297–317, doi : 10.1016/S0732-3123(03) )00023-3
10. Ченг, Иван (2010), «Дроби: новый взгляд на наклон», Преподавание математики в средней школе , 16 (1): 34–41, doi : 10.5951/MTMS.16.1.0034, JSTOR  41183440
11. Кэви, Лори О.; Махавьер, В. Тед (2010), «Видеть потенциал в вопросах учеников», Учитель математики , 104 (2): 133–137, doi : 10.5951/MT.104.2.0133, JSTOR  20876802
12. Вегман, Эдвард Дж.; Саид, Ясмин Х. (2010), «Естественные однородные координаты», Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика , 2 (6): 678–685, doi : 10.1002/wics.122, S2CID  121947341
13. Ченг 2023, с. 78; Зазкис и Лильедал 2009, с. 55
14. Зазкис и Лильедал 2009, с. 55.
15. Ченг 2023, стр. 82–83.
16. Банч 1982, с. 14
17. Каплан, Роберт (1999), Ничто, что есть: естественная история нуля , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 68–75, ISBN 978-0-19-514237-2
18. Банч 1982, с. 15
19. Каджори, Флориан (1929), «Абсурды из-за деления на ноль: историческая справка», Учитель математики , 22 (6): 366–368, doi : 10.5951/MT.22.6.0366, JSTOR  27951153.
20. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и другие. (2023), «2.2 Предел функции», Calculus , vol. 1, Хьюстон: OpenStax, с. 454, ISBN 978-1-947172-13-5, OCLC  1022848630
21. Кляйн 1925, с. 63
22. Кляйн 1925, с. 26
23. Шумахер 1996, с. 149
24. Гамильтон 1982, с. 19
25. Хенкин и др. 2012, с. 292
26. Кейслер, Х. Джером (2023) [1986], Элементарное исчисление: бесконечно малый подход, Приндл, Вебер и Шмидт, стр. 29–30
27. Конвей, Джон Х. (11 декабря 2000 г.) [1976], О числах и играх (2-е изд.), CRC Press, стр. 20, ISBN 9781568811277
28. Гбур, Грег (2011), Математические методы оптической физики и техники , Cambridge University Press, стр. 88–93, Bibcode : 2011mmop.book.....G, ISBN 978-0-521-51610-5
29. Коди, WJ (март 1981 г.), «Анализ предложений по стандарту с плавающей запятой», Computer , 14 (3): 65, doi : 10.1109/CM.1981.220379, S2CID  9923085, С соответствующей осторожностью, чтобы быть уверенным, что алгебраические знаки не определяются ошибкой округления, аффинный режим сохраняет отношения порядка, исправляя переполнение. Так, например, величина, обратная отрицательному числу, которое теряет значение, по-прежнему остается отрицательным.
30. Ван, Си; Чен, Хаоган; Чунг, Элвин; Цзя, Чжихао; Зельдович, Николай; Каашук, М. Франс, «Неопределенное поведение: что случилось с моим кодом?», APSYS '12: Материалы Азиатско-Тихоокеанского семинара по системам , APSYS '12, Сеул, 23–24 июля 2012 г., Нью-Йорк: Ассоциация вычислительной техники Машинное оборудование, doi : 10.1145/2349896.2349905 , hdl : 1721.1/86949, ISBN  978-1-4503-1669-9
31. «Встроенные исключения», Справочник по библиотеке Python 3 , Python Software Foundation, § «Конкретные исключения – исключение » , получено 22 января 2024 г.ZeroDivisionError
32. Справочник по языку Zig, Zig Software Foundation, §41.8 «Деление на ноль» , получено 22 января 2024 г.
33. Тантер, Эрик; Табаро, Николя (2015), «Постепенное сертифицированное программирование на coq», DLS 2015: Материалы 11-го симпозиума по динамическим языкам , Ассоциация вычислительной техники, arXiv : 1506.04205 , doi : 10.1145/2816707.2816710, Стандартная функция деления натуральных чисел в Coq, div, является полным и чистым, но неверным: когда делитель равен 0, результат равен 0.
34. Баззард, Кевин (5 июля 2020 г.), «Деление на ноль в теории типов: часто задаваемые вопросы», Xena Project (блог) , получено 21 января 2024 г.
35. «Потоплен Windows NT», Wired News , 24 июля 1998 г.
36. Уильям Кахан (14 октября 2011 г.), Отчаянно необходимые средства для невозможности отладки больших вычислений с плавающей запятой в науке и технике (PDF)

Источники

• Банч, Брайан (1982), Математические заблуждения и парадоксы , Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 0-442-24905-5(Дуврское переиздание, 1997 г.)
• Ченг, Евгения (2023), Реальна ли математика? Как простые вопросы ведут нас к глубочайшим истинам математики , Basic Books, ISBN 978-1-541-60182-6
• Кляйн, Феликс (1925), Элементарная математика с продвинутой точки зрения / Арифметика, алгебра, анализ , перевод Хедрика, ER; Ноубл, Калифорния (3-е изд.), Дувр
• Гамильтон, AG (1982), Числа, множества и аксиомы , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521287616
• Хенкин, Леон; Смит, Норман; Варино, Верн Дж.; Уолш, Майкл Дж. (2012), Возвращаясь к элементарной математике , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Шумахер, Кэрол (1996), Глава нулевая: Фундаментальные понятия абстрактной математики , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-82653-1
• Зазкис, Рина; Лильедал, Питер (2009), «Истории, которые объясняют», Преподавание математики как рассказывание историй , Sense Publishers, стр. 51–65, doi : 10.1163/9789087907358_008, ISBN 978-90-8790-734-1

дальнейшее чтение

• Нортроп, Юджин П. (1944), Загадки математики: Книга парадоксов , Нью-Йорк: Д. Ван Ностранд, гл. 5 «Не делить на ноль», стр. 77–96.
• Сейф, Чарльз (2000), Ноль: Биография опасной идеи , Нью-Йорк: Пингвин, ISBN 0-14-029647-6
• Суппес, Патрик (1957), Введение в логику , Принстон: Д. Ван Ностранд, §8.5 «Проблема деления на ноль» и §8.7 «Пять подходов к делению на ноль»(Дуврский переиздание, 1999 г.)
• Тарский, Альфред (1941), Введение в логику и методологию дедуктивных наук , Oxford University Press, §53 «Определения, определение которых содержит знак идентичности»