Расширенная строка действительных чисел

Действительные числа с добавлением +∞ и −∞.

В математике расширенная система действительных чисел ^[a] получается из системы действительных чисел путем сложения двух элементов бесконечности : и ^[b] , где бесконечности рассматриваются как действительные числа. Это полезно при описании алгебры на бесконечностях и различных предельных поведениях в исчислении и математическом анализе , особенно в теории меры и интегрирования . ^[1] Расширенная система действительных чисел обозначается или или ^[2] Это пополнение Дедекинда – МакНила действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$

Когда значение ясно из контекста, символ часто записывается просто как ^[2] ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$

Существует также проективно расширенная вещественная прямая, где и не различаются, поэтому бесконечность обозначается только . ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Мотивация

Пределы

Часто бывает полезно описать поведение функции, поскольку аргумент или значение функции в некотором смысле становятся «бесконечно большими». Например, рассмотрим функцию , определенную формулой ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при Геометрически при все большем движении вправо по оси - значение приближается к 0 . Это предельное поведение похоже на предел функции , к которой приближается действительное число, за исключением того, что нет действительного числа, к которому приближается. ${\displaystyle y=0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x}$

Присоединение элементов и к нему позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам для ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Чтобы сделать вещи полностью формальными, определение последовательностей Коши позволяет определить как набор всех последовательностей рациональных чисел , каждая из которых связана с соответствующей, для которой для всех определение может быть построено аналогичным образом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{n}>M}$ ${\displaystyle n>N.}$ ${\displaystyle -\infty }$

Измерение и интегрирование

В теории меры часто полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру , и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры естественным образом возникают из исчисления. Например, при назначении меры, соответствующей обычной длине интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, таких как

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Без разрешения функциям принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости, не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Расширенную систему действительных чисел , определенную как или , можно превратить в полностью упорядоченное множество , определив для всех . С этой топологией порядка она обладает желаемым свойством компактности : каждое подмножество имеет верхнюю и нижнюю грани ^[3] (нижнюю шкалу пустое множество — , а его верхняя грань — ). При этом топология гомеоморфна единичному интервалу. Таким образом , топология метризуема , соответствуя (при данном гомеоморфизме) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики, которая являлась бы расширением обычной метрики на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$ ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

В этой топологии множество является окрестностью тогда и только тогда , когда оно содержит множество для некоторого действительного числа. Понятие окрестности можно определить аналогично. Используя эту характеристику окрестностей расширенной реальности, пределы со стремлением к или и пределы, «равные» и , сводятся к общему топологическому определению пределов - вместо специального определения в действительной системе счисления. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \{x:x>a\}}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Арифметические операции

Арифметические операции могут быть частично расширены следующим образом: ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

О возведении в степень см. Возведение в степень § Пределы полномочий . Здесь означает оба , а в то время как означает и то, и другое. ${\displaystyle a+\infty }$ ${\displaystyle a+(+\infty )}$ ${\displaystyle a-(-\infty ),}$ ${\displaystyle a-\infty }$ ${\displaystyle a-(+\infty )}$ ${\displaystyle a+(-\infty ).}$

Выражения и (называемые неопределенными формами ) обычно оставляют неопределенными . Эти правила созданы по образцу законов для бесконечных пределов . Однако в контексте теории вероятностей или меры его часто определяют как ^[4] ${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$ ${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$ ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$ ${\displaystyle 0.}$

Когда мы имеем дело как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами, выражение обычно остается неопределенным, потому что, хотя верно, что для каждой действительной ненулевой последовательности, которая сходится к обратной последовательности , в конечном итоге содержится в каждой ее окрестности , неверно, что последовательность должна сама сходиться к любой из них или. Другими словами, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении, то это не обязательно должно быть тот случай, когда она стремится к любой из них или в пределе стремится к. Это относится к пределам тождественной функции. когда стремится к и (для последней функции ни предел, ни предел даже если рассматривать только положительные значения). ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/f(x),}$ ${\displaystyle x}$

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить. Например, при работе со степенным рядом радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами часто определяется как величина, обратная пределу - супремуму последовательность . Таким образом, если разрешить брать значение , то можно использовать эту формулу независимо от того, есть предел-супремум или нет. ${\displaystyle 1/0=+\infty .}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle 0}$

Алгебраические свойства

При этих определениях она не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле , как в случае с Однако она обладает несколькими удобными свойствами: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$и либо равны, либо оба не определены. ${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$и либо равны, либо оба не определены. ${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$и либо равны, либо оба не определены. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$и либо равны, либо оба не определены ${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$и равны, если оба определены. ${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Если и если оба и определены, то ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c.}$
• Если и и если оба и определены, то ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle a\cdot c}$ ${\displaystyle b\cdot c}$ ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Разнообразный

Некоторые функции можно непрерывно расширять , принимая пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}$

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}$

Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функция может быть непрерывно расширена до (согласно некоторым определениям непрерывности), установив значение for и for и С другой стороны, функцию нельзя непрерывно расширять , поскольку функция приближается как приближается снизу , и как приближается сверху, т. е. функция, не сходящаяся к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к одному и тому же элементу области как со стороны положительного, так и со стороны отрицательного значения. ${\displaystyle 1/x^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=+\infty }$ ${\displaystyle x=-\infty .}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Похожая, но другая система действительных линий, проективно расширенная вещественная линия , не различает и (т.е. бесконечность беззнаковая). ^[5] В результате функция может иметь предел на проективно расширенной действительной линии, в то время как в расширенной действительной системе счисления только абсолютное значение функции имеет предел, например, в случае функции с С другой стороны, на проективно расширенной вещественной прямой и соответствуют только пределу справа и одному пределу слева соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и нельзя сделать непрерывными на проективно продолженной вещественной прямой. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\infty }$

Смотрите также

• Деление на ноль
• Расширенная сложная плоскость
• Расширенные натуральные числа
• Несобственный интеграл
• Бесконечность
• Бревенчатое полукольцо
• Серия (математика)
• Проективно расширенная действительная линия
• Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей запятой § Бесконечности и плавающая запятая IEEE.

Примечания

1. Некоторые авторы используют аффинно расширенную систему действительных чисел и аффинно расширенную линию действительных чисел , хотя расширенные действительные числа не образуют аффинную линию .
2. Читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно.

Рекомендации

1. Уилкинс, Дэвид (2007). «Раздел 6: Расширенная система действительных чисел» (PDF) . maths.tcd.ie . Проверено 3 декабря 2019 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Аффинно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
3. Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. п. 74. ИСБН 9781498761147. Проверено 8 декабря 2019 г.
4. «Расширенное действительное число в nLab» . ncatlab.org . Проверено 3 декабря 2019 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

дальнейшее чтение

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7, МР  1669668
• Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа». Математический мир .