Отмена — это математический процесс, используемый для удаления подвыражений из математического выражения , когда это удаление не меняет смысла или значения выражения, поскольку подвыражения имеют равные и противоположные эффекты. [1] Например, дробь выражается в наименьшей форме путем сокращения общих делителей числителя и знаменателя . [2] Другой пример: если a × b = a × c , то мультипликативный член a можно исключить, если a ≠0, что приведет к эквивалентному выражению b = c ; это эквивалентно делению на .
Если подвыражения не идентичны, их все же можно частично отменить. Например, в простом уравнении 3 + 2 y = 8 y обе части на самом деле содержат 2 y (поскольку 8 y — это то же самое, что 2 y + 6 y ). Следовательно, 2 y с обеих сторон можно сократить, оставив 3 = 6 y или y = 0,5. Это эквивалентно вычитанию 2 y из обеих частей.
Иногда сокращение может привести к ограниченным изменениям или дополнительным решениям уравнения . Например, учитывая неравенство ab ≥ 3 b , похоже, что b в обеих частях можно сократить, чтобы получить a ≥ 3 в качестве решения. Но такая «наивная» отмена будет означать, что мы не получим все решения (наборы ( a, b ), удовлетворяющие неравенству). Это связано с тем, что если бы b было отрицательным числом , то деление на отрицательное изменило бы отношение ≥ на отношение ≤. Например, хотя 2 больше 1, –2 меньше –1. Кроме того, если бы b было равно нулю , то ноль раз что-либо будет равно нулю, и в этом случае сокращение будет означать деление на ноль , что невозможно. Таким образом, на самом деле, хотя отмена и работает, но правильная отмена приведет нас к трем наборам решений, а не только к одному, которое, как мы думали, у нас есть. Это также скажет нам, что наше «наивное» решение является решением только в некоторых случаях, а не во всех случаях:
Поэтому может потребоваться некоторая осторожность, чтобы гарантировать, что отмена выполняется правильно и ни одно решение не будет упущено из виду или неверно. Наше простое неравенство имеет три набора решений:
Наше «наивное» решение ( a ≥ 3) также иногда может быть неверным. Например, если b = –5, то a = 4 не является решением, даже если 4 ≥ 3, поскольку 4 × (–5) равно –20, а 3 x (–5) равно –15, а –20 не равно ≥ –15.
В более продвинутой математике сокращение может использоваться в контексте бесконечных рядов , члены которых можно сокращать, чтобы получить конечную сумму или сходящийся ряд . В этом случае часто используется термин телескопирование . Часто требуется значительная осторожность и предотвращение ошибок, чтобы гарантировать, что исправленное уравнение будет действительным, или установить границы, в которых оно будет действительным, из-за природы таких рядов.
В вычислительной науке сокращение часто используется для повышения точности и времени выполнения числовых алгоритмов .