Бесконечно малый

Чрезвычайно малая величина в исчислении; вещь настолько мала, что нет способа ее измерить.

Бесконечно малые (ε) и бесконечности (ω) на гиперреальной числовой прямой (ε = 1/ω)

В математике бесконечно малое число — это ненулевое количество, которое ближе к 0, чем любое ненулевое действительное число . Слово «бесконечно малое» происходит от современной латинской монеты XVII века infinitesimus , которая изначально относилась к элементу « бесконечность - eth » в последовательности .

Бесконечно малые числа не существуют в стандартной действительной системе счисления, но они существуют в других числовых системах, таких как сюрреальная и гиперреальная системы счисления , которые можно рассматривать как действительные числа, увеличенные как бесконечно малыми, так и бесконечными величинами; увеличения являются обратными величинами друг друга.

Бесконечно малые числа были введены в ходе развития исчисления , в котором производная впервые была задумана как отношение двух бесконечно малых величин. Это определение не было строго формализовано . По мере дальнейшего развития исчисления бесконечно малые числа были заменены пределами , которые можно вычислить с помощью стандартных действительных чисел.

Бесконечно малые числа вновь обрели популярность в 20 веке с развитием нестандартного анализа и гиперреальных чисел Абрахамом Робинсоном , которые после столетий споров показали, что формальная обработка исчисления бесконечно малых возможна. После этого математики разработали сюрреалистические числа, родственную формализацию бесконечных и бесконечно малых чисел, которая включает как гиперреальные кардинальные , так и порядковые числа , что является крупнейшим упорядоченным полем .

Владимир Арнольд писал в 1990 году:

В настоящее время при преподавании анализа не очень популярно говорить о бесконечно малых величинах. Следовательно, современные студенты не владеют в полной мере этим языком. Тем не менее, владеть им все равно необходимо. ^[1]

Решающее понимание ^{[ чьего? ]} для превращения бесконечно малых величин в возможные математические объекты состояло в том, что они все еще могли сохранять определенные свойства, такие как угол или наклон , даже если эти объекты были бесконечно малыми. ^[2]

Бесконечно малые являются основным компонентом исчисления , разработанного Лейбницем , включая закон непрерывности и трансцендентный закон однородности . В обычной речи бесконечно малый объект — это объект, который меньше любого возможного измерения, но не равен нулю по размеру — или настолько мал, что его невозможно отличить от нуля никакими доступными средствами. Следовательно, когда он используется в качестве прилагательного в математике, бесконечно малый означает бесконечно малый, меньше любого стандартного действительного числа. Бесконечно малые часто сравнивают с другими бесконечно малыми аналогичного размера, как при исследовании производной функции. Бесконечное число бесконечно малых суммируется для вычисления интеграла .

Концепция бесконечно малых величин была первоначально введена около 1670 года Николаем Меркатором или Готфридом Вильгельмом Лейбницем . ^[3] Архимед использовал то, что в конечном итоге стало известно как метод неделимых , в своей работе «Метод механических теорем» для нахождения площадей областей и объемов твердых тел. ^[4] В своих официально опубликованных трактатах Архимед решил ту же задачу, используя метод исчерпывания . В 15 веке появилась работа Николая Кузанского , получившая дальнейшее развитие в 17 веке у Иоганна Кеплера , в частности, вычисление площади круга путем представления последнего в виде многоугольника с бесконечными сторонами. Работа Симона Стевина о десятичном представлении всех чисел в 16 веке подготовила почву для действительного континуума. Метод неделимых Бонавентуры Кавальери привел к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых, относящийся к геометрическим фигурам, состоящим из сущностей коразмерности 1. ^{[ необходимо пояснение ] Бесконечно малые} Джона Уоллиса отличались от неделимых тем, что он разлагал геометрические фигуры на бесконечно тонкие строительные блоки той же размерности, что и фигура, подготавливая почву для общих методов интегрального исчисления. Он использовал бесконечно малую величину, обозначенную 1/∞, в вычислениях площади.

Использование Лейбницем бесконечно малых величин основывалось на эвристических принципах, таких как закон непрерывности: то, что успешно для конечных чисел, успешно также и для бесконечных чисел, и наоборот; и трансцендентный закон однородности, который определяет процедуры замены выражений, включающих неопределяемые величины, выражениями, включающими только определяемые величины. В XVIII веке бесконечно малые величины стали обычным явлением у таких математиков, как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж . Огюстен-Луи Коши использовал бесконечно малые величины как при определении непрерывности в своем Cours d'Analyse , так и при определении ранней формы дельта-функции Дирака . Пока Кантор и Дедекинд разрабатывали более абстрактные версии континуума Стевина, Поль дю Буа-Реймон написал серию статей о бесконечно малых континуумах, обогащенных на основе темпов роста функций. Работа Дюбуа-Реймона вдохновила Эмиля Бореля и Торальфа Сколема . Борель явно связал работу Дюбуа-Реймона с работой Коши о темпах роста бесконечно малых величин. Сколем разработал первые нестандартные модели арифметики в 1934 году. Математическая реализация как закона непрерывности, так и бесконечно малых была достигнута Абрахамом Робинсоном в 1961 году, который разработал нестандартный анализ, основанный на более ранних работах Эдвина Хьюитта в 1948 году и Ежи Лося в 1955 году. Гиперреальные числа реализуют обогащенный бесконечно малыми континуум, а принцип переноса реализует закон непрерывности Лейбница. Стандартная функция части реализует равенство Ферма .

История бесконечно малых

Понятие бесконечно малых величин обсуждалось Элейской школой . Греческий математик Архимед (ок. 287 г. до н. э. – ок. 212 г. до н. э.) в своем труде «Метод механических теорем » был первым, кто предложил логически строгое определение бесконечно малых величин. ^[5] Его свойство архимедовости определяет число x как бесконечное, если оно удовлетворяет условиям | x | > 1, | x | > 1 + 1, | x | > 1 + 1 + 1, ..., и бесконечно малое, если x ≠ 0 и аналогичный набор условий выполняется для x и обратных величин положительных целых чисел. Система чисел называется архимедовой, если она не содержит бесконечных или бесконечно малых членов.

Английский математик Джон Уоллис ввел выражение 1/∞ в своей книге 1655 года «Трактат о конических сечениях» . Символ, обозначающий обратную величину  ∞ , является символическим представлением математической концепции бесконечно малой величины. В своем «Трактате о конических сечениях » Уоллис также обсуждает концепцию связи между символическим представлением бесконечно малой величины 1/∞, которую он ввел, и концепцией бесконечности, для которой он ввел символ ∞. Концепция предполагает мысленный эксперимент по сложению бесконечного числа параллелограммов бесконечно малой ширины для образования конечной площади. Эта концепция была предшественником современного метода интегрирования, используемого в интегральном исчислении . Концептуальные истоки концепции бесконечно малой величины 1/∞ можно проследить еще до творчества греческого философа Зенона Элейского , чей парадокс дихотомии Зенона был первой математической концепцией, рассматривающей связь между конечным интервалом и интервалом, приближающимся к интервалу бесконечно малого размера.

Бесконечно малые величины были предметом политических и религиозных споров в Европе XVII века, включая запрет на бесконечно малые величины, изданный священнослужителями в Риме в 1632 году. ^[6]

До изобретения исчисления математики могли вычислять касательные линии, используя метод равенства Пьера де Ферма и метод нормалей Рене Декарта . Среди ученых ведутся споры о том, был ли этот метод по своей природе бесконечно малым или алгебраическим. Когда Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление , они использовали бесконечно малые, флюксии Ньютона и дифференциал Лейбница . Использование бесконечно малых было раскритиковано епископом Беркли в его работе «Аналитик» как неправильное . ^[7] Математики, ученые и инженеры продолжали использовать бесконечно малые для получения правильных результатов. Во второй половине девятнадцатого века исчисление было переформулировано Огюстеном -Луи Коши , Бернаром Больцано , Карлом Вейерштрассом , Кантором , Дедекиндом и другими, использующими (ε, δ)-определение предела и теории множеств . В то время как последователи Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса стремились избавить анализ от бесконечно малых, а их философские союзники, такие как Бертран Рассел и Рудольф Карнап, заявляли, что бесконечно малые являются псевдопонятиями , Герман Коэн и его марбургская школа неокантианства стремились разработать рабочую логику бесконечно малых. ^[8] Математическое изучение систем, содержащих бесконечно малые, продолжалось в работах Леви-Чивиты , Джузеппе Веронезе , Поля дю Буа-Реймона и других на протяжении конца девятнадцатого и двадцатого веков, как документировано Филиппом Эрлихом (2006). В 20 веке было обнаружено, что бесконечно малые могут служить основой для исчисления и анализа (см. гипердействительные числа ).

Свойства первого порядка

При расширении действительных чисел для включения бесконечных и бесконечно малых величин обычно стремятся быть максимально консервативными, не меняя ни одно из их элементарных свойств. Это гарантирует, что как можно больше знакомых результатов все еще доступно. Обычно элементарность означает, что нет квантификации по множествам , а есть только по элементам. Это ограничение допускает утверждения вида «для любого числа x...». Например, аксиома, гласящая «для любого числа  x , x  + 0 =  x », по-прежнему будет применима. То же самое верно для квантификации по нескольким числам, например, «для любых чисел  x и y , xy  =  yx ». Однако утверждения вида «для любого множества  S  чисел ...» могут не переноситься. Логика с этим ограничением на квантификацию называется логикой первого порядка .

Полученная расширенная числовая система не может согласовываться с вещественными числами по всем свойствам, которые могут быть выражены квантификацией по множествам, поскольку цель состоит в построении неархимедовой системы, а принцип Архимеда может быть выражен квантификацией по множествам. Можно консервативно расширить любую теорию, включающую вещественные числа, включая теорию множеств, чтобы включить бесконечно малые, просто добавив счетно бесконечный список аксиом, которые утверждают, что число меньше 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Аналогично, нельзя ожидать, что свойство полноты будет перенесено, поскольку вещественные числа являются единственным полным упорядоченным полем с точностью до изоморфизма.

Мы можем выделить три уровня, на которых неархимедова числовая система может иметь свойства первого порядка, совместимые со свойствами действительных чисел:

1. Упорядоченное поле подчиняется всем обычным аксиомам системы действительных чисел, которые могут быть сформулированы в логике первого порядка. Например, выполняется аксиома коммутативности x  +  y  =  y  +  x .
2. Действительное замкнутое поле обладает всеми свойствами первого порядка действительной числовой системы, независимо от того, считаются ли они обычно аксиоматическими, для утверждений, включающих основные отношения упорядоченного поля +, × и ≤. Это более сильное условие, чем соблюдение аксиом упорядоченного поля. Более конкретно, оно включает дополнительные свойства первого порядка, такие как существование корня для каждого полинома нечетной степени. Например, каждое число должно иметь кубический корень .
3. Система могла бы иметь все свойства первого порядка системы действительных чисел для утверждений, включающих любые отношения (независимо от того, могут ли эти отношения быть выражены с помощью +, × и ≤). Например, должна была бы быть функция синуса , которая была бы хорошо определена для бесконечных входов; то же самое верно для каждой действительной функции.

Системы в категории 1, на слабом конце спектра, относительно легко построить, но они не позволяют провести полную обработку классического анализа с использованием бесконечно малых в духе Ньютона и Лейбница. Например, трансцендентные функции определяются в терминах бесконечных предельных процессов, и поэтому обычно нет способа определить их в логике первого порядка. Увеличивая аналитическую силу системы путем перехода к категориям 2 и 3, мы обнаруживаем, что аромат обработки имеет тенденцию становиться менее конструктивным, и становится все труднее сказать что-либо конкретное об иерархической структуре бесконечностей и бесконечно малых.

Числовые системы, включающие бесконечно малые числа

Официальная серия

Серия Лорана

Примером из категории 1 выше является поле рядов Лорана с конечным числом членов отрицательной степени. Например, ряд Лорана, состоящий только из постоянного члена 1, отождествляется с действительным числом 1, а ряд только с линейным членом  x рассматривается как простейшая бесконечно малая, из которой строятся другие бесконечно малые. Используется упорядочение словаря, что эквивалентно рассмотрению более высоких степеней  x как пренебрежимо малых по сравнению с более низкими степенями. Дэвид О. Толл ^[9] называет эту систему суперреальными числами, не путая ее с системой суперреальных чисел Дейлса и Вудина. Поскольку ряд Тейлора, оцененный с рядом Лорана в качестве аргумента, все еще является рядом Лорана, система может использоваться для выполнения исчисления трансцендентных функций, если они являются аналитическими. Эти бесконечно малые числа имеют другие свойства первого порядка, чем действительные числа, потому что, например, базовая бесконечно малая  x не имеет квадратного корня.

Месторождение Леви-Чивита

Поле Леви-Чивиты похоже на ряд Лорана, но алгебраически замкнуто. Например, базовая бесконечно малая x имеет квадратный корень. Это поле достаточно богато, чтобы позволить провести значительный объем анализа, но его элементы все еще могут быть представлены на компьютере в том же смысле, в котором действительные числа могут быть представлены в виде чисел с плавающей точкой. ^[10]

Транссерия

Поле транссерии больше поля Леви-Чивиты. ^[11] Пример транссерии:

${\displaystyle e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},}$

где для целей упорядочения x считается бесконечным.

Сюрреалистические числа

Сюрреалистические числа Конвея попадают в категорию 2, за исключением того, что сюрреалистические числа образуют собственный класс , а не множество. ^[12] Они представляют собой систему, разработанную так, чтобы быть максимально богатой различными размерами чисел, но не обязательно для удобства проведения анализа, в том смысле, что каждое упорядоченное поле является подполем сюрреалистических чисел. ^[13] Существует естественное расширение экспоненциальной функции на сюрреалистические числа. ^{[14] : гл. 10}

Гиперреальности

Наиболее распространенным методом обработки бесконечно малых является метод гиперреальных чисел, разработанный Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Они попадают в категорию 3 выше, поскольку были разработаны таким образом, чтобы весь классический анализ мог быть перенесен из действительных чисел. Это свойство возможности переноса всех отношений естественным образом известно как принцип переноса , доказанный Ежи Лосем в 1955 году. Например, трансцендентная функция sin имеет естественный аналог *sin , который принимает гиперреальные входные данные и дает гиперреальные выходные данные, и аналогично множество натуральных чисел имеет естественный аналог , который содержит как конечные, так и бесконечные целые числа. Такое предложение как переносится на гиперреальные числа как . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0}$ ${\displaystyle \forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0}$

Суперреалы

Система суперреальных чисел Дейлса и Вудина является обобщением гиперреальных чисел. Она отличается от суперреальной системы, определенной Дэвидом Толлом .

Двойные числа

В линейной алгебре дуальные числа расширяют действительные числа, присоединяя один бесконечно малый, новый элемент ε со свойством ε ² = 0 (то есть ε нильпотентно ). Каждое дуальное число имеет вид z = a + b ε, где a и b являются однозначно определенными действительными числами.

Одним из приложений дуальных чисел является автоматическое дифференцирование . Это приложение можно обобщить на многочлены от n переменных, используя Внешнюю алгебру n-мерного векторного пространства.

Гладкий бесконечно малый анализ

Синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий анализ бесконечно малых имеют корни в теории категорий . Этот подход отходит от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая общую применимость закона исключенного третьего – т. е. не ( a ≠ b ) не обязательно означает a = b . Тогда можно определить нильквадрат или нильпотентную бесконечно малую величину. Это число x , где x ² = 0 является истинным, но x = 0 не обязательно должно быть истинным в то же время. Поскольку фоновая логика является интуиционистской логикой , не сразу ясно, как классифицировать эту систему относительно классов 1, 2 и 3. Сначала необходимо разработать интуиционистские аналоги этих классов.

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую величину , чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака, удовлетворяющую в ряде статей в 1827 году, см. Laugwitz (1989). Коши определил бесконечно малую величину в 1821 году (Cours d'Analyse) в терминах последовательности, стремящейся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазаря Карно . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta _{\alpha }}$ ${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Современные теоретико-множественные подходы позволяют определять бесконечно малые числа с помощью конструкции ультрастепени , где нулевая последовательность становится бесконечно малой в смысле класса эквивалентности по модулю отношения, определенного в терминах подходящего ультрафильтра . Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте континуума, обогащенного бесконечно малыми числами, предоставляемого гиперреальными числами .

Логические свойства

Метод построения бесконечно малых, используемых в нестандартном анализе, зависит от модели и используемого набора аксиом . Мы рассматриваем здесь системы, в которых можно показать существование бесконечно малых.

В 1936 году Мальцев доказал теорему о компактности . Эта теорема является основополагающей для существования бесконечно малых, поскольку она доказывает, что их можно формализовать. Следствием этой теоремы является то, что если существует числовая система, в которой верно, что для любого положительного целого числа n существует положительное число x такое, что 0 <  x  < 1/ n , то существует расширение этой числовой системы, в котором верно, что существует положительное число x такое, что для любого положительного целого числа n имеем 0 <  x  < 1/ n . Возможность переключения «для любого» и «существует» имеет решающее значение. Первое утверждение верно для действительных чисел, как указано в теории множеств ZFC  : для любого положительного целого числа n можно найти действительное число между 1/ n и нулем, но это действительное число зависит от n . Здесь сначала выбирается n , затем находится соответствующее x . Во втором выражении утверждение говорит, что существует x (по крайней мере одно), выбранное первым, которое находится между 0 и 1/ n для любого n . В этом случае x бесконечно мал. Это неверно в действительных числах ( R ), заданных ZFC. Тем не менее, теорема доказывает, что существует модель (система счисления), в которой это верно. Вопрос в том: что это за модель? Каковы ее свойства? Существует ли только одна такая модель?

На самом деле существует множество способов построения такого одномерного линейно упорядоченного набора чисел, но по сути существуют два разных подхода:

1. Расширьте числовую систему так, чтобы она содержала больше чисел, чем действительных чисел.
2. Расширьте аксиомы (или расширьте язык) так, чтобы различие между бесконечно малыми и не бесконечно малыми можно было провести в самих действительных числах.

В 1960 году Абрахам Робинсон дал ответ, следуя первому подходу. Расширенное множество называется гиперреальными числами и содержит числа, меньшие по абсолютной величине, чем любое положительное действительное число. Метод можно считать относительно сложным, но он доказывает, что бесконечно малые числа существуют во вселенной теории множеств ZFC. Действительные числа называются стандартными числами, а новые нереальные гиперреальные числа называются нестандартными .

В 1977 году Эдвард Нельсон дал ответ, следуя второму подходу. Расширенные аксиомы — это IST, что означает либо Internal Set theory , либо начальные буквы трех дополнительных аксиом: Idealization, Standardization, Transfer. В этой системе мы считаем, что язык расширен таким образом, что мы можем выражать факты о бесконечно малых. Действительные числа бывают стандартными или нестандартными. Бесконечно малое — это нестандартное действительное число, которое по абсолютной величине меньше любого положительного стандартного действительного числа.

В 2006 году Карел Хрбачек разработал расширение подхода Нельсона, в котором действительные числа стратифицированы на (бесконечно) многих уровнях; т. е. на самом грубом уровне нет ни бесконечно малых, ни неограниченных чисел. Бесконечно малые находятся на более тонком уровне, и также есть бесконечно малые относительно этого нового уровня и так далее.

Бесконечно малые величины в обучении

Учебники по исчислению, основанные на бесконечно малых, включают классический Calculus Made Easy Сильвануса П. Томпсона (с девизом «То, что может сделать один дурак, может сделать и другой» ^[15] ) и немецкий текст Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie Р. Нойендорфа. ^[16] Новаторские работы, основанные на бесконечно малых Абрахама Робинсона , включают тексты Строяна (датируемые 1972 годом) и Говарда Джерома Кейслера ( Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach ). Студенты легко связывают себя с интуитивным понятием бесконечно малой разности 1-« 0,999... », где «0,999...» отличается от своего стандартного значения как действительного числа 1 и переосмысливается как бесконечная конечная расширенная десятичная дробь, которая строго меньше 1. ^{[17] [18]}

Другой элементарный текст по исчислению, который использует теорию бесконечно малых, разработанную Робинсоном, — это Infinitesimal Calculus Генле и Клейнберга, первоначально опубликованный в 1979 году. ^[19] Авторы вводят язык логики первого порядка и демонстрируют построение модели первого порядка гипердействительных чисел. Текст представляет собой введение в основы интегрального и дифференциального исчисления в одном измерении, включая последовательности и ряды функций. В Приложении они также рассматривают расширение своей модели на гипергипердействительные числа и демонстрируют некоторые приложения для расширенной модели.

Элементарный текст по исчислению, основанный на гладком анализе бесконечно малых, — Bell, John L. (2008). A Primer of Infinitesimal Analysis, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182.

Более поздний текст по исчислению, использующий бесконечно малые величины, — Dawson, C. Bryan (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

Функции, стремящиеся к нулю

В родственном, но несколько ином смысле, который произошел от первоначального определения «бесконечно малого» как бесконечно малой величины, этот термин также использовался для обозначения функции, стремящейся к нулю. Точнее, «Advanced Calculus » Лумиса и Стернберга определяет класс функций бесконечно малых, , как подмножество функций между нормированными векторными пространствами по ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$,

а также два связанных класса (см. нотацию Big-O ) ${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$, и

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$. ^[20]

Включения множеств в общем случае выполняются. То, что включения являются правильными, демонстрируется действительными функциями действительной переменной , , и : ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$ ${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$ ${\displaystyle g:x\mapsto x}$ ${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$но и . ${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

В качестве применения этих определений отображение между нормированными векторными пространствами определяется как дифференцируемое в , если существует [т.е. ограниченное линейное отображение ] такое, что ${\displaystyle F:V\to W}$ ${\displaystyle \alpha \in V}$ ${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V\to W}$

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

в окрестности . Если такое отображение существует, оно единственно; это отображение называется дифференциалом и обозначается , ^[21] что совпадает с традиционным обозначением для классического (хотя и логически ошибочного) понятия дифференциала как бесконечно малого «куска» F . Это определение представляет собой обобщение обычного определения дифференцируемости для векторнозначных функций (открытых подмножеств) евклидовых пространств. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle dF_{\alpha }}$

Массив случайных величин

Пусть — вероятностное пространство и пусть . Массив случайных величин называется бесконечно малым, если для каждого имеем: ^[22] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

Понятие бесконечно малого массива является существенным в некоторых центральных предельных теоремах, и из монотонности оператора ожидания легко видеть, что любой массив, удовлетворяющий условию Линдеберга, является бесконечно малым, что играет важную роль в центральной предельной теореме Линдеберга (обобщении центральной предельной теоремы ).

Смотрите также

• Математический портал

• Функция Кантора
• Дифференциал (бесконечно малый)
• Неопределенная форма
• Исчисление бесконечно малых величин
• Бесконечно малое преобразование
• Мгновенный
• Нестандартное исчисление
• Теория моделей

Примечания

1. Арнольд, В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Пионеры математического анализа и теории катастроф от эвольвент до квазикристаллов . Перевод с русского Эрика Дж.Ф. Примроуза. Birkhäuser Verlag, Базель, 1990. С. 27
2. Белл, Джон Л. (6 сентября 2013 г.). «Непрерывность и бесконечно малые». Стэнфордская энциклопедия философии .
3. Кац, Михаил Г.; Шерри, Дэвид (2012), «Бесконечно малые Лейбница: их вымышленность, их современные реализации и их враги от Беркли до Рассела и далее», Erkenntnis , 78 (3): 571–625, arXiv : 1205.0174 , doi : 10.1007/s10670-012-9370-y, S2CID  119329569
4. Нетц, Ревиель ; Сайто, Кен; Чернецка, Натали (2001). «Новое прочтение предложения метода 14: предварительные доказательства из палимпсеста Архимеда (часть 1)». Sciamvs . 2 : 9–29.
5. Архимед, Метод механических теорем ; см. Палимпсест Архимеда
6. Александр, Амир (2014). Бесконечно малые: как опасная математическая теория сформировала современный мир . Scientific American / Фаррар, Штраус и Жиру. ISBN 978-0-374-17681-5.
7. Беркли, Джордж (1734). Аналитик: рассуждение, адресованное неверующему математику. Лондон.
8. Морманн, Томас ; Кац, Михаил (осень 2013 г.). «Бесконечно малые как проблема неокантианской философии науки». HOPOS: Журнал Международного общества истории философии науки . 3 (2): 236–280. arXiv : 1304.1027 . doi : 10.1086/671348. JSTOR  10.1086/671348. S2CID  119128707.
9. "Бесконечно малые в современной математике". Jonhoyle.com. Архивировано из оригинала 2011-07-13 . Получено 2011-03-11 .
10. Шамседдин, Ходр. "Анализ поля Леви-Чивиты, краткий обзор" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-06-08.
11. Эдгар, Джеральд А. (2010). «Транссерии для начинающих». Real Analysis Exchange . 35 (2): 253–310. arXiv : 0801.4877 . doi : 10.14321/realanalexch.35.2.0253. S2CID  14290638.
12. Alling, Norman (январь 1985), «Поле сюрреалистических чисел Конвея» (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 287 (1): 365–386, doi : 10.1090/s0002-9947-1985-0766225-7 , получено 05.03.2019
13. Байнок, Бела (2013). Приглашение к абстрактной математике. ISBN 9781461466369Теорема 24.29. Сюрреалистическая числовая система — наибольшее упорядоченное поле
14. Gonshor, Harry (1986). Введение в теорию сюрреалистических чисел . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 110. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511629143. ISBN 9780521312059.
15. Томпсон, Сильванус П. (1914). Calculus Made Easy (Второе издание). Нью-Йорк: The Macmillan Company.
16. Р. Нойендорф (1912) Lehrbuch der Mathematik Fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie , Verlag Julius Springer, Берлин.
17. Эли, Роберт (2010). «Нестандартные студенческие концепции о бесконечно малых» (PDF) . Журнал исследований в области математического образования . 41 (2): 117–146. doi :10.5951/jresematheduc.41.2.0117. JSTOR  20720128. Архивировано (PDF) из оригинала 2019-05-06.
18. Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2010). «Когда 0,999… меньше 1?» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 7 (1): 3–30. arXiv : 1007.3018 . дои : 10.54870/1551-3440.1381. ISSN  1551-3440. S2CID  11544878. Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2012 г. Проверено 7 декабря 2012 г.
19. Хенле, Джеймс М.; Клейнберг, Юджин (1979). Исчисление бесконечно малых величин . MIT Press, переиздано Dover. ISBN 978-0-262-08097-2.
20. Лумис, Линн Гарольд; Стернберг, Шломо (2014). Advanced Calculus. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. стр. 138–142. ISBN 978-981-4583-92-3.
21. Это обозначение не следует путать со многими другими различными использованиями d в исчислении, которые все слабо связаны с классическим понятием дифференциала как «взятия бесконечно малой части чего-либо»: (1) в выражении , обозначает интегрирование Римана-Стилтьеса относительно интегрирующей функции ; (2) в выражении , символизирует интегрирование Лебега относительно меры ; (3) в выражении , dV обозначает интегрирование относительно объема; (4) в выражении , буква d представляет оператор внешней производной и т. д. ${\displaystyle \int f(x)\,d\alpha (x)}$ ${\displaystyle d\alpha (x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \int f\,d\mu }$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV}$ ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}}$
22. Barczyk, Adam; Janssen, Arnold; Pauly, Markus (2011). "Асимптотика L-статистик для не-iid переменных с тяжелыми хвостами" (PDF) . Вероятность и математическая статистика . 31 (2): 285–299. Архивировано (PDF) из оригинала 21.08.2019.

Ссылки

• Б. Кроуэлл, «Исчисление» (2003)
• Доусон, К. Брайан, «Освобождение исчисления: бесконечно малые спешат на помощь» (2022) Oxford University Press
• Эрлих, П. (2006) Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Возникновение неархимедовых систем величин. Arch. Hist. Exact Sci. 60, № 1, 1–121.
• Малет, Антони . «Барроу, Уоллис и переделка неделимых вещей семнадцатого века». Centaurus 39 (1997), № 1, 67–92.
• Дж. Кейслер, «Элементарное исчисление» (2000) Висконсинский университет
• К. Строян «Основы исчисления бесконечно малых» (1993)
• Строян, К.Д .; Люксембург, В.А.Дж. Введение в теорию бесконечно малых. Чистая и прикладная математика, № 72. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк-Лондон, 1976.
• Роберт Голдблатт (1998) «Лекции о гиперреальном» Springer.
• Катланд и др. «Нестандартные методы и приложения в математике» (2007) Конспект лекций по логике 25, Ассоциация символической логики.
• «Сила нестандартного анализа» (2007) Springer.
• Лаугвиц, Д. (1989). «Определенные значения бесконечных сумм: аспекты основ анализа бесконечно малых около 1820 года». Архив для History of Exact Sciences . 39 (3): 195–245. doi :10.1007/BF00329867. S2CID  120890300.
• Ямашита, Х.: Комментарий к статье: «Точечный анализ скалярных полей: нестандартный подход» [J. Math. Phys. 47 (2006), № 9, 092301; 16 стр.]. J. Math. Phys. 48 (2007), № 8, 084101, 1 стр.