Неопределено (математика)

Выражение, которому не присвоено толкование

В математике термин «неопределенный» часто используется для обозначения выражения, которому не присвоена интерпретация или значение (например, неопределенная форма , которая может принимать различные значения). ^[1] Термин может иметь несколько различных значений в зависимости от контекста. Например:

• В различных разделах математики некоторые понятия вводятся как примитивные понятия (например, термины « точка », « прямая » и « плоскость » в геометрии ). Поскольку эти термины не определяются через другие понятия, их можно назвать «неопределенными терминами».
• Говорят, что функция « неопределена» в точках за пределами ее области определения  — например, действительная функция неопределена для   . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$
• В алгебре некоторые арифметические операции могут не приписывать значения определенным значениям своих операндов (например, деление на ноль ). В этом случае выражения, включающие такие операнды, называются «неопределенными». ^[2]

Неопределенные термины

В древние времена геометры пытались определить каждый термин. Например, Евклид определил точку как «то, что не имеет части». В наше время математики признают, что попытка определить каждое слово неизбежно приводит к круговым определениям , и поэтому оставляют некоторые термины (например, «точка») неопределенными (см. примитивное понятие для получения дополнительной информации).

Этот более абстрактный подход допускает плодотворные обобщения. В топологии топологическое пространство может быть определено как множество точек, наделенных определенными свойствами, но в общей постановке природа этих «точек» остается совершенно неопределенной. Аналогично, в теории категорий категория состоит из «объектов» и «стрелок», которые снова являются примитивными, неопределенными терминами. Это позволяет применять такие абстрактные математические теории к очень разнообразным конкретным ситуациям.

В арифметике

Выражение не определено в арифметике, как объясняется в делении на ноль ( выражение используется в исчислении для представления неопределенной формы ). ${\displaystyle {\frac {n}{0}},n\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Математики расходятся во мнениях относительно того, следует ли определить 0 ⁰ как равное 1 или оставить его неопределенным.

Значения, для которых функции не определены

Множество чисел, для которых определена функция , называется областью определения функции. Если число не принадлежит области определения функции, говорят, что функция "не определена" для этого числа. Два распространенных примера — , которое не определено для , и , которое не определено (в системе действительных чисел) для отрицательного  . ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$

В тригонометрии

В тригонометрии для всех функции и не определены для всех , в то время как функции и не определены для всех . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta }$ ${\displaystyle \sec \theta }$ ${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cot \theta }$ ${\displaystyle \csc \theta }$ ${\displaystyle \theta =\pi n}$

В комплексном анализе

В комплексном анализе точка, в которой голоморфная функция не определена, называется особенностью . Различают устранимые особенности (т. е. функцию можно голоморфно продолжить до ), полюсы (т. е. функцию можно мероморфно продолжить до ) и существенные особенности (т. е. не может существовать мероморфного продолжения до ). ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

В теории вычислимости

Обозначение с использованием ↓ и ↑

В теории вычислимости , если является частичной функцией от и является элементом , то это записывается как , и читается как « f ( a ) определено ». ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(a)\downarrow }$

Если не находится в области , то это записывается как и читается как « не определено ». ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)\uparrow }$ ${\displaystyle f(a)}$

Важно различать «логику существования» (стандартную) и «логику определенности». Обе стрелки не являются четко определенными как предикаты в логике существования, которая обычно использует семантику полных функций. Термин f(x) является термином и имеет некоторое значение, например , но в то же время может быть законным значением функции. Поэтому предикат «определен» не соблюдает равенство, поэтому он не является четко определенным. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

Логика определенности имеет различные исчисления предикатов, например, специализация формулы с квантором всеобщности требует, чтобы термин был хорошо определен. Более того, она требует введения понятия квазиравенства, что делает необходимым переформулирование аксиом. ^[4] ${\displaystyle (\forall x:\varphi )\&(t\downarrow )\Longrightarrow \varphi [t/x]}$

Символы бесконечности

В анализе , теории меры и других математических дисциплинах символ часто используется для обозначения бесконечного псевдочисла, а также его отрицательного значения, . Сам по себе символ не имеет четко определенного значения, но выражение типа является сокращением для расходящейся последовательности , которая в какой-то момент в конечном итоге больше любого заданного действительного числа. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty }$

Выполнение стандартных арифметических операций с символами не определено. Однако некоторые расширения определяют следующие соглашения по сложению и умножению: ${\displaystyle \pm \infty }$

• ${\displaystyle x+\infty =\infty }$   для всех . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$
• ${\displaystyle -\infty +x=-\infty }$   для всех . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$
• ${\displaystyle x\cdot \infty =\infty }$   для всех . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$

Никакого разумного расширения сложения и умножения не существует в следующих случаях: ${\displaystyle \infty }$

• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$(хотя в теории меры это часто определяется как ) ${\displaystyle 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
• ${\displaystyle -\infty [{1(0)}]}$

Более подробную информацию см. в расширенной действительной числовой строке .

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Undefined". mathworld.wolfram.com . Получено 15.12.2019 .
2. Богомольный, Александр . «Неопределенное против неопределенного в математике». Cut-the-Knot . Получено 15.12.2019 .
3. Эндертон, Герберт Б. (2011). Вычислимость: Введение в теорию рекурсии . Elseveier. стр. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.
4. Фармер, Уильям М.; Гуттман, Джошуа Д. (октябрь 2000 г.). «Теория множеств с поддержкой частичных функций» (PDF) . Studia Logica . 66 (1, Частичность и модальность): 59–78.

Дальнейшее чтение

• Смарт, Джеймс Р. (1988). Современные геометрии (третье изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-08310-2.